第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八章 平面解析几何 第四节　直线与圆、 圆与圆的位置关系 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题;3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.直线与圆的位置关系与判断方法 相交 相切 相离 < = > 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 [微点清]　关注一个直角三角形:当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0)。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 d>r1+r2 无 d=r1+r2 一组 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的 d=|r1-r2| 一组 ≤ < 无 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 [微点清]　设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②所得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 0 1 2 3 4 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2。 (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2。 (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.圆系方程 过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防丢解)。 如果λ=-1,则两圆相交时得到两圆公共弦所在直线方程,两圆相切时得到两圆切点处的公切线方程。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 解析　圆心为(0,0),到直线y=x+1即x-y+1=0的距离d=,而0<<1,所以直线与圆相交,但直线不过圆心。故选B。 B 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为 ( ) A. B.2 C.2 D.4 解析　过点(0,1)且倾斜角为的直线l的方程为y-1=x,即x-y+1=0。因为圆x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2=9,所以圆心坐标为(0,3),半径r=3,圆心到直线l的距离d==1,所以直线被圆截得的弦长|AB|=2×。故选D。 D 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.圆Q:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为( ) A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y+4=0 D.x-y+2=0 解析　圆Q的标准方程为(x-2)2+y2=4。因为P(1,)在圆Q上,所以所求切线方程为(1-2)(x-2)+(-0)(y-0)=4,即x-y+2=0。故选D。 D 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= 。   解析　两圆的圆心距d=,由两圆相切(外切或内切),得=5+1或=5-1,解得a=±2或a=0。 ±2或0 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.若直线过点P(4,1)且被圆x2+y2=25截得的弦长是6,则该直线的方程为 。  解析　当直线的斜率不存在时,该直线的方程为x=4,代入圆的方程解得y=±3,故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意。当直线的斜率存在时,不妨设直线的方程为y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,圆心到直线的距离d=,则2=6,解得k=-,所以直线方程为15x+8y-68=0。综上所述,所求直线方程为x=4或15x+8y-68=0。 x=4或15x+8y-68=0 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　直线与圆的位置关系………………………… 自练自悟 1.直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0的位置关系为( ) A.相切 B.相交或相切 C.相交 D.相交、相切或相离 解析　解法一:直线kx-y+2-k=0的方程可化为k(x-1)-(y-2)=0,该直线恒过定点(1,2)。因为12+22-2-8<0,所以点(1,2)在圆x2+y2-2x-8=0的内部,所以直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0相交。故选C。 解法二:因为圆的方程可化为(x-1)2+y2=32,所以圆的圆心为(1,0),半径为3。圆心到直线kx-y+2-k=0的距离为≤2<3,所以直线与圆相交。故选C。 C 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.已知圆C:x2+y2-2ay+a-1=0,直线l:x-y=0,则直线l与圆C的位置关系为( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 解析　由x2+y2-2ay+a-1=0,得x2+(y-a)2=,所以圆C的圆心坐标为(0,a),半径r=,因为圆心C(0,a)到直线l的距离d=,且r2-d2=(a2-2a+2)=(a-1)2+>0恒成立,所以d<r,所以直线l与圆C相交。故选 B。 B 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.已知直线l过点A(a,0)且斜率为1,若圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则实数a的值为( ) A.3 B.±3 C.±2 D.± 解析　直线l的方程为y=x-a,即x-y-a=0。因为圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,所以圆心(0,0)到直线l的距离为1,故=1,解得a=±。故选D。 D 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于直线y=a对称的直线与圆 (x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 。  解析　因为kAB=,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为(3-a)x-2y+2a=0。由题意可知圆心为(-3,-2),且圆心到对称直线的距离小于或等于1,所以≤1。整理,得6a2-11a+3≤0,解得。   第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1.几何法:利用d与r的关系判断。 2.代数法:联立方程之后利用Δ判断。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　圆的弦长与切线问题………………………… 微专题 角度❶:弦长问题 【例1】　(1)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为( ) A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0或x=0 C.4x-3y+9=0或x=0 D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 B 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　当直线l的斜率不存在时,其方程为x=0,则由所以|AB|=2,符合题意。