第8章 第7节 抛物线(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八章 平面解析几何 第七节　抛物线 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线);2.理解数形结合的思想;3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。 [微点清]　当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线。 相等 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 O(0,0) x轴 y轴 F F F F x=- x= y=- y= 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 离心率 e=1 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0,y0)) |PF|= x0+ |PF|= -x0+ |PF|= y0+ |PF|= -y0+ 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 [微点清]　四种不同抛物线方程的共同点:①原点都在抛物线上;②焦点都在坐标轴上;③准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对 称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为直线AB与x轴的夹角,若设A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列结论。 结论1:y1y2=-p2,x1x2=; 结论2:|AB|=x1+x2+p=; 结论3:; 结论4:|AF|=,|BF|=; 结论5:S△AOB=; 结论6:以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.抛物线y=2x2的准线方程为( ) A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-1 解析　由y=2x2,得x2=y,故抛物线y=2x2的准线方程为y=-。故选A。 A 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.(多选题)顶点在原点,且过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是( ) A.y2=-x B.y2=x C.x2=y D.x2=-y 解析　设抛物线的标准方程是y2=kx或x2=my,代入点P(-2,3),解得k=-,m=,所以y2=-x或x2=y。故选AC。 AC 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1。根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8。故选B。 B 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A为抛物线C上一点,若|AF|=3,则点A的横坐标为 。  解析　设A(m,n),由抛物线的方程可知p=2,则由抛物线的定义可得|AF|=m+=m+1=3,所以m=2。 2 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4),则该抛物线的方程为 。  解析　设抛物线的方程为y2=kx(k≠0)或x2=my(m≠0),将P(2,4)的坐标分别代入,可得k=8,m=1,故所求抛物线的方程为y2=8x或x2=y。 y2=8x或x2=y 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　抛物线的定义及应用 【例1】　(1)已知抛物线x2=2py(p>0)上一点P到焦点的距离与到x轴的距离之差为1,则p=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由抛物线的方程可得准线的方程为y=-。设点P的纵坐标为n,由题意及抛物线的定义,得n+-n=1,解得p=2。故选B。 B 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0)。若|AF|=|BF|,则|AB|=( ) A.2 B.2 C.3 D.3 解析　由已知条件,易知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1。又B(3,0),则|AF|=|BF|=2。不妨设点A在第一象限,则A(x0,2)。根据抛物线的定义可得x0-(-1)=2,所以x0=1,所以A(1,2),所以|AB|=。故选B。 B 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 应用抛物线定义的两个关键点 1.根据抛物线的定义,把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化。 2.注意灵活运用抛物线上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+或|PF|=|y0|+。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(2024·T8联考)设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上的三个点,若=0,则||=( ) A.6 B.4 C.3 D. 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则=0,所以x1+x2+x3=,所以|=3。故选C。 C 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　抛物线的标准方程 【例2】　(1)截至2023年2月,“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上。被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST),是目前世界上口径最大,灵敏度最高的单口径射电望远镜(图①)。观测时它可以通过4 450块三角形面板及2 225个触控器完成向抛物面的转化,此时轴截面可以看作抛物线的一部分。某学校科技小组制作了一个FAST模型,观测时呈口径为4米,高为1米的抛物面,则其轴截面所在的抛物线(图②)的顶点到焦点的距离为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 A 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,建立平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),则抛物线的顶点坐标为O(0,0),由题意可知,点(2,1)在抛物线上,所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=4y,所以焦点坐标为(0,1),所以顶点到焦点的距离为1。故选A。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)若动圆M经过双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的坐标满足的方程是 。  解析　双曲线x2-=1的左焦点F(-2,0),动圆M经过F且与直线x=2相切,则圆心M到点F的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y2=-8x。 y2=-8x 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 求抛物线标准方程的方法 1.