第3章 培优微课(一) 微课2 对数均值不等式(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第三章 一元函数的导数及其应用 培优微课(一)　导数压轴提分 微课2　对数均值不等式 　　一、基本内容 对数均值不等式 对任意的a,b>0(a≠b),有。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【证明】　不妨设a>b>0(0<a<b时同理可得)。首先,由等价于ln a-ln b<,即ln,令x=>1,要证,只需证ln x2<,即证2xln x-x2+1<0。令f(x)=2xln x-x2+1(x>1),则f'(x)=2ln x+2-2x,f″(x)=-2<0,f'(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f'(x)<f'(1)=0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,即f(x)<f(1)=0。故。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 其次,等价于ln a-ln b>,即ln,令x=>1,要证,只需证ln x>,即证(x+1)ln x-2x+2>0。设g(x)=(x+1)ln x-2x+2(x>1),同理可证g(x)在(1,+∞)上单调递增,则g(x)>g(1)=0。故。综上,成立。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 拓展:指数均值不等式 对任意实数m,n(m≠n),有。 【提醒】　在对数均值不等式中,令ln a=m,ln b=n,则a=em,b=en,从而可得指数均值不等式。需注意的是,在实际解题过程中,凡涉及这两个不等式的都需给出证明,以确保考试不被扣分,但本文以下的例题省略该过程。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 二、应用举例 【典例1】　若函数f(x)=ln x-ax(a为常数)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>e2。 【证明】　借助a作为媒介,构造对数均值不等式,依题意,ln x1-ax1=0,ln x2-ax2=0。两式相减,得ln x1-ln x2=a(x1-x2),即a=,两式相加,得ln x1+ln x2=a(x1+x2)。故欲证x1x2>e2,即证ln x1+ln x2>2,即证a(x1+x2)>2,即证。由对数均值不等式知上式显然成立。综上,x1x2>e2成 立。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　本题是有关对数的不等式,需合理变形凑出对数均值不等式。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【典例2】　已知函数f(x)=-x+aln x。 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2。 【解】　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-。①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时,f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减。 ②若a>2,令f'(x)=0,得x1=或x2=。当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f'(x)<0;当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0。所以f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证明:由(1)知,当且仅当a>2时f(x)存在两个极值点。由于x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1。由于f(x1)-f(x2)==2(x2-x1)+a(ln x1-ln x2)。所以=a·-2。利用对数均值不等式且x1x2=1,得<a·-2=a-2。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　由-2想到对数均值不等式是本题的关键。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 增|分|训|练 1.(多选题)已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1,x2,且x1<x2,则下列说法正确的是( ) A.a>e B.x1+x2>2 C.x1x2>1 D.有极小值点x0,且x1+x2<2x0 ABD 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　由f(x)=ex-ax知f'(x)=ex-a。f(x)有极小值点x=ln a,而极小值f(ln a)=a-aln a<0,所以a>e,A正确。f(x)有两个零点x1,x2,则-ax1=0,-ax2=0,即x1=ln a+ln x1①,x2=ln a+ln x2②。①-②,得x1-x2=ln x1-ln x2,根据对数均值不等式,,得x1+x2>2,而1>,因此x1x2<1,B正确,C错误。由①+②,得x1+x2=2ln a+ln x1x2<2ln a,即x1+x2<2x0,D正确。故选ABD。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x,若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f'(x0)<0。 证明　f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点,不符合题意。从而a>0。当a>0,则由f'(x)=0,得x=,且当x∈ 时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递 减。设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,则x0=,ln x1-a+(2-a)x1=0①。ln x2-a+(2-a)x2=0②。①-②,得ln x1-ln x2-a(x1+x2)(x1-x2)+(2-a)(x1-x2)=0,化简得 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 >0③。而根据对数均值不等式,得,③代换到上述不等式,得<x0④,又2ax0-(2-a)>0,x0>0,所以④式变为2a-(2-a)x0-1>0⇒(2x0+1)(ax0-1)>0。因为(2x0+1)>0,所以x0>。所以x0在函数f(x)的单调递减区间内,即f'(x0)<0。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R),其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2。证明:f'()<0(f'(x)为函数f(x)的导函数)。 证明　根据题意得-ax1+a=0　①,-ax2+a=0　②,由①-②得a=>0,将①,②两式分别移项取对数,得x1=ln(x1-1)+ln a　③,x2=ln(x2-1)+ln a　④。③-④,得x1-x2=ln(x1-1)-ln(x2-1),即=1。根据对数均值不等式,得=1,所以(x1-1)(x2-1)<1⇒ln(x1-1)(x2-1)<0。③+④,得x1+x2=2ln a+ln(x1-1)(x2-1)<2ln a。根据均 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 值不等式,得<ln a。f'(x)=ex-a,若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在R上单调递增,此时f(x)的图象与x轴至多有一个交点,不符合题意,所以a>0。令f'(x)=0,得x=ln a,当f'(x)<0时,x<ln a,所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减;当f'(x)>0时,x>ln a,所以f(x)在(ln a,+∞)上单调递增。因为<ln a,所以f'()<0。 第三章　培优微课(一)　微课2　对数均值不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$