第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七章 立体几何与空间向量 第二节　空间点、直线、 平面之间的位置关系 1.理解空间点、直线、平面的位置关系的定义,并了解4个基本事实和定理;2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.平面的基本性质 (1)基本事实1: ,有且只有一个平面。 (2)基本事实2:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。 过不在一条直线上的三个点 两个点 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (3)基本事实3:如果两个不重合的平面有 公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,可以得到下列推论。 ①推论1:经过 ,有且只有一个平面。 ②推论2:经过 ,有且只有一个平面。 ③推论3:经过 ,有且只有一个平面。 一个 一条直线和这条直线外一点 两条相交直线 两条平行直线 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 [微点清]　三点不一定能确定一个平面。当三点共线时,过这三点的平面有无数个,所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.空间两直线的位置关系 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 [微点清]　不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 三种情况。 (2)平面与平面的位置关系有 两种情况。 [微点清]　直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外,记作l⊄α。 相交、平行、直线在平面内 平行、相交 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3。 2.异面直线的判定定理 平面外一点A和平面内一点B的连线与平面内不经过点B的直线是异面直线。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.下列命题中正确的是( ) A.过三点确定一个平面 B.四边形是平面图形 C.三条两两相交的直线确定一个平面 D.两个相交平面把空间分成四个区域 D 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　对于A,过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,故A错误;对于B,四边形也可能是空间四边形,不一定是平面图形,故B错误;对于C,三条直线两两相交,可以确定一个平面或三个平面,故C错误;对于D,平面是无限延展的,两个相交平面把空间分成四个区域,故D正确。故选D。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交 解析　若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则线面相交。A不正确,α内存在直线与a相交;B正确,C不正确,因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面,不可能平行;D不正确,α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交。故选B。 B 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且α ∥ β,则a与b( ) A.共面 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行,也可能是异面直线 解析　α ∥ β,说明a与b无公共点,所以a与b可能平行也可能是异面直线。故选D。 D 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1成异面直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　与直线BC1成异面直线的有A1B1,AC,AA1,共3条,故选C。 C 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.已知直线a,b和平面α,若a ∥ b,且直线b在平面α内,则直线a与平面α的位置关系是 。  解析　当a⊄α时,由a ∥ b,b⊂α,得a ∥ α;当a⊂α时,满足题中条件。综上,直线a与平面α的位置关系是a ∥ α或a⊂α。 a ∥ α或a⊂α 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　平面的基本性质及应用 【例1】　(多选题)在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,直线A1C与平面AB1D1的交点为M,O为线段B1D1的中点,则下列结论正确的是( ) A.A,M,O三点共线 B.M,O,A1,A四点共面 C.B,B1,O,M四点共面 D.A,O,C,M四点共面 ABD 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,因为AA1 ∥ CC1,则A,A1,C1,C四点共面。因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理,O,A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线,从而M,O,A1,A四点共面,A,O,C,M四点共面。由长方体性质知,OM,BB1是异面直线,即B,B1,O,M四点不共面。故选ABD。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.证明点(或线)共面问题的两种方法:(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合。 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上。 3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D, C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( ) A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC 解析　由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β。又D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上,又C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩β=CD。故选C。 C 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(多选题)给出以下说法,其中正确的是( ) A.不共面的四点中,其中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面 C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面 D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 AD 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　在A中,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以A正确;在B中,如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但点A,B,C,D,E不共面,B不正确;显然选项C不正确,选项D正确。故选AD。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　空间中两条直线的位置关系 【例2】　(1) 如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( ) A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1 解析　根据异面直线的概念可知直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线。因为直线B1C1和EF在同一平面内,且这两条直线不平行,所以直线B1C1和直线EF相交。故选D。 D 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)正四面体PABC中,点M是BC的中点,则异面直线PM与AB所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. B 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,设正四面体的棱长为2,取AC的中点N,连接PN,MN,则PN=PM=,MN ∥ AB,且MN=1,∠PMN即PM与AB所成的角。因为△PMN为等腰三角形,所以取MN的中点O,连接PO,则PO⊥MN,cos∠PMN=。故选B。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断;二是排除法。