第8章 第6节 第1课时 双曲线及其简单几何性质(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八章 平面解析几何 第六节　双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率);2.了解双曲线的简单应用;3.理解数形结合的思想。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点间的距离叫做双曲线的 。 点集P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0。 (1)当 时,点P的轨迹是双曲线; (2)当 时,点P的轨迹是两条射线; (3)当 时,点P不存在。 距离的差的绝对值 焦点 焦距 2a<|F1F2| 2a=|F1F2| 2a>|F1F2| 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 =1(a>0,b>0)。 (2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 =1(a>0,b>0)。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.双曲线的几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 x≤-a,或x≥a y≤-a,或y≥a (-a,0) (a,0) (0,-a) (0,a) 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 ±x ±x (1,+∞) a2+b2 2a 2b 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为。 2.离心率e=。 3.若渐近线方程为y=±x,则双曲线方程可设为=λ(λ≠0)。 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a。 6.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.等轴双曲线的一个焦点是F1(0,-6),则其标准方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析　等轴双曲线的一个焦点是F1(0,-6),故焦点在y轴上,c=6且a=b,根据a2+b2=c2,得a=b=3,故双曲线的标准方程为=1。故选C。 C 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=( ) A.1 B.17 C.1或17 D.以上均不对 解析　根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,因为|PF1|=9,所以|PF2|=1或|PF2|=17。又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17。故选B。 B 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.已知双曲线=1,则下列说法正确的是( ) A.离心率为2 B.渐近线方程为x±y=0 C.焦距为2 D.焦点到渐近线的距离为 A 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　因为双曲线=1,所以a=,b=,c=,所以离心率e==2;渐近线方程为y=±x,即x±y=0;焦距为2c=4;焦点坐标为(0,±2),焦点到渐近线的距离为d=。故选A。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.已知方程=1表示双曲线,则m的取值范围是 。  解析　因为该方程表示双曲线,所以(m+2)(m+5)>0,即m>-2或m<-5,即m的取值范围为(-∞,-5)∪(-2,+∞)。 (-∞,-5)∪(-2,+∞) 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为  。  解析　由双曲线的一条渐近线为y=x,可知,即b=a。在双曲线中,c2=a2+b2,所以c2=3a2,所以e=。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第1课时　双曲线及 其简单几何性质 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　双曲线的定义及应用 【例1】　(1)半径不等的两定圆O1,O2无公共点(O1,O2是两个不同的点),动圆O与圆O1,O2都内切,则圆心O的轨迹是( ) A.双曲线的一支 B.椭圆或圆 C.双曲线的一支或椭圆或圆 D.双曲线的一支或椭圆 D 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　两定圆O1,O2无公共点,则它们的位置关系是外离或内含。设两定圆O1,O2的半径分别为r1,r2(r1>r2),圆O的半径为R。又圆O与圆O1,O2都内 切,则当两圆O1,O2外离时,|OO1|=R-r1,|OO2|=R-r2,所以|OO2|-|OO1|=r1-r2<|O1O2|,此时圆心O的轨迹是双曲线的一支;当两圆O1,O2内含时,|OO1|=r1-R,|OO2|=R-r2,所以|OO2|+|OO1|=r1-r2>|O1O2|,此时圆心O的轨迹是椭圆。故选D。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 。  解析　解法一:不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=,所以|PF1|·|PF2|=8,所以|PF1|·|PF2|sin 60°=2。 解法二:。 2 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.利用定义求动点的轨迹方程,要分清是差的绝对值为常数,还是差为常数,即是双曲线还是双曲线的一支。 2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 B 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为线段MF1的中点,又O为线段F1F2的中点,所以|MF2|=2。连接PF1,因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,所以|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线。故选B。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2024·杭州质检)费马原理是几何光学中的一条重要原理,在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质。例如,点P为双曲线(F1,F2为焦点)上一点,点P处的切线平分∠F1PF2。已知双曲线C:=1,O为坐标原点,l是点P处的切线,过左焦点F1作l的垂线,垂足为点M,则|OM|= 。  解析　因为直线l是双曲线C:=1在点P处的切线,所以l平分∠F1PF2,延长F1M交PF2的延长线于点Q,则|PF1|=|PQ|,所以|F2Q|=|PQ|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a=4,因为OM是△QF1F2的中位线,所以|OM|=|F2Q|=2。 