第7章 第4节 空间直线、平面的垂直(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七章 立体几何与空间向量 第四节　空间直线、平面的垂直 1.以立体几何的定义、4个基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理;2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论,证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的 一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直。 任意 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理 两条相交直线 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 平行 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,则它们所成的角是 ; 一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是 。 (2)取值范围: 。 射影 90° 0° [0°,90°] 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角。 (2)二面角的平面角 若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α⁃l⁃β的平面角是 。 (3)二面角的平面角α的取值范围:[0°,180°]。 两个半平面 ∠AOB 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.两个平面垂直 (1)两个平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直。 直二面角 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)两个平面垂直的判定定理与性质定理 垂线 交线 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 1.三个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。 (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)。 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.三种垂直关系的转化 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是 “α⊥β”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　依题意,由l⊥β,l⊂α,可以推出α⊥β;反过来,由α⊥β,l⊂α不能推出l⊥β。因此“l⊥β”是 “α⊥β”成立的充分不必要条件,故选A。 A 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S⁃EFG中必有( ) A.SG⊥△EFG所在平面 B.SD⊥△EFG所在平面 C.GF⊥△SEF所在平面 D.GD⊥△SEF所在平面 A 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　四面体S⁃EFG如图所示,由SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,且GE,GF⊂平面EFG,得SG⊥平面EFG。故选A。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.在三棱锥P⁃ABC中,点P在平面ABC内的射影为点O。 (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心。  解析　如图,连接OA,OB,OC,OP,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中, PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心。 外 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的 心。  解析　如图,连接AO,BO,CO并延长分别交BC,AC,AB于点H,D,G。因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,所以PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB,因为AB⊥PO,PO∩PC=P,所以AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC的边AB上的高。同理可证BD,AH分别为△ABC的边AC,BC上的高,故O为△ABC的垂心。 垂 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有 对。  解析　如图,由于PD垂直于正方形ABCD所在平面,故平面PDA⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对。 7 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　直线与平面垂直 【例1】　(1)(多选题) 如图,直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系中正确的是( ) A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC ABD 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　AB为直径,C为圆上异于A,B的任一点,所以AC⊥BC。因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,A正确。因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,从而PC⊥BC,所以B、D正确。显然C不正确。故选ABD。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2) 如图所示,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点。求证: (ⅰ)CD⊥AE; (ⅱ)PD⊥平面ABE。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明　(ⅰ)在四棱锥P⁃ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD。又因为AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC,而AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE。 (ⅱ)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA。因为E是PC的中点,所以AE⊥PC。由(ⅰ)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD,而PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD。因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB。又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD。因为AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,所以PD⊥平面ABE。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法:①判定定理,②直线垂直于平面的传递性,③面面垂直的性质。 (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直,则需借助线面垂直的性质。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)过△ABC所在平面α外的一点P,作PO⊥α,垂足为点O,若点P到直线AB,AC和BC的距离都相等,则点O是△ABC的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 A 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图, 过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,PD⊥AC于点D,则PE=PF=PD,连接OD,OE,OF,又PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PO⊥AC,PO⊥AB,PO⊥BC,又PO∩PD=P, PO∩PE=P,PO∩PF=P,所以AC⊥平面POD,AB⊥平面POE,BC⊥平面POF,又OD⊂平面POD,OE⊂平面POE,OF⊂平面POF,所以AC⊥OD, AB⊥OE,BC⊥OF。在Rt△POD,Rt△POE,Rt△POF中, OD=,OE=,OF=,所以OD=OE=OF,故O一定是△ABC的内心。故选A。