第8章 第8节 第2课时 最值、范围问题(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八章 平面解析几何 第八节　核心专题突破 第2课时　最值、范围问题 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　最值问题 ………………………………………………微专题 角度❶:函数法求最值 【例1】　(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4。 (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且=0,求△MFN面积的最小值。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由可得y2-4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,所以|AB|=,即2p2-p-6=0,因为p>0,解得p=2。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,设直线MN:x=my+n, M(x1,y1),N(x2,y2),由可得y2-4my-4n=0,所以,y1+y2=4m,y1y2=-4n,Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0,因为·=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入,得4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0,所以n≠1,且n2-6n+1≥0,解得n≥3+2或n≤3-2。设点F到直线MN的距离为d,所以 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 d=,|MN|=|n-1|,所以△MFN的面积S=|n-1|=(n-1)2,而n≥3+2或n≤3-2,所以,当n=3-2时,△MFN的面积Smin=(2-2)2=12-8。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本题设直线MN的方程为x=my+n,解题关键是根据向量的数量积为零找到m,n的关系,一是为了减元,二是通过相互的制约关系找到各自的范围,为得到的三角形面积公式提供定义域支持,从而求出面积的最小值。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　已知抛物线C:y2=4x,F为焦点,点Q在直线x=-1上,点P是抛物线上一点,且P点在第一象限,满足FP⊥FQ,记直线OP,OQ,PQ的斜率分别为k1,k2,k3,求k1k2k3的最小值。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),Q(-1,t),则=4x0。因为FP⊥FQ,所以·=-2(x0-1)+ty0=0,即ty0=2(x0-1),因为k1=,k2=-t,k3=,所以k1k2k3==x(x>0),则构造函数f(x)=4x3-x(x>0),所以f'(x)=12x2-1,令f'(x)≥0,得x≥;令f'(x)<0,得0<x<,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f,即的最小值为-,所以k1k2k3的最小值为-。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❷:几何法求最值 【例2】　已知椭圆C:=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且直线AM的斜率为。 (1)求椭圆C的方程; (2)设点N为椭圆C上任意一点,求△AMN的面积的最大值。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=(x-2),即x-2y=-4。当y=0时,解得x=-4,所以a=4。由椭圆C:=1(a>b>0)过点M(2,3),得=1,解得b2=12,所以椭圆C的方程为=1。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m(m≠-4),如图所示,当直线与椭圆相切时,记与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 联立消去x,可得16y2+12my+3m2-48=0,由Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,得m2=64,解得m=±8,所以与AM距离比较远的直线的方程为x-2y=8,又直线AM的方程为x-2y=-4,所以点N到直线AM的距离d即两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得d=。由两点间的距离公式可得|AM|=,所以△AMN的面积的最大值为d·|AM|==18。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 利用几何法求解最值问题,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解,解题时常用到两点间线段最短、点到直线的垂线段最短等结论。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(2024·湖北黄冈适应性考试)已知点E到直线l:y=-2的距离与点E到点F(0,1)的距离之差为1,设点E的轨迹为曲线C。 (1)求曲线C的方程; (2)若P(x0,y0)为直线l上任意一点,过点P作曲线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,求点F到直线MN的最大距离。 解　(1)依题意,点E到直线l':y=-1的距离等于点E到点F(0,1)的距离,则点E的轨迹是以F为焦点,以直线l'为准线的抛物线。设抛物线方程为x2=2py(p>0)。由题意可得=1,解得p=2,所以曲线C的方程是x2=4y。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)由题意知,直线PM,PN的斜率一定存在且不为0。设切点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=k(x-x1),代入x2=4y,整理得x2-4kx+4(kx1-y1)=0,则Δ=(-4k)2-4×4(kx1-y1)=0。又因为=4y1,所以k=,从而过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=。又切线过点P(x0,y0),所以y0=,即y0=x0-y1。同理可得过点N(x2,y2)的切线方程为y=,又切线过点P(x0,y0),所以y0= 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 ,即y0=x0-y2,即点M(x1,y1),N(x2,y2)均满足y0=x0-y,即x0x=2(y0+y),故直线MN的方程为x0x=2(y0+y)。又P(x0,y0)为直线l:y=-2上任意一点,故x0x=2(y-2)对任意x0都成立,令x=0,得y=2,从而直线MN恒过定点(0,2)。又曲线C的焦点F的坐标为(0,1),所以点F到直线MN的最大距离为1。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　范围问题 【例3】　已知F(,0)是椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点,点M在椭圆C上。 (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l与椭圆C相交于A,B两点,且kOA+kOB=-(O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)由题意知,椭圆=1(a>b>0)的左焦点为(-,0),根据椭圆的定义,可得点M到两焦点的距离之和为=4,即2a=4,所以a=2,又因为c=,可得b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时,结合椭圆的对称性可知,kOA+kOB=0,不符合题意。故设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则x1+x2=,x1x2=,所以kOA+kOB= 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 ,由kOA+kOB=-,可得m2=4k+1,所以k≥-,又由Δ>0,可得16(4k2-m2+1)>0,所以4k2-4k>0,解得k<0或k>1。综上可得,直线l的斜率的取值范围是∪(1,+∞)。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 圆锥曲线中取值范围问题的4种常用解法 1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围。 2.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围。 3.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围。 4.利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　已知椭圆E:=1(a>b>0)的焦距为2,左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆于A,B两点。 (1)若点A恰好为椭圆的上顶点,且|AB|=|F1B|,求椭圆E的标准方程; (2)若点A关于点F2的对称点为点C,且点C恰好在椭圆上,求点B的横坐标的取值范围。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)由题意,得F1(-1,0),A(0,b),设B(x0,y0),由|AB|=|F1B|可得,于是得(-1,-b)=(x0+1,y0),所以因为点B在椭圆上,所以=1,得a2=5,所以b2=5-1=4,故椭圆E的标准方程为=1。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)由题意及椭圆的对称性,得AC为椭圆的通径。不妨设点A(1,y1)(y1>0),点B(xB,yB),将点A的坐标代入=1,得=1,得y1=,于是直线l的斜率为,直线l的方程为y=(x+1)。联立方程,得消去y,整理得(a2+3)x2+2(a2-1)x-3a2-1=0,由根与系数的关系,得1·xB=-,于是, 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 xB=-。设a2=t(t>1),则xB=-,令f(t)=-3+(t>1),则f(t)在(1,+∞)上单调递减,所以当t>1时,xB=-3+的取值范围为(-3,-1),即点B的横坐标的取值范围是(-3,-1)。 第八章　第八节　第2课时　最值、范围问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$