第7章 第3节 空间直线、平面的平行(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七章 立体几何与空间向量 第三节　空间直线、平面的平行 1.以立体几何的定义、4个基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理;2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.直线与直线平行 (1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线 。 (2)定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 。 平行 相等或互补 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 ①判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 ,那么该直线与此平面平行。 ②符号语言: ,且a∥b⇒a∥α。 ③其他判定方法:α∥β,a⊂α⇒a∥β。 平行 a⊄α,b⊂α 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)直线与平面平行的性质定理 ①性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线 。 ②符号语言:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b。 [微点清]　在应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备,缺一不可。 平行 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.平面与平面平行 (1)两个平面平行的判定定理 ①定义:两个平面 ,称这两个平面平行。 ②判定定理:如果一个平面内的 与另一个平面平行,那么这两个平面平行; ③推论:若一个平面内的 分别平行于另一个平面内的 ,则这两个平面平行。 (2)两个平面平行的性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线 。 没有公共点 两条相交直线 两条相交直线 两条相交直线 平行 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 1.注意三种平行关系的转化 2.平行关系中的两个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β。 (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线( ) A.只有一条,不在平面α内 B.只有一条,且在平面α内 C.有无数条,一定在平面α内 D.有无数条,不一定在平面α内 解析　过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条,因为点P在平面α内,且l∥α,所以这条直线也应该在平面α内。故选B。 B 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 B 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确。故选B。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.(多选题)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是( ) BCD 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4. 如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2, CA=3,CD=1,则AB= 。  解析　因为α∥β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,所以CD∥AB,所以,又因为PC=2,CA=3,CD=1,所以AB=。   第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5. 如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 。  解析　因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,所以EF∥HG。同理,EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形。 平行四边形 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　直线与平面平行 ………………………………微专题 角度❶:直线与平面平行的判定与证明 【例1】　(1)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则AC和平面DEF的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定 A 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,由,得AC∥EF。又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF。故选A。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)如图,直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面是菱形,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点。证明:MN∥平面C1DE。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明　如图,连接B1C,ME。因为M,E分别是BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C。因为N为A1D的中点,所以ND=A1D。由题设知A1B1􀰿DC,可得B1C􀰿A1D,故ME􀰿ND,所以四边形MNDE为平行四边形,所以MN∥ED。又MN⊄平面C1DE,DE⊂平面C1DE,所以MN∥平面C1DE。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1) 如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列命题正确的是( ) A.MN∥AP B.MN∥BD1 C.MN∥平面BB1D1D D.MN∥平面BDP C 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,取B1C1的中点为Q,连接MQ,NQ,由三角形中位线定理,得MQ∥B1D1,又MQ⊄平面BB1D1D,B1D1⊂平面BB1D1D,所以MQ∥平面BB1D1D,由四边形BB1QN为平行四边形,得NQ∥BB1,又NQ⊄平面BB1D1D,BB1⊂平面BB1D1D,所以NQ∥平面BB1D1D,又NQ∩MQ=Q,所以平面MNQ∥平面BB1D1D,又MN⊂平面MNQ,所以MN∥平面BB1D1D。故选C。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2) 如图,五面体ABCDEF中,正方形ABCD的边长为2,AB=2EF,EF ∥ AB,点P在线段DE上,且DP=2PE,Q为BC的中点。求证:BE ∥平面APQ。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明　如图,连接BD交AQ于点M,连接PM,由四边形ABCD是正方形,易得△BMQ∽△DMA,因为BQ=AD,所以BM=DM。又EP=DP,所以PM ∥ BE。又PM⊂平面APQ,BE⊄平面APQ,所以BE ∥平面APQ。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❷:直线与平面平行的性质 【例2】　如图所示,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H。求证:PA ∥ GH。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明　如图所示,连接AC交BD于点O,连接OM,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以PA ∥ OM,又OM⊂平面BMD,PA⊄平面BMD,所以PA ∥平面BMD,又平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA ∥ GH。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(2024·福州市质量检测)如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,M是线段EF的中点。 (1)求证:AM ∥平面BDE; (2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:如图,记AC与BD的交点为O,连接OE。因为O,M分别为AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM ∥ OE。又因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM ∥平面BDE。 (2)l ∥ m。证明如下:由(1)知AM ∥平面BDE,又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l ∥ AM,同理得m ∥ AM,所以l ∥ m。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　平面与平面平行 【例3】　如图,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面ABCD是正方形。 (1)证明:平面A1BD ∥平面CD1B1; (2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l,证明:B1D1 ∥ l。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明　(1)由题设知BB1􀰿DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1。又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1。 因为A1D1􀰿B1C1􀰿BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C。又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1。又因为BD∩A1B=B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1。 (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以l∥BD,在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理; (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β); (3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ)。 2.面面平行的应用 (1)两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行。 (2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　如图,在四棱锥P⁃ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°, ∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1。设M,N分别为PD,AD的中点。 (1)求证:平面CMN ∥平面PAB; (2)求三棱锥P⁃ABM的体积。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:因为M,N分别为PD,AD的中点,所以MN ∥ PA。因为MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以MN ∥平面PAB。在Rt△ACD中,∠CAD=60°, CN=AN,所以∠ACN=60°。又∠BAC=60°,所以CN ∥ AB。因为CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CN ∥平面PAB。又CN∩MN=N,所以平面CMN ∥平面PAB。 (2)由(1)知,平面CMN ∥平面PAB,所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离。由已知,AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,所以BC=,所以VP⁃ABM=VM⁃PAB=VC⁃PAB=VP⁃ABC=。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　探索性问题 【例4】　如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,P,Q分别为对角线BD,CD1上的点,且。 (1)求证:PQ ∥平面A1D1DA; (2)若R是AB上的点,的值为多少时, 能使平面PQR ∥平面A1D1DA?请给出证明。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:如图,连接CP并延长与DA的延长线交于M点,连接MD1,因为四边形ABCD为正方形,所以BC ∥ AD,故△PBC∽△PDM,所以,又因为,所以,所以PQ ∥ MD1。又MD1⊂平面A1D1DA,PQ⊄平面A1D1DA,故PQ ∥平面A1D1DA。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)当时,能使平面PQR ∥平面A1D1DA。如图,证明如下:因为,即,故,所以PR ∥ DA。又DA⊂平面A1D1DA,PR⊄平面A1D1DA,所以PR ∥平面A1D1DA。又由(1)知PQ ∥平面A1D1DA,PQ∩PR=P,PQ,PR⊂平面PQR,所以平面PQR ∥平面A1D1DA。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解决这种数值或存在性问题的题目时,注意先给出具体的值或先假设存在,然后再证明。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　如图,在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,点D在面对角线A1B上且A1D=2DB,点E是棱B1C1上的动点。当为多少时,直线DE ∥平面ACC1A1? 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　当时,DE ∥平面ACC1A1。过点D作DF ∥ A1A,交A1B1于点F,过点F作EF ∥ A1C1交B1C1于点E,连接DE。因为EF ∥ A1C1,EF⊄平面ACC1A1,A1C1⊂平面ACC1A1,所以EF ∥平面ACC1A1。因为FD ∥ A1A,FD⊄平面ACC1A1,A1A⊂平面ACC1A1,所以FD ∥平面ACC1A1。又EF∩FD=F,EF⊂平面EFD,FD⊂平面EFD,所以平面EFD ∥平面ACC1A1,因为DE⊂平面EFD,所以DE ∥平面ACC1A1,所以,所以当时,DE ∥平面ACC1A1。 第七章　第三节　空间直线、平面的平行 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$