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2) 如图所示,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点。当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明　因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC。在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,因为BB1⊥底面ABC,AD⊂底面ABC,所以AD⊥B1B。因为BC∩B1B=B,BC,B1B⊂平面B1BCC1,所以AD⊥平面B1BCC1。因为B1F⊂平面B1BCC1,所以AD⊥B1F。 证法一:在矩形B1BCC1中,因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以Rt△DCF≌ Rt△FC1B1,所以∠CFD=∠C1B1F,所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥FD。因为AD∩FD=D,AD,FD⊂平面ADF,所以B1F⊥平面ADF。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证法二:连接B1D(图略),在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3,所以B1D=。在Rt△B1C1F中,B1C1=2,C1F=1,所以B1F=。在Rt△DCF中,CF=2,CD=1,所以DF=。显然DF2+B1F2=B1D2,所以∠B1FD=90°。所以B1F⊥FD。因为AD∩FD=D,AD,FD⊂平面ADF,所以B1F⊥平面ADF。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　平面与平面垂直 【例2】　(1) 如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC,垂足为点S,AN⊥PB,垂足为点N,则下列结论不正确的是( ) A.平面ANS⊥平面PBC B.平面ANS⊥平面PAB C.平面PAB⊥平面PBC D.平面ABC⊥平面PAC B 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又AN⊂平面PAB,所以BC⊥AN,又因为AN⊥PB,BC∩PB=B,PB,BC⊂平面PBC,所以AN⊥平面PBC,又AN⊂平面ANS,AN⊂平面PAB,所以平面ANS⊥平面PBC,平面PAB⊥平面PBC,所以A、C正确,D显然正确。故选B。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E为AD的中点。求证: (ⅰ)PE⊥BC; (ⅱ)平面PAB⊥平面PCD。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明　(ⅰ)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD。因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD。所以PE⊥BC。 (ⅱ)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD。又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD。又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD。又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以PD⊥平面PAB。又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.判定面面垂直的方法:(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)。 2.已知面面垂直时,解题一般要用性质定理进行转化。在一个平面内作交线的垂线,将问题转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥P⁃BCDE。 (1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱锥P⁃BCDE的体积; (2)若PB=PC,求证:平面PDE⊥平面BCDE。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解(1)如图所示,取DE的中点M,连接PM,由题意知,PD=PE,所以PM⊥DE,又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM⊂平面PDE,所以PM⊥平面BCDE,即PM为四棱锥P⁃BCDE的高。在等腰直角三角形PDE中,PE=PD=AD=2,所以PM=,而直角梯形BCDE的面积S=(BE+CD)·BC=×(2+4)×2=6,所以四棱锥P⁃BCDE的体积V=PM·S=。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证明:如图,取BC的中点N,连接PN,MN,则BC⊥MN,因为PB=PC,所以BC⊥PN,又MN∩PN=N,MN,PN⊂平面PMN,所以BC⊥平面PMN,因为PM⊂平面PMN,所以BC⊥PM,由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE⊂平面BCDE,且BC与DE是相交的,所以PM⊥平面BCDE,因为PM⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　几何法求空间角 【例3】　(1)(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边, △ABD为等边三角形,若二面角C⁃AB⁃D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( ) A. B. C. D. C 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　取AB的中点E,连接CE,DE,因为△ABC是等腰直角三角形,且AB为斜边,则有CE⊥AB,又△ABD是等边三角形,则DE⊥AB,从而∠CED为二面角C⁃AB⁃D的平面角,即∠CED=150°,显然CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,于是AB⊥平面CDE,又AB⊂平面ABC,因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC=CE,直线CD⊂平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角,令AB=2,则 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 CE=1,DE=,在△CDE中,由余弦定理,得CD=,由正弦定理,得,即sin∠DCE=,显然∠DCE是锐角,则cos∠DCE=,所以直线CD与平面ABC所成的角的正切值为。故选C。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)如图,在边长为a的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,沿AD折成二面角B⁃AD⁃C,若此时BC=a,则二面角B⁃AD⁃C的大小为 。    第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如题图所示,由二面角定义知,∠BDC为所求二面角B⁃AD⁃C的平面角,又BC=BD=DC=a,所以△BDC为等边三角形,所以∠BDC=,所以二面角B⁃AD⁃C的大小为。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 几何法求空间角主要是利用定义法,要注意借助于图形中的垂直关 系。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1) 如图,已知棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1,点E为线段CD1的中点,则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为( ) A. B. C. D. A 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　(图略)连接AB1,设AB1与A1B交于点F,易知AF⊥A1B,AF⊥BC,且A1B∩BC=B,A1B,BC⊂平面A1BCD1,所以AF⊥平面A1BCD1。连接EF,则∠AEF是直线AE与平面A1BCD1所成的角,tan∠AEF=。故选A。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2) 如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P⁃AC⁃B的正切值是 。    第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　取AC的中点D,连接OD,PD,易知OD⊥AC,PD⊥AC,所以∠PDO是二面角P⁃AC⁃B的平面角。因为PA=AB=2,所以AC=BC=,所以PO=,OD=,所以二面角P⁃AC⁃B的正切值是。