直接法:直接利用题中已知条件确定参数p。 2.待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数 p。当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx(m≠0)或x2=my(m≠0)。 注意　参数p的几何意义是焦点到准线的距离,可以利用它的几何意义来解决问题。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP。若|FQ|=6,则C的准线 方程为 。  解析　由题易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,所以,即,解得p=3,所以C的准线方程为x=-。 x=- 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2023·天津卷)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为 。  解析　易知过原点的直线斜率存在,故设过原点的直线为y=kx,根据直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,得圆心C(-2,0)到直线y=kx的距离为d=,解得k=±解得P。由|OP|==8,p>0,得p=6。 6 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　抛物线的几何性质 【例3】　(多选题)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( ) A.p=2 B.|MN|= C.以线段MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 AC 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　A项,直线y=-(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),所以=1,p=2,2p=4,A项正确,且抛物线C的方程为y2=4x。B项,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3+,B项错误。C项,设线段MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,即A到直线l的距离等于|MN|的一半,所以以 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 线段MN为直径的圆与直线l相切,C项正确。D项,由上述分析可知y1=-×(3-1)=-2,y2=-,所以|OM|=,|ON|=,所以三角形OMN不是等腰三角形,D项错误。故选AC。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=- B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4 解析　抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,由y2=16p,可得y=±4,不妨令P(8,4),则S△OFP=,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1。故选B。 B 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知F是抛物线y2=16x的焦点,M是抛物线上一点,FM的延长线交y轴于点N,若3,则|NF|= 。  解析　易知焦点F的坐标为(4,0),准线l的方程为x=-4,如图,抛物线准线与x轴的交点为A,作MB⊥l于点B,NC⊥l于点C,AF∥MB∥NC,则,由3,得,又|CN|=4,|OF|=4,所以,|BM|=,|MF|=|BM|=,,所以|NF|=16。 16 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型四　直线与抛物线的位置关系 【例4】　(1)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A,B两点。若|AB|=9,则抛物线C的方程为( ) A.x2=3y B.x2=12y C.x2=y D.x2=y C 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　由已知得直线AB的方程为y=x+,联立方程组消去x得y2-3py+=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知y1+y2=3p。因为|AB|=9,所以y1+y2+p=9,所以4p=9,即p=,所以所求抛物线C的方程为x2=y,故选C。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为9,点M到x轴的距离为4。 (ⅰ)求抛物线C的方程; (ⅱ)经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,E为直线x=-1上任意一点,证明:直线EA,EF,EB的斜率成等差数列。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(ⅰ)设点M(x0,y0),由题意可知|y0|=4,所以(4)2=2px0,解得x0=8。因为|MF|=x0+=9,所以p=2。所以抛物线C的方程为y2=4x。 (ⅱ)证明:设直线AB的方程为x=my+1,A,B,联立消去x得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4。设E(-1,n),则kEA+kEB==-n,又因为kEF=-,所以kEA+kEB=2kEF,即直线EA,EF,EB的斜率成等差数列。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.求解直线与抛物线问题,一般利用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”以及定义的灵活应用。 2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点。若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),则可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则可用弦长公式。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(2024·广州综合测试)已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在x轴上,过点(2,0)的直线交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,线段PQ的中点为M,则直线MF斜率的最大值为( ) A. B. C. D.1 A 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　设抛物线C:y2=2px,p>0。显然直线PQ的斜率不为0,设直线PQ的方程为x=ty+2,P(xP,yP),Q(xQ,yQ)。将直线PQ的方程代入抛物线C的方程得y2-2pty-4p=0,所以Δ=4p2t2+16p>0,yP+yQ=2pt,yPyQ=-4p,所以xPxQ==4。因为OP⊥OQ,所以xPxQ+yPyQ=4-4p=0,所以p=1,此时yP+yQ=2t,xP+xQ=2t2+4,所以M(t2+2,t),又F,所以直线MF的斜率kMF=,当t=0时,kMF=0,当t≠0时,kMF=,当且仅当t2=时取等号。所以直线MF的斜率的最大值为。故选A。 第八章　第七节　抛物线 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 顶点 对称轴 焦点 准线 $$