当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,因为圆x2+y2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心为C(1,1),圆的半径r=2,易知圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=,d2+=r2,所以+3=4,解得k=-,所以直线l的方程为y=-x+3,即3x+4y-12=0。综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=0。故选B。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l:x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 。   解析　设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式,得|AB|=2,所以S△ABC=,解得d=或d=,又d=,所以,解得m=±2或m=±。 2 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 弦长的两种求法 1.代数法:将直线方程和圆的方程联立,消元后得到一个一元二次方程。在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长。 2.几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❷:切线问题 【例2】　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( ) A.1 B. C. D. B 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5,所以圆心坐标为(2,0),半径r=,所以圆心到点(0,-2)的距离为,由于圆心与点(0,-2)的连线平分角α,所以sin,所以cos,所以sin α=2sin。故选B。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,过点A(-1,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= 。  解析　已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,又圆心C(3,1),半径r=3,所以直线l过圆心C(3,1),故3+a-1=0,即a=-2,所以点A(-1,-2),|AC|==5,|AB|==4。 4 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 求解直线与圆相切问题利用圆心到直线的距离等于半径。特别注意所构成的直角三角形的几何性质。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❶ ❷ 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.已知圆x2+y2=4截直线y=k(x-2)所得弦的长度为2,那么实数k的值为 ( ) A.± B. C. D.± 解析　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,点(0,0)到直线y=k(x-2)的距离d=,则弦长为2=2,得2=2,解得k=±。故选D。 D 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.(2024·T8联考)直线x-y-1=0将圆(x-2)2+(y-3)2=8分成两段,这两段圆弧的弧长之比为( ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶5 D.3∶5 解析　设直线与圆的两个交点为A,B,圆心为C,∠ACB=2α(0<α<π),因为圆心到直线的距离为,所以cos α=,因为0<α<π,所以α=,所以∠ACB=,两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比,等于∶=1∶2,故选A。 A 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.(2024·龙岩模拟)已知点P(x0,y0)是直线l:x+y=4上的一点,过点P作圆O:x2+y2=2的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PAOB的面积的最小值 为 。  解析　由圆O:x2+y2=2,得r=,四边形PAOB的面积S=2S△PAO=|PA|·|AO| =|PA|,因为点P(x0,y0)是直线l:x+y=4上的一点,所以P(x0,4-x0),则|PA|=,又|PO|2=+(4-x0)2=2-8x0+16=2(x0-2)2+8≥8,所以|PO|2-2≥6,则|PA|≥,所以四边形PAOB的面积的最小值为。 　2 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　圆与圆的位置关系 【例3】　(1)圆C1:(x-2)2+(y-4)2=9与圆C2:(x-5)2+y2=16的公切线条数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　依题意,圆C1的圆心为C1(2,4),半径R1=3,圆C2的圆心为C2(5,0),半径R2=4,|C1C2|==5,因为|R1-R2|<5<R1+R2,故圆C1与C2相交,有2条公切线。故选B。 B 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和圆C2:x2+y2-10x-12y+45=0。 (ⅰ)求证:圆C1和圆C2相交; (ⅱ)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长。 解　(ⅰ)证明:圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4,两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,因为|r1-r2|<d<r1+r2,所以圆C1和圆C2相交。 (ⅱ)将圆C1和圆C2的方程左、右分别相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0。圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离d==3,故公共弦长为2。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长,先求出公共弦所在直线的方程,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为 ,公共弦长为 。  解析　联立两圆的方程得两式相减并化简,得x-2y+4=0,即为两圆公共弦所在直线的方程。由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,则圆C1的圆心坐标为(1,-5),半径r=5,圆心到直线x-2y+4=0的距离为d=。设公共弦长为2l,由勾股定理,得r2=d2+l2,即50=(3)2+l2,解得l=,故公共弦长为2。 x-2y+4=0 2 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 。  解析　解法一:由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),O2(3,4),r1=1, r2=4。因为|O1O2|=r1+r2,所以两圆外切。由两圆外切,画出示意图,如图。 3x+4y-5=0(或7x-24y-25=0或x+1=0,答案不唯一) 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间   设切点为A(x,y)。