2 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　双曲线的标准方程 【例2】　(1)已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上一点,PF2与x轴垂直,∠PF1F2=30°,且虚轴长为2,则双曲线的标准方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.x2-=1 D 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　由题意可知|PF1|=,|PF2|=,2b=2,由双曲线的定义可得=2a,即c=a。又b=,c2=a2+b2,所以a=1,所以双曲线的标准方程为x2-=1。故选D。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)从某个角度观察篮球(如图①),可以得到一个对称的平面图形,如图②所示,篮球的外轮形状近似为圆O,将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,|AB|=|BC|= |CD|=2,以AD所在直线为x轴,则双曲线的方程为( ) A.x2-=1 B.2x2-y2=1 C.x2-=1 D.x2-=1 A 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　设双曲线与圆O在第一象限的交点为P,由题意可知,O为坐标原点,点P在直线y=x上,圆O的直径为6,半径为3,故圆O的方程为x2+y2=9,联立即P。因为|BC|=2,所以顶点C(1,0),即a=1,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),将P,a=1代入并解方程,得b2=,所以双曲线的方程为x2-=1。故选A。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 求双曲线的标准方程的方法 1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2。 2.待定系数法:“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)过双曲线C:=1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A。若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的标准方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析　因为渐近线y=x与直线x=a交于点A(a,b),以C的右焦点F为圆心,半径为4的圆经过A,O两点,所以c=4且=4,又c2=a2+b2,解得a2=4,b2=12,所以双曲线的标准方程为=1。故选A。 A 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)经过点P(3,2),Q(-6,7)的双曲线的标准方程为 。  解析　设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),则 =1。  =1 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　双曲线的简单几何性质………………………… 微专题 角度❶:渐近线问题 【例3】　(2023·绵阳二诊)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,A,B两点在双曲线C上且关于原点对称,若|AB|=2|OF|(O为坐标原点),|BF|=3|AF|,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.2x±3y=0 D.3x±2y=0 A 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　记F'为双曲线C的左焦点,连接AF',BF',则F,F'关于原点对称,又A,B也关于原点对称,所以四边形AFBF'为平行四边形,又|AB|=2|OF|,所以四边形AFBF'为矩形。因为|BF|=3|AF|,所以|AF'|=3|AF|,所以|AF'|-|AF|=2|AF|=2a,所以|AF|=a,|AF'|=3a。在Rt△FAF'中,|AF|2+|AF'|2=|FF'|2,所以a2+(3a)2=(2c)2,所以c2=,又a2+b2=c2,所以b2=,所以,所以双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即x±2y=0。故选A。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 渐近线的求法 1.待定系数法:求出a,b值或值。 2.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线可由=0,得两渐近线方程=0。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❷:离心率问题 【例4】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2。点A在C上,点B在y轴上,,,则C的 离心率为 。    第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,如图,在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,故cos∠F1AF2=,所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2=,整理得5c2=9a2,故e=。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 求双曲线离心率或其取值范围的方法 1.直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解。 2.列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶❷ ❶ ❷ 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( ) A. B. C. D. D 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　根据双曲线的离心率e=,得c=a,即c2=5a2,即a2+b2=5a2,所以b2=4a2,=4,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,易知渐近线y=2x与圆相交,则圆心(2,3)到渐近线y=2x的距离d=,所以|AB|=2。故选D。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.(2023·甘肃二诊)若圆O:x2+y2=4过双曲线=1(a>0,b>0)的实轴顶点,且圆O与直线l:y=x+b相切,则该双曲线的渐近线方程为 。  解析　因为圆x2+y2=4过双曲线=1(a>0,b>0)的实轴顶点,所以a=2,又圆x2+y2=4与直线l:y=x+b相切,所以=2,解得b=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x。 y=±x 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.(2024·T8联考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若过点F2的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,且AF1=BF1=2。