第8章 第6节 第2课时 直线与双曲线的位置关系(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八章 平面解析几何 第六节　双曲线 第2课时　直线与双曲线 的位置关系 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　直线与双曲线的位置关系 【例1】　已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),在下列条件下,求实数k的取值范围。 (1)直线l与双曲线有两个公共点; (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　由消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*)。当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线渐近线平行,方程化为2x=5,故此方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,且只有一个公共点。当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2)。当即-,且k≠±1时,方程(*)有两个不相等的实数解,即直线l与双曲线有两个公共点。当 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 即k=±时,方程(*)有两个相等的实数解,即直线l与双曲线有且仅有一个公共点。当即k<-或k>时,方程(*)无实数解,即直线l与双曲线无公共点。综上所述,(1)当k∈∪(-1,1)∪时,直线l与双曲线有两个公共点; (2)当k∈时,直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)当k∈时,直线l与双曲线没有公共点。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解决直线与双曲线的位置关系相关的问题,有时利用数形结合思想,有时利用方程思想。根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)已知双曲线=1的左焦点为F1,过F1的直线l交双曲线的左支于A,B两点,则直线l斜率的取值范围为( ) A. B. C. D. B 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　双曲线的渐近线方程为y=±x,当直线l与渐近线平行时,直线l与双曲线只有一个交点。当直线l的斜率大于零时,要使直线l与双曲线的左支交于A,B两点,则需直线l的斜率k>;当直线l的斜率小于零时,要使直线l与双曲线的左支交于A,B两点,则需直线l的斜率k<-;当直线l的斜率k=0时,不满足题意。故直线l斜率的取值范围为。故选B。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知直线l过双曲线C:=1的左焦点,且与C交于A,B两点,当|AB|=8时,这样的直线l有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析　由双曲线C:=1可得左焦点F(-5,0),顶点(-4,0),(4,0)。若l⊥x轴,则|AB|=2×<8,不符合题意,舍去;若l与x轴不垂直,与C的左支交于A,B两点,则|AB|=8,存在两条直线;若l与x轴不垂直,与C的左、右支各交于一点,则只有A,B为顶点时满足|AB|=8,存在一条直线。综上可得,满足条件的直线有3条。故选C。 C 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　中点弦问题 【例2】　已知点A(-2,0),B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是3。 (1)求点M的轨迹C的方程; (2)过点N(2,3)能否作一条直线m与轨迹C交于两点P,Q,且点N是线段PQ的中点?若能,求出直线m的方程;若不能,说明理由。 解　(1)设M(x,y),x≠±2,kAM=,kBM=,kAM·kBM=3,即·=3。 整理得,3x2-y2=12(x≠±2),即点M的轨迹C的方程为=1(x≠±2)。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)若能作出直线m,则直线m的斜率存在,设为k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=0,整理可得,因为N是线段PQ的中点,所以=2,即k=2,故直线m的方程为y-3=2(x-2),即2x-y-1=0,将直线方程代入双曲线方程可得x2-4x+13=0,Δ=(-4)2-4×13<0,此时直线与双曲线不相交。故不能作出这样的直线。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解决中点弦问题的两种方法 1.根与系数的关系法:联立直线与曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决。 2.点差法:设出交点坐标,利用交点在曲线上,将交点坐标代入曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且线段AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 B 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线E的方程为=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,x1+x2=-24,y1+y2=-30,由①②得,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为=1。故选B。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　弦长问题 【例3】　(2024·重庆名校联考)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)与双曲线x2-y2=1有相同的渐近线,A,F分别为双曲线C的左顶点和右焦点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B,△ABF的面积为2(+1)。 (1)求双曲线C的方程; (2)若直线y=kx-1与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点,与双曲线的两条渐近线分别交于P,Q两点,|MN|=λ|PQ|,求实数λ的取值范围。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)如图①,其中A(-a,0),F(c,0),双曲线C:=1(a>0,b>0)与双曲线x2-y2=1有相同的渐近线,所以a=b,则c=a,由题知BF⊥AF,所以B,则S△ABF=|AF|·yB=(c+a)·=2(+1),解得a=2,所以双曲线C的方程为=1。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)如图②,设M(x1,y1),N(x2,y2),则化简得(1-k2)x2+2kx-5=0,所以则-1<k<1,且所以|MN|=,设 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 P(x3,y3),Q(x4,y4),由得x3=,同理,x4=,所以|PQ|=,所以λ=,其中,-1<k<1,所以∈(1,],故λ的取值范围是(1,]。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当涉及有关弦长问题时,通常有以下两种处理方法 1.距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间距离公式求弦长。 2.弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦长公式求解,即若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=|y1-y2|。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)已知点A,B在双曲线x2-y2=4上,线段AB的中点M(3,1),则|AB|=( ) A. B.2 C. D.2 D 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得方程组两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),即·=1,因为线段AB的中点为M(3,1),故,故=3,即直线AB的斜率为3,故直线AB的方程为y-1=3(x-3),联立得2x2-12x+17=0,由根与系数的关系,得x1+x2=6,x1x2=,则|AB|=·。故选D。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知双曲线C的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(2,)。 (ⅰ)求双曲线C的标准方程; (ⅱ)设双曲线的两条渐近线分别为l1,l2,已知直线l:y=2x+m交l1,l2于A,B两点,若直线l与轨迹C有且只有一个公共点,求△AOB的面积。 解　(ⅰ)因为双曲线的离心率为,故该双曲线为等轴双曲线,设方程为x2-y2=λ(λ≠0),代入点(2,),得4-2=2=λ,故双曲线C的标准方程为=1。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (ⅱ)在直线方程y=2x+m中,令y=0,得D,故S△AOB=·|OD|·|yA-yB|,联立整理得3x2+4mx+m2+2=0,由题意得Δ=16m2-12(m2+2)=4m2-24=0,故m2=6,联立解得yA=-m;联立得yB=,因此S△AOB=·|OD|·|yA-yB|=··=2。 第八章　第六节　第2课时　直线与双曲线的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$