第8章 第5节 第1课时 椭圆及其简单几何性质(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八章 平面解析几何 第五节　椭圆 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);2.了解椭圆的简单应用;3.理解数形结合的思 想。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.椭圆的定义 (1)文字形式 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 。这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 ,焦距的一半称为半焦距。 (2)代数式形式 点集P={M||MF1|+|MF2|=2a},其中|F1F2|=2c<2a。 [微点清]　2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;2a<|F1F2|时,动点的轨迹不存在。 椭圆 焦点 焦距 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 关于x轴、y轴、原点对称 (±a,0),(0,±b) (±b,0),(0,±a) 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 [微点清]　椭圆方程的两种设法:Ax2+By2=1或=1(A>0,B>0, A≠B)表示椭圆。离心率表示椭圆的扁平程度。当e越接近1时,c越接近a,从而b=越小,因此椭圆越扁平。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆位置关系的判断 联立消去y,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0。该一元二次方程的根的判别式为Δ。 Δ>0⇔直线与椭圆有 公共点⇔相交; Δ=0⇔直线与椭圆有 公共点⇔相切; Δ<0⇔直线与椭圆 公共点⇔相离。 两个 一个 没有 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)椭圆的弦长 设AB为椭圆的一条弦,所在直线的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则弦长l=|y1-y2|。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形。如图所示,设∠F1PF2=θ。 (1)当P为短轴端点时,θ最大。 (2)|PF1||PF2|sin θ=b2tan=c|y0|。 当|y0|=b,即点P为短轴端点时,△PF1F2的 面积取最大值,最大值为bc。 (3)焦点三角形的周长为2(a+c)。 (4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是( ) A.长轴长为 B.焦距为 C.短轴长为 D.离心率为 解析　把椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得=1,所以a=,b=,c=,则长轴长2a=1,焦距 2c=,短轴长2b=,离心率e=。故选D。 D 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.已知椭圆=1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为( ) A.2 B.3 C.5 D.7 解析　由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|PF2|=7。故选D。 D 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.下列椭圆中最扁平的一个是( ) A.=1 B.+y2=1 C.=1 D.=1 解析　由=1,得;由+y2=1,得;由=1,得;由=1,得。因为e=,,所以最扁平的椭圆是+y2=1。故选B。 B 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.若方程=1表示椭圆,则k的取值范围是 。  解析　由已知得解得3<k<5且k≠4。 (3,4)∪(4,5) 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的方程 为 。  解析　由题意得 =1。 =1 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第1课时 椭圆及其简单几何性质 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　椭圆的定义及应用 【例1】　(1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A是圆上任意一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析　点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|。又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|。由椭圆的定义知,动点P的轨迹是椭 圆。故选B。 B 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知椭圆=1,F1,F2为其两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,cos∠F1PF2=,则|PO|=( ) A. B. C. D. B 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　因为|PF1|+|PF2|=2a=6　①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2= |F1F2|2,即|PF1||PF2|=12　②,联立①②,解得|PF1||PF2|=,|PF1|2+|PF2|2=21,而(),所以|OP|=|。故选B。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 椭圆定义的应用技巧 1.椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求椭圆的焦点三角形的周长、面积,求椭圆的弦长、最值和离心率等。 2.通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)设椭圆C:+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是( ) A.2 B.2 C.4 D.4 解析　设椭圆的右焦点为F1,连接AF1,BF1(图略),因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF1|,所以四边形AFBF1是平行四边形。所以|BF|=|AF1|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF1|=2a=4。故选C。 C 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|=( ) A.1 B.2 C.4 D.5 解析　因为·=0,所以∠F1PF2=90°。 解法一:由椭圆方程可知,c2=5-1=4,得c=2,所以+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,又|PF1|+|PF2|=2a=2,平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2。故选B。 解法二:由椭圆的方程可知b2=1,由椭圆焦点三角形面积公式得=1,所以|PF1||PF2|=2。故选B。 B 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　椭圆的标准方程 【例2】　(1)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2),F2(0,-2),P为椭圆上任意一点,若|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则此椭圆的标准方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析　由题意得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8=2a,故a=4,又c=2,则b=2,焦点在y轴上,故椭圆的标准方程为=1。故选D。 B 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1), P2(-,-),则该椭圆的方程为 。  解析　设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n)。