第8章 培优微课(二) 微课2 运用高观点处理定点问题(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八章 平面解析几何 培优微课(二)　圆锥曲线压轴提分 微课2 运用高观点处理定点问题 　——极点与极线的方法 极点与极线是高等几何中的重要概念,虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容,也不属于高考考查的范围,但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征,因此在高考试题中必然会有所反映,自然也会成为高考试题的命题背景。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 一、极点与极线的定义 在圆锥曲线方程中,以x0x替换x2,以替换x,以y0y替换y2,以替换y,即可得到点P(x0,y0)的极线方程。已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (1)对于椭圆=1(a≠b),与点P(x0,y0)对应的极线方程为=1; (2)对于双曲线=1,与点P(x0,y0)对应的极线方程为=1; (3)对于抛物线y2=2px,与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)。 特别地,当P(x0,y0)是圆锥曲线焦点时,其对应的极线为相应的准线。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 二、如何作出P(x0,y0)的极线 (1)当点P在圆锥曲线Γ上时,其极线l是曲线Γ在点P处的切线; (2)当点P在圆锥曲线Γ外时,其极线l是曲线Γ从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在的直线); (3)当点P在圆锥曲线Γ内时,其极线l是曲线Γ过点P的任一割线两端点处的切线交点的轨迹。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 三、调和点列与调和线束 (1)设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l,过点P任作一割线l'交Γ于A,B,交l于Q,则　①;反之,若有①成立,则称点P,Q调和分割线段AB,点列P,A,Q,B为调和点列。 (2)已知P,A,Q,B为圆锥曲线Γ的一个调和点列,M为割线l'外一点,则称直线MP,MA,MQ,MB为调和线束,若有一条直线m平行于调和线束中的一条,且与剩余三条分别交于三点,那么这三点中的内点平分该线段。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 四、极点极线定理 点P关于圆锥曲线Γ的极线p过点Q⇔点Q关于Γ的极线q经过点P;直线p关于Γ的极点P在直线q上⇔直线q关于Γ的极点Q在直线p上。由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例1】　过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 (　　) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 【解析】　解法一:因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为点(1,1),显然B,D选项不过点(1,1),B,D不满足题意;另一个切点的坐标在点(1,1)的右侧,所以直线AB的斜率为负,选项C不满足,A满足。故选A。 解法二:切点弦AB所在的直线就是点(3,1)对应的极线,故其方程为(3-1)(x-1)+1×y=1,即2x+y-3=0。故选A。 A 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例2】　已知椭圆C:=1(a>b>0)与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),F为左焦点,原点O到直线FA的距离为b。 (1)求椭圆C的离心率; (2)设b=2,直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N,求证:直线BM与直线AN的交点G在定直线上。 【解】　(1)由题意设F的坐标为(-c,0),依题意有bc=ab,所以椭圆C的离心率e=。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证明:证法一(常规方法):若b=2,由(1)得a=2,所以椭圆C的方程为=1。联立方程组化简得(2k2+1)x2+16kx+24=0,由Δ=32(2k2-3)>0,解得k2>,由根与系数的关系,得xM+xN=　①,xMxN=　②,设M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),MB的方程为y=x-2　③,NA的方程为y=x+2　④,由③④解得y==1,即yG=1,所以直线BM与直线AN的交点G在定直线上。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证法二:若b=2,由(1)得a=2,所以椭圆方程为=1。由极点与极线的原理可知直线BM与直线AN的交点必在(0,4)的极线上,其极线方程为=1,即y=1。所以G在定直线y=1上。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例3】　(2023·全国乙卷)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率是,点A(-2,0)在C上。 (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点。 【解】　(1)由题意可得=1。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证法一(通法):由题意可知,直线PQ的斜率存在,设PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程消去y,得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0,则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1 728k>0,解得k<0 ,可得x1+x2=-,x1x2=,因为A(-2,0),则直线AP:y=(x+2),令x=0,解得y=,即M,同理可得N,则 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 =3,所以线段MN的中点是定点(0,3)。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证法二(调和点列法):如图,点B(-2,3)关于椭圆=1的极线恰为AC,则B,R,P,Q四点为调和点列,直线AB,直线AR,直线AP,直线AQ为调和线束,由于AB∥y轴,得y轴截调和线束AR,AP,AQ于C,M,N,则C为MN中点。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证法二这种方法可以为我们提供解题方向,但由于这不是中学内容,所以还得按常规方法推导。不过按这种方法可以验证得到的结论是否正确,客观题使用这种方法就非常便捷了。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 增|分|训|练 1.设P为直线l:2x+y+9=0上的任一点,过点P作圆x2+y2=9的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点 。  (-2,-1) 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　解法一:因为P是直线l:2x+y+9=0上的任一点,所以设P(m,-2m-9),由于圆x2+y2=9的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,则点A,B在以线段OP为直径的圆上,即线段AB是圆O和圆C的公共弦,则圆心C的坐标是,且半径的平方是r2=,所以圆C的方程是　①,又x2+y2=9　②,②-①得mx-(2m+9)y-9=0,即公共弦AB所在的直线方程是mx-(2m+9)y-9=0,即m(x-2y)-(9y+9)=0,由所以直线AB恒过定点(-2,-1)。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解法二:由已知直线AB过的定点必是直线2x+y+9=0的极点,设其极点坐标为(x0,y0),所以x0x+y0y-9=0为其极线,又2x+y+9=0为(x0,y0)的极线,由系数关系,得x0=-2,y0=-1,所以AB恒过定点(-2,-1)。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.已知直线l:x-y+8=0与x轴相交于点A,过直线l上的动点P作圆x2+y2=16的两条切线,切点分别为C,D,则直线CD恒过定点的坐标为 ;若M是线段CD的中点,则|AM|的最小值为 。  (-2,2) 4 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　解法一:设点P的坐标为(x0,y0),O为坐标原点,连接OP,易证C,D两点在以线段OP为直径的圆上,故C,D两点为此圆与圆x2+y2=16的交点,由化简得x0x+y0y=16,此方程即为直线CD的方程,又点P是直线l上的动点,所以y0=x0+8,所以直线CD的方程为x0x+(x0+8)y=16,即x0(x+y)+8y-16=0。由即直线 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 CD过定点(-2,2)。令定点为F,由OM⊥CD(O为坐标原点)知,OM⊥MF,又|OF|=2,所以点M在以线段OF为直径的圆上,其轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=2,设圆心为N,则N(-1,1)。又A(-8,0),|AN|=,故|AM|的最小值为5。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解法二:(极点极线)由极点极线的定义,直线CD经过的定点为直线l的极 点。设直线l的极点为(x0,y0),则直线x0x+y0y=16即直线l的方程,又l的方程为x-y+8=0,所以,得x0=-2,y0=2。故直线CD经过定点(-2,2),以下同解法一。 第八章　培优微课(二)　微课2　运用高观点处理定点问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$