第7章 第6节 第2课时 用空间向量求空间角(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七章 立体几何与空间向量 第六节　空间向量的应用 第2课时　用空间向量求空间角 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　异面直线所成的角 …………………………自练自悟 1.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( ) A. B. C.- D.- A 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　取BD的中点为O,连接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD。又平面ABD⊥平面CBD且交线为BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面CBD,又OC⊂平面CBD,则AO⊥CO。设正方形的对角线长度为2,如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0), D(-1,0,0),所以=(1,0,-1),=(-1,-1,0),cos<,。所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为。故选A。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2. (2024·海南华侨中学模拟)如图,在三棱锥M⁃ABC中,MA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,MA=2,F是MC的中点,则异面直线MB与AF所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. D 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　以A为原点,AC,AM所在直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,易知A(0,0,0),B(,1,0), F(0,1,),M(0,0,2),所以=(,1,-2), =(0,1,)。设异面直线MB与AF所成角为θ,则cos θ=|cos<,,所以异面直线MB与AF所成角的余弦值为。故选D。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.如图,在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB=AA1=2,E,F分别是BC,A1C1的中点。设D是线段B1C1上的(包括两个端点)动点,当直线BD与EF所成角的余弦值为时,线段BD的长为 。  2 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,以E为原点建立空间直角坐标系,则E(0,0,0),F,B(0,-1,0),设D(0,t,2)(-1≤t≤1),则,=(0,t+1,2),设直线BD与EF所成角为θ,则cos θ=,即23t2+14t-37=0,解得t=1或t=-(舍去),所以|。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 1.建立空间直角坐标系; 2.用坐标表示两异面直线的方向向量; 3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值; 4.两异面直线所成角的范围是,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　直线与平面所成的角 【例1】　(2023·重庆市二模)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD是矩形,E为AD的中点,AD⊥平面PAB,PA⊥PB,M为PB的中点。 (1)求证:EM∥平面PCD; (2)若AP=AD,AB=AD, 求直线EM与平面PCE所成角的正弦值。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:如图,取PC的中点为F,连接MF,DF,则MF ∥ BC ∥ DE,且MF=BC=DE,所以四边形DEMF是平行四边形,所以DF ∥ EM,因为DF⊂平面PCD,EM⊄平面PCD,所以EM∥平面PCD。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)因为AD⊥平面PAB,PA,PB⊂平面PAB,所以AD⊥PA,AD⊥PB。以A为原 点,以在平面PAB内垂直于AB的直线为x轴,AB,AD所在直线分别为y轴、z 轴,建立空间直角坐标系Axyz,如图所示。设AD=2,则AP=2,AB=2,因为PA⊥PB,所以∠PAB=45°。所以P(,,0),D(0,0,2),B(0,2,0), E(0,0,1),C(0,2,2),M,所以=(0,2,1),=(-,,2),。设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 不妨令y=-1,得z=2,x=3,所以n=(3,-1,2)是平面PCE的一个法向量,设直线EM与平面PCE所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,所以直线EM与平面PCE所成角的正弦值为。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 向量法求直线与平面所成角的主要方法 1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)。 2.通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)(2024·河南焦作模拟)在直三棱柱ABC⁃A1B1C1 中,AB⊥BC,且AB=BC=2,若直线AB1与侧面AA1C1C所成的角为,则异面直线A1B与AC所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. D 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析 在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,因为AB⊥BC,所以BA,BC,BB1两两垂直,以直线BA,BC,BB1分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设BB1=a(a>0),则A(2,0,0),A1(2,0,a),B1(0,0,a),C(0,2,0),所以=(-2,0,a),=(0,0,a),=(-2,2,0)。设平面AA1C1C的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,1,0)为平面AA1C1C的一个法向量, 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 所以直线AB1与侧面AA1C1C所成角的正弦值为sin,n>|=,得a=2,所以A1(2,0,2),=(-2,0,-2)。设异面直线A1B与AC所成的角为θ,则cos θ=|cos<,,所以异面直线A1B与AC所成角的正弦值为。故选D。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1。 (ⅰ)证明:A1C=AC; (ⅱ)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(ⅰ)证明:如图,过点A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC,又∠ACB=90°,所以AC⊥BC,因为A1C,AC⊂平面ACC1A1,且A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,因为A1D⊂平面ACC1A1,所以BC⊥A1D,又CC1,BC⊂平面BCC1B1,且CC1∩BC=C,所以A1D⊥平面BCC1B1,所以A1D=1。由已知条件易证△CA1C1是直角三角形,又CC1=AA1=2,A1D=1,所以D为CC1的中点,又A1D⊥CC1,所以A1C=A1C1,又在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC=A1C1,所以A1C=AC。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (ⅱ)如图,连接A1B,由(ⅰ)易证A1B=A1B1,故取BB1的中点F,连接A1F,因为AA1与BB1的距离为2,所以A1F=2,又A1D=1且A1C=AC,所以A1C=A1C1=AC=,AB=A1B1=,BC=。建立空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),B1(-,,),C1(-,0,),所以=(0,,0),=(-,0,),=(-2,,),设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则y=0,z=1,所以平 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 面BCC1B1的一个法向量为n=(1,0,1)。设AB1与平面BCC1B1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,。所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　平面与平面的夹角 …………………………真题示例·考题研析 【例2】　(2023·新高考Ⅰ卷) 如图,在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中, AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1, BB2=DD2=2,CC2=3。 (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角 P⁃A2C2⁃D2为150°时,求B2P。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【规范解答】　(1)证明:以C为原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),所以=(0,-2,1),=(0,-2,1),因为,所以,又B2C2,A2D2不在同一条直线上,所以B2C2 ∥ A2D2。 