因为椭圆经过P1,P2两点,所以点P1,P2的坐标满足椭圆方程,即=1。  =1 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 根据条件求椭圆方程的主要方法 1.定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义。 2.待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b。当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法不必考虑焦点位置,求出m,n的值即可。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)“2<m<6”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若方程=1表示的曲线为椭圆,则解得2<m<6,且m≠4,故“2<m<6”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件。故选B。 B 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2023·衡水中学六调)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积。若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 D 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　设椭圆C的方程为=1(a>b>0),则所以椭圆C的方程为=1。故选D。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (3)经过椭圆M:=1(a>b>0)的左焦点和上顶点的直线记为l。若椭圆M的中心到直线l的距离等于2,且短轴长是焦距的2倍,则椭圆M的方程 为  。  解析　l的方程为=1,由椭圆M的中心到直线l的距离等于2,可得2=,即,又短轴长是焦距的2倍,即b=2c,解得c=,b=2,则a==5,所以椭圆方程为=1。 =1 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　椭圆的几何性质………………………… 微专题 角度❶:离心率问题 【例3】　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a=( ) A. B. C. D. 解析　由e2=e1,得,因此,又a>1,所以a=。故选A。 A 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2024·石家庄模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C交于P,Q两点,若PF1⊥PF2,且,则椭圆C的离心率为 。    第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　依题意,设|PF2|=5t(t>0),则|PQ|=12t,如 图,连接F2Q,在Rt△PF2Q中,根据勾股定理可得|F2Q|=13t。因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|=2a-5t,所以|QF1|=12t-(2a-5t)=17t-2a。因为|QF1|+|QF2|=2a,所以|QF1|=2a-13t,所以17t-2a=2a-13t,即2a=15t,则|PF1|=a,|PF2|=a。在Rt△PF2F1中,=4c2,解得,所以,即椭圆C的离心率为。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 求椭圆离心率的3种方法 1.直接求出a,c来求解e。通过已知条件列方程组,解出a,c的值。 2.构造a,c的齐次式,解出e。由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解。 3.通过取特殊值或特殊位置,求出离心率。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❷:最值、范围问题 【例4】　(1)若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 解析　由椭圆=1可得F(-1,0),设P(x,y)(-2≤x≤2),则·(x+2)2+2,-2≤x≤2,当且仅当x=2时,·取得最大值6。故选C。 C 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知椭圆=1的左焦点为F,若A,B是椭圆上两动点,且直线AB垂直于x轴,则△ABF周长的最大值为 。  解析　设椭圆=1的右焦点为F1,连接AF1,BF1,易知△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|=6-|AF1|+6-|BF1|+|AB|=12-(|AF1|+|BF1|-|AB|)≤12,当且仅当边AB过点F1时,等号成立,故△ABF周长的最大值为12。 12 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 1.利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质。 2.利用函数,尤其是二次函数。 3.利用不等式,尤其是基本不等式。 特别注意:在求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❶ ❷ 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.(多选题)(2024·武汉调研)椭圆=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2+y2-5x-4y+4=0上,则该椭圆的离心率的可能取值有( ) A. B. C. D. BCD 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　椭圆=1(a>b>0)的焦点在x轴上,顶点在坐标轴上,因为椭圆的一个焦点和一个顶点在圆x2+y2-5x-4y+4=0上,所以可先求出圆x2+y2-5x-4y+4=0与坐标轴的交点。令y=0,得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4,所以圆x2+y2-5x-4y+4=0与x轴的交点为A(1,0),B(4,0);令x=0,得y2-4y+4=0,解得y=2,所以圆x2+y2-5x-4y+4=0与y轴相切于点C(0,2)。当点A(1,0)为焦点,C(0,2)为顶点时,c=1,b=2,所以a=,则离心率e=;当点A(1,0)为焦点,B(4,0)为顶点时,c=1,a=4,则离心率e=;当点B(4,0)为焦点,C(0,2)为顶点时,c=4,b=2,所以a=,则离心率e=。故选BCD。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.已知F是椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切,则椭圆C的离心率为 ( ) A. B. C. D. A 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　过椭圆C的下顶点(0,-b)且斜率为的直线方程为y=x-b,即x-y-b=0,F(c,0),由点到直线的距离公式,得c=,即c2=-bc+b2,即(2c-b)(c+2b)=0,则2c-b=0,b=2c。又a2=b2+c2,即a2=(2c)2+c2=5c2,解得。故选A。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.已知点(2,1)是椭圆C:=1(a>b>0)上一点,则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积( ) A.有最小值4 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最大值16 B 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　由点(2,1)在椭圆上,可得,即ab≥4,当且仅当a=2b时等号成立,所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积S=·2a·2b=2ab≥8,即面积有最小值8。故选B。 第八章　第五节　第1课时　椭圆及其简单几何性质 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 2.椭圆的标准方程与几何性质 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 对称性 顶点 离心率 0<e=<1 $$