又以双曲线的顶点为圆心,半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点,则双曲线的离心率为 。  2 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,因为|AF1|=|BF1|=2,|AF2|-|AF1|=2a=|BF1|-|BF2|,所以|AF2|=2+2a,|BF2|=2-2a,所以|AB|=|AF2|-|BF2|=4a。因为以双曲线的顶点为圆心,半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点,所以a2+b2=(2)2=c2,所以c2=8,所以|F1F2|=4。由双曲线定义|AF2|=|AF1|+2a,|BF2|=|BF1|-2a,则|AB|=|AF2|-|BF2|=4a。在△F1AB中,cos∠F1AB=,在△F1AF2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AB,即(4)2=(2)2+(2+2a)2-2×2×(2+2a)×,解得a=,所以e==2。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 学考衔接 教材再研究 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 一组教材例题的推广 ——圆锥曲线第三定义 【源于教材】　(人教A版选择性必修第一册第108页例3与第121页)如图,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状,与它们的斜率之积是-比较,你有什么发现? 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 我们会发现当斜率之积是时,点M的轨迹方程是=1(y≠0),当斜率之积是-时,点M的轨迹方程是=1(y≠0)。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【结论推广】　上述结论推广到一般情况得到如下结果: (1)椭圆方程为=1(a>b>0),A与B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,则有kPA·kPB=-=e2-1。 (2)双曲线方程为=1(a>0,b>0),A与B是双曲线上关于原点对称的两点,P是双曲线上异于A,B的任意一点,则有kPA·kPB==e2-1。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【特别注意】　(1)焦点在x轴上的时候,椭圆和双曲线可以统一来记忆,两组直线斜率乘积为e2-1。 (2)焦点在y轴上的时候,有所变化,椭圆的两组直线斜率乘积为-,双曲线为,统一来记忆斜率乘积为。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例】　(1)(2022·全国甲卷)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称。若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( ) A. B. C. D. A 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　解法一(第三定义):设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),Q(-x0,y0)关于x轴的对称点Q'(-x0,-y0),而A(-a,0),根据第三定义可知kAP·kAQ'=-=-kAP·kAQ=-,故,于是e=。故选A。 解法二(直接法):设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),而A(-a,0),有kAP=,kAQ=,故kAP·kAQ=·　①,又=1,即(a2-)　②,将②代入①可得,于是e=。故选A。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)设双曲线C:=1(a>0,b>0),M,N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点,P为双曲线C上的一动点,若kPM·kPN=4,则双曲线C的离心率为( ) A.2 B. C. D.5 解析　解法一(第三定义):由题知kPM·kPN==e2-1=4,所以e=。故选C。 C 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解法二(直接法):由题意,设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(-x1,-y1),所以kPM·kPN=·,因为=1,=1,所以两式相减可得=0,即,因为kPM·kPN=4,所以=4,则e=。故选C。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【分析】　两小题可以用一般方法求解,也可通过构造对称点,采用上述结论求解。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 思考题　(1)已知椭圆C:=1(a>b>0),过C中心的直线交C于M,N两点,点P在x轴上,其横坐标是点M横坐标的3倍,直线NP交C于点Q,若直线QM恰好是以线段MN为直径的圆的切线,则C的离心率为( ) A. B. C. D. D 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,设M(x1,y1),Q(x2,y2),则N(-x1,-y1),P(3x1,0),设k1,k2,k3分别为直线MN,QM,NP的斜率,则k1=,k2=,k3=k1,因直线QM是以MN为直径的圆的切线,所以QM⊥MN,k1k2=-1,所以k2k3=-,故k2k3=-,即,e2=1-,故e=。故选D。 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知A,B是双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( ) A. B.2 C. D. 解析　设双曲线E:=1(a>0,b>0),在平面直角坐标系中由题意,得∠ABM=120°,∠BAM=∠BMA=30°,∠MBx=180°-∠ABM=60°,所以直线AM和直线BM的斜率分别为,由双曲线第三定义,得kMA·kMB==1=e2-1,所以离心率e=。故选D。 D 第八章　第六节　第1课时　双曲线及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 性质 范围 ,y∈R ,x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 A1 ,A2 A1 ,A2 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 性质 渐近线 y= y= 离心率 e=,e∈ a,b,c 的关系 c2= (c>a>0,c>b>0) 实、 虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= ;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= ; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 $$