思维点1:由“形”到“数”,根据向量的关系得到直线的位置关系。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4),则=(-2,-2,2),=(0,-2,3-λ),=(-2,0,1), 设平面PA2C2的法向量n=(x,y,z), 则 令 z=2,得y=3-λ,x=λ-1, 所以n=(λ-1,3-λ,2)为平面PA2C2的一个法向量, 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 设平面A2C2D2的法向量m=(a,b,c), 则 令a=1,得b=1,c=2, 所以m=(1,1,2)为平面A2C2D2的一个法向量, 所以|cos<n,m>|= 思维点2:利用平面的法向量表达二面角的余弦值,利用方程思想求出点P的坐标。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 =, 化简可得,λ2-4λ+3=0,解得λ=1或λ=3, 所以P(0,2,1)或P(0,2,3),所以B2P=1。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法 (1)找法向量:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小。 (2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(2024·九省适应性考试)如图,平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2, ∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°。 (1)证明:C1O⊥平面ABCD; (2)求二面角B⁃AA1⁃D的正弦值。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:(),因为··()=(··)+()=0,所以C1O⊥BD。因为CC1=2,CO=,∠C1CO=45°,所以C1O=,所以C1O2+OC2=C,所以C1O⊥OC,又因为BD∩OC=O,且BD,OC⊂平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)如图建立空间直角坐标系,则B(,0,0),A(0,-,0),C1(0,0,),C(0,,0),所以A1(0,-2,),D(-,0,0),所以=(,,0),=(0,-,),= (-,,0),设平面AA1B与平面AA1D的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则有不妨取x1=x2=1,则n1=(1,-1,-1),n2=(1,1,1)。设二面角B⁃AA1⁃D的平面角为θ,则|cos θ|=,sin θ=。所以二面角B⁃AA1⁃D的正弦值为。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 增分培优 激活思维 智学慧考 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 利用面面垂直性质定理巧建 空间直角坐标系 坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法,运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系,而如何建立恰当的空间直角坐标系是本章的难点,这就要求学生抓住空间几何图形的结构特征,充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立直角坐标系,其中某些隐含垂直关系的题目建立空间直角坐标系是解题难点,这大多需要利用面面垂直的性质定理解决。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例】　(2022·新高考Ⅰ卷)如图,直三棱柱ABC⁃A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2。 (1)求A到平面A1BC的距离; (2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1, 求二面角A⁃BD⁃C的正弦值。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【解】　(1)设点A到平面A1BC的距离为h。因为,所以··h=,所以h=。所以点A到平面A1BC的距离为。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)如图,取A1B的中点E,连接AE。 因为AA1=AB,所以AE⊥A1B。 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,AE⊂平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,所以AE=h=,则AA1=AB=2。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 因为AE⊥平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AE⊥BC。 又AA1⊥平面ABC,所以A1A⊥BC,又AE∩A1A=A,所以BC⊥平面ABB1A1。 因为AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AB。 由=S△ABC·A1A=AB·BC·A1A=×2×BC×2=4,解得BC=2。 以B为原点,分别以BC,BA,BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。易得B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,1),D(1,1,1)。 所以=(0,-1,1),=(1,1,1),=(0,2,0)。 由题意,得平面BDC的法向量为n1==(0,-1,1)。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 设平面BDA的法向量为n2=(x,y,z), 则 令x=1,则y=0,z=-1,所以n2=(1,0,-1), 所以cos<n1,n2>=。 设二面角A⁃BD⁃C的平面角为α,则sin α=, 所以二面角A⁃BD⁃C的正弦值为。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【总结反思】　本题第(2)问需要建立空间直角坐标系,而题目本身没有明显的共点的三条互相垂直的直线,认真观察题目的条件平面A1BC⊥平面ABB1A1,联立面面垂直的性质定理,先证BC⊥平面ABB1A1,就可得三条共点的两两垂直的直线,从而达到建立空间直角坐标系的目的。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【训练】　(2021·新高考Ⅰ卷)如图,在三棱锥A⁃BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点。 (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E⁃BC⁃D的大小为45°,求三棱锥A⁃BCD的体积。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:因为AB=AD,O为BD的中点,所以OA⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,OA⊂平面ABD,所以OA⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,所以OA⊥CD。 (2)解法一:因为△OCD是边长为1的正三角形,且O为BD的中点,所以OC=OB=OD=1, 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 所以△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°,BC=,所以S△BCD=。如图,过点E作EF∥AO,交BD于点F,过点F作FG⊥BC,垂足为点G,连接EG。因为AO⊥平面BCD,所以EF⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,所以EF⊥BC,又FG⊥BC,且EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG,所以BC⊥平面EFG,又EG⊂平面EFG,所以BC⊥EG,则∠EGF为二面角E⁃BC⁃D的平面角,所以∠EGF=45°,则GF=EF。因为DE=2EA,所以EF=OA,DF=2OF,所以= 2。因为FG⊥BC,CD⊥BC,所以GF∥CD,则,所以GF=。所以EF=GF=,所以OA=1,所以VA⁃BCD=S△BCD·OA=。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解法二:如图所示,以O为原点,OB,OA所在直线分别为x轴,z轴,在平面BCD内,以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系。 因为△OCD是边长为1的正三角形,且O为BD的中点,所以OC=OB=OD=1,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C。设A(0,0,a),a>0,因为DE=2EA,所以 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 E。由题意可知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1)。设平面BCE的法向量为m=(x,y,z),因为, 令x=1,则y=,z=,所以m=。因为二面角 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 E⁃BC⁃D的大小为45°,所以cos 45°=,所以a=1,即OA= 1。因为S△BCD=BD·CDsin 60°=,所以VA⁃BCD=S△BCD·OA=。 第七章　第六节　第2课时　用空间向量求空间角 点击 导航 关键能力·突破 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$