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 增分培优 激活思维 智学慧考 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 立体几何中的截面、动态问题 一　截面问题 多面体中截面的作法: (1)直接法:有两点在多面体的同一个面上,连接这两点即为多面体与截面的交线,找截面实际就是找交线的过程。 (2)延长线法:若直线相交,但在多面体中未体现,可以通过作延长线的方法找到交点,然后借助交点找到交线。 (3)平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例1】　已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别是棱AA1,BC的中点,则平面D1EF截该正方体所得的截面图形的周长为 (　　) A.6 B.10 C. D. 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【解析】　取CC1的中点G,连接BG,则D1E ∥ BG, 取CG的中点N,连接FN,则FN ∥ BG, 所以FN ∥ D1E。 延长D1E,DA交于点H,连接FH交AB于点M, 连接ME,则平面D1EF截该正方体所得的截 面图形为多边形D1EMFN。 由题知A为HD的中点,A1E=AE=2,BF=CF=2, C1N=3,CN=1,则D1E=, D1N==5,FN=。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 取AD的中点Q,连接QF,则AM ∥ FQ, 所以, 所以AM=·FQ=,则MB=, 则ME=, MF=, 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 所以截面图形的周长为D1E+EM+MF+FN+ND1=2。故选D。 【答案】　D 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例2】　在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=AD=,以C为球心,2为半径的球C与该四面体每个面的交线的长度之和为(　　) A. B.π C. D. 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【解析】　由题意得△ACD,△ABC为等腰直角三角形。 设球C与Rt△ACD的边CD、AD分别交于点M、N,如图①,设球C与Rt△ABC的边AB、CB分别交于点H、G,如图②。 易得cos∠ACN=,则∠ACN=,AN=AC·tan=1, 所以∠NCM=∠ACD-∠ACN=, 所以的长为2×,同理,。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 在△ABD内,如图③,因为AH=AN==1,∠HAN=,则的长为1×。如图④,易知是以顶点C为圆心,2为半径,圆心角为的弧,则的长为2×,所以球C与该四面体每个面的交线的长度之和为。故选D。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【答案】　D 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【训练1】　(1)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,E为棱BB1的中点,则平面AED1截正方体ABCD⁃A1B1C1D1的截面面积为( ) A. B. C.4 D. D 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,取B1C1的中点为M,连接EM,MD1,BC1,则EM ∥ BC1,且EM=BC1,则EM ∥ AD1,且EM=AD1。又AB=2,所以MD1=AE=,BC1=AD1=2,因此EM=,所以平面AED1截正方体ABCD⁃A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EMD1A,因为该等腰梯形的高h=,所以该截 面的面积S=(AD1+EM)·h=。故选D。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2024·广东广州模拟)已知三棱锥P⁃ABC的棱AB,AC,AP两两垂直, AB=AC=AP=,以顶点A为球心,1为半径作一个球,球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为( ) A. B. C. D. D 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　因为三棱锥P⁃ABC的棱AB,AC,AP两两垂直,AB=AC=AP=,所以PB=PC=BC=2。所以球A与三棱锥的表面ABC,APC,APB的交线均是以点A为圆心,1为半径,为圆心角的圆弧,其长度为。设点A到平面PBC的距离为d,因为AB=AC=AP=,所以△PBC是边长为2的等边三角形,由VP⁃ABC=VA⁃PBC可得×d,解得d=,所以球A与表面PBC的交线是以△PBC的中心为圆心,为半径的圆,其长度为,因为,所以以顶点A为球心,1为半径作一个球,球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为,故选D。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 二　动态问题 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素,因此要认真分析其变化特点,寻找不变的静态因素,从静态因素中,找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择题、填空题,有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来,通过动态思维,观察它的变化规律,找到两个极端位置,即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围(最值)问题,用定性分析法,比较复杂时,可以引进参数,把动态问题化归为静态问题。具体地,可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例3】　如图,点P在正方体ABCD⁃A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列结论一定成立的是 (　　) A.三棱锥A⁃A1PD的体积大小与点P的位置有关 B.A1P与平面ACD1相交 C.平面PDB1⊥平面A1BC1 D.AP⊥D1C 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【解析】　对于选项A,, 在正方体中,BC1 ∥平面AA1D,所以点P到平面AA1D的距离不变, 即三棱锥P⁃AA1D的高不变,又△AA1D的面积不变, 因此三棱锥P⁃AA1D的体积不变, 即三棱锥A⁃A1PD的体积与点P的位置无关,故A不成立; 对于选项B,由于BC1 ∥ AD1,AD1⊂平面ACD1,BC1⊄平面ACD1, 所以BC1 ∥平面ACD1,同理可证BA1 ∥平面ACD1,又BA1∩BC1=B,所以平面BA1C1 ∥平面ACD1,因为A1P⊂平面BA1C1, 所以A1P ∥平面ACD1,故B不成立; 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 对于选项C,因为A1C1⊥BD,A1C1⊥BB1,BD∩BB1=B, 所以A1C1⊥平面BB1D,则A1C1⊥B1D,同理A1B⊥B1D, 又A1C1∩A1B=A1,所以B1D⊥平面A1BC1, 又B1D⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面A1BC1,故C成立; 对于选项D,当点B与点P重合时,AP与D1C的夹角为,故D不成立。 【答案】　C 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【训练2】　如图,已知四棱锥S⁃ABCD的底面是边长为6的菱形,∠BAD=60°, AC,BD相交于点O,SO⊥平面ABCD,SO=4,E是BC的中点,动点P在该棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长为 。  8 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,分别取DC,SC的中点G,F,连接GE,GF,FE。因为E是BC的中点,所以GE ∥ DB,FE ∥ SB,因为GE⊄平面SBD,DB⊂平面SBD,所以GE ∥平面SBD;因为FE⊄平面SBD,SB⊂平面SBD,所以FE ∥平面SBD,又GE∩FE=E,所以平面FEG ∥平面SBD。因为SO⊥平面ABCD,所以SO⊥AC,又因为四边形ABCD是菱形,所以DB⊥AC,因为SO∩DB=O,所以AC⊥平面SBD,则AC⊥平面FEG,故只要动点P在平面FEG内即可总保持PE⊥AC,又动点P在棱锥表面上运动,所以动点P的轨迹的长即为△FEG的周长。因为四边形ABCD是边长为6的菱形,且∠BAD=60°,所以BD=6,则OB=OD=3,又SO=4,所以SB=SD=5,故FE=FG=,GE=3,所以△FEG的周长为8。 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第七章　第四节　空间直线、平面的垂直 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 增分培优 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 ⇒a∥b 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α $$