由,得A,所以切线l1的斜率k1=-,所以l1:y-,即3x+4y-5=0。由图象易得两圆均与直线l2:x=-1相切。过两圆圆心的直线方程为l:y=x。联立故直线l与l2的交点为P。由切线定理, 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 得两圆的另一公切线l3过点P。设l3:y+=k(x+1)。由点到直线的距离公式,得=1,解得k=,所以l3:y+(x+1),即7x-24y-25=0。 解法二:因为两圆圆心距离为=5,且r1=1,r2=4,r1+r2=5,所以两圆相外切,两圆方程相减得过切点的切线方程l1:3x+4y-5=0。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 学考衔接 教材再研究 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 阿波罗尼斯圆 【源于教材】　(人教A版选择性必修第一册第97页例6)得到的圆即是著名数学家阿波罗尼斯提出的一种圆的方程,我们称之为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.阿波罗尼斯圆的定义及应用 若点A,B为两定点,动点M满足|MA|=λ|MB|,则λ=1时,动点M的轨迹为直线;当λ>0且λ≠1时,动点M的轨迹为圆,此圆称之为阿波罗尼斯圆。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 如图,设A(-m,0),B(m,0)。当λ>0,且λ≠1时,可得阿波罗尼斯圆的方程为,是以点P为圆心,为半径的圆。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【拓展】　已知平面上两定点A,B,则所有满足=λ,(λ>0且λ≠1)的动点M的轨迹是一个以定比为=λ(λ>0且λ≠1)内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。若以线段AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则圆的半径为·|AB|,圆心为。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例1】　如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上。 (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)联立得圆心为C(3,2)。切线的斜率存在,设切线方程为y=kx+3。圆心C到切线的距离d==r=1,解得k=0或k=-。故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0。 (2)解法一:设点M(x,y),由|MA|=2|MO|,知,化简得x2+(y+1)2=4。即点M的轨迹为以点D(0,-1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D。又因为点M也在圆C上,故圆C与圆D的关系为相交或相切。故1≤|CD|≤3,其中|CD|=,解得0≤a≤。即圆心C的横坐标a的取值范围是。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解法二:(利用拓展结论)当M1为线段OA的内分点时,M1坐标为(0,1),当M2为OA外分点时,M2坐标为(0,-3),所以M的轨迹是以M1M2为直径的圆,其方程为x2+(y+1)2=4,以下同解法一。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 思考题　已知圆O:x2+y2=1和点A,若定点B(b,0)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ= ,△MAB面积的最大值 为 。  2   第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　设点M(x,y),由|MB|=λ|MA|,得(x-b)2+y2= λ2,整理得x2+y2-=0,所以如图所示,S△MAB=|AB|·|yM|,由图可知,当|yM|=1,即点M的坐标为(0,1)或(0,-1)时,S△MAB取得最大值,故△MAB面积的最大值为。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.阿波罗尼斯圆的性质 (不做考试要求,仅供欣赏) 性质1:三角形的相似性质。 当把点A,B的坐标分别记为A(λ2b,0),B(b,0)时,其阿波罗尼斯圆的方程为x2+y2+=0,即x2+y2=λ2b2,则阿波罗尼斯圆圆心为O(0,0),半径为|λb|,此时有=λ,于是△OAM与△OMB相似。虽然上述结论是取特殊坐标推导的,但结论具有普遍性。如图所示,若取b=4,λ=,则当M为阿波罗尼斯圆上一点,且M不与O,A,B三点所在直线共线时,△OAM相似于△OMB。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例2】　已知两定点P,Q(m,0),动点M与定点P,Q的距离之比=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,若其方程为x2+y2=4,则λ+m的值为 。  -4 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图所示,根据阿波罗尼斯圆的性质得,△OPM与△OMQ相似,于是有=λ,又P,且阿波罗尼斯圆方程为x2+y2=4,所以|OP|=,|OM|=2,因此λ=4,|OQ|=8,由于Q(m,0),因此m=-8,故λ+m= -4。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 性质2:已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2上任意一点P和坐标轴上任意两点A,B,求形如λPA±PB(PA±λPB)的最值问题,可逆用阿氏圆转化为三点共线计算最值。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例3】　已知圆C是以线段MN为直径的圆,且M(2,2),N(6,-2),点P为圆C上的动点,若点A(2,0),点B(1,1),则2|PA|-|PB|的最大值为( ) A.　　B.4+　　C.8+5　　D. A 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　由题设,知圆心C(4,0)且|MN|==8,即圆C的半径为4,因为圆C:(x-4)2+y2=16,如图,D(-4,0),则|OD|=2|AC|=|CP|=|OC|=4,所以,即△APC∽△PDC,故(亦可逆用阿氏圆,其实就是阿氏圆的几何推导)。所以2|PA|-|PB|=|PD|-|PB|,在△PBD中,|PD|-|PB|<|BD|,所以要使|PD|-|PB|最大,则P,B,D三点共线,且最大值为|BD|的长度。又|BD|=,所以2|PA|-|PB|的最大值为。故选 A。 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第八章　第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 方法 过程 依据 结论 代数法 联立方程组消去x(或y)得一元二次方程,计算Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 几何法 计算圆心到直线的距离d,比较d与半径r的关系(相交时弦长为2) d r 相交 d r 相切 d r 相离 方法 位置关系 几何法:圆心距 d与r1,r2的关系 代数法:两圆方程联立 组成方程组的解的情况 外离 解 外切 实数解 相交 实数解 内切 (r1≠r2) 实数解 内含 0 d |r1-r2| (r1≠r2) 解 3.两圆公切线的条数 位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 公切线条数 $$