特别地,对于异面直线的判定常用到结论:“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。” 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1) 如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 B 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　因为N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,连接BD,所以BM⊂平面BDE,EN⊂平面BDE,又BM是△BDE中DE边上的中线,EN是△BDE中BD边上的中线,所以BM,EN是相交直线,设DE=a,则BD=a,BE=a,所以BM=a,EN==a,所以BM≠EN。故选B。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2024·衡水检测) 如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为( ) A. B. C. D. D 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,过点S作SF ∥ OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角。因为SE=SB,所以SE=BE。又OB=3,所以OF=OB=1。因为SO⊥OC,SO=OC=3,所以SC=3。因为SO⊥OF,所以SF=。因为OC⊥OF,所以CF=。所以在等腰△SCF中,tan∠CSF=。故选D。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　空间中直线、平面的位置关系 【例3】　(1)已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是( ) A.α∩β=a,b⊂α⇒a ∥ b B.α∩β=a,a ∥ b⇒b ∥ α且b ∥ β C.a ∥ β,b ∥ β,a⊂α,b⊂α⇒α ∥ β D.α ∥ β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a ∥ b D 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a ∥ b,则可能b ∥ α且b ∥ β,也可能b在平面α或平面β内,故B不正确;选项C中,a ∥ β,b ∥ β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件直线a与直线b相交,才能得出α ∥ β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言。故选D。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(多选题)用一个平面α截正方体,把正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( ) A.这两部分的表面积一定不相等 B.截面不会是三角形 C.截面不会是五边形 D.截面可以是正六边形 BCD 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,一个平面α截正方体,把正方体分为体积相等的两部分,则平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积相等,根据对称性,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形(如图)。故选BCD。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 空间中点、线、面位置关系的判定方法 1.应用平面的基本性质及有关定理进行判断。 2.采用穷举法判断,即对各种关系都进行考虑,要充分发挥模型的直观作用。 3.对关于空间直线与平面的平行或垂直等位置关系的命题的真假判断,常采用构图法(尤其是长方体)、实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等。 4.应用线、面平行和垂直的判定定理和性质定理进行判断,注意使用的前提条件。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,则下列说法中正确的为( ) A.若a平行于α内的无数条直线,则a ∥ α B.若α ∥ β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线 C.若α ∥ β,a⊂α,则a ∥ β D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交 C 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　A中忽略了a在平面α内这一情况,故A错误;B中直线a与b没有交点,所以直线a与b可能异面也可能平行,故B错误;C中直线a与平面β没有公共点,所以a ∥ β,故C正确;D中直线a与平面β可能相交也可能平行,故D错误。故选C。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB ∥ CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。  解析　因为AB ∥ CD,由题图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面,与另外四个平面相交。 4 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 学考衔接 教材再研究 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 异面直线的判定 【源于教材】　(人教A版必修第二册第130页例2)如图,AB∩α=B,A∉α, a⊂α,B∉a。直线AB与a具有怎样的位置关系?为什么? 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【分析】　本题可用反证法证明直线AB与a是异面直线,这里从略。 【推广结论】　由本题可以得到两条异面直线的一个判定定理:与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例】　(1)已知在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,则下列说法正确的是( ) A.直线MN与直线A1B是异面直线 B.直线MN与直线DD1相交 C.直线MN与直线AC1是异面直线 D.直线MN与直线A1C平行 C 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,因为M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,所以M,N分别是A1C1,BC1的中点,所以直线MN与直线A1B平行,所以A错误;因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M,且点M不在直线DD1上,所以直线MN与直线DD1是异面直线,所以B错误;因为直线MN经过平面ABC1内一点N,且点N不在直线AC1上,所以直线MN与直线AC1是异面直线,所以C正确;因为直线MN经过平面A1CC1内一点M,且点M不在直线A1C上,所以直线MN与直线A1C是异面直线,所以D错误。故选C。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(多选题)将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是( ) AD 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　A对应图①,Q是平面PMN外一点,直线MN在平面PMN内,且P不在直线MN上,因此MN与PQ是异面直线,A正确;B对应图②,点Q,N重合,MN与PQ是相交直线,B错误;C对应图③,由中位线定理得MN,PQ都与棱AB平行,从而MN ∥ PQ,C错误;D对应图④,与图①类似得MN与PQ是异面直线,D正 确。故选AD。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【方法点拨】　异面直线的判定除了定义法、反证法外还可以用由课本例2得到的这一个结论判定。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 思考题　(多选题)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH,MN是异面直线的图形的是( ) BD 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　在题图A中,由G,M均为所在棱的中点可知GH ∥ MN;在题图B中,N是平面HG内一点,且N不在直线HG上,M是平面HG外一点,所以GH与MN是异面直线;在题图C中,连接GM,因为G,M均为所在棱的中点,所以GM ∥ HN,且GM=HN,所以四边形GMNH为梯形,则GH与MN相交;在题图D中,H是平面MNG外一点,G∈平面MNG,且G不在直线MN上,所以GH与MN是异面直线。故选BD。 第七章　第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 学考衔接 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$