2024年秋季九年级数学开学提升训练卷（浙教版，测试范围：八年级下册-九年级上册第二章）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

2024年秋季学期开学素养提升训练 九年级数学学科试卷 【浙教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下册-九年级上册第二章 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是二次根式，则x应满足（    ） A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2 2．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（        ） A．B． C． D． 4．2018年全国硕士研究生招生考试于12月22日和23日举行，菏泽市共报考6298人．为了解这些考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是(   ) A．这500名考生是总体的一个样本 B．这6298名考生的数学成绩是总体 C．每位考生是个体 D．抽取的500名考生是样本容量 5．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 6．格桑同学一周的体温监测结果如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 体温（单位：℃） 36.6 35.9 36.5 36.2 36.1 36.5 36.3 分析上表中的数据，众数、中位数、平均数分别是（　　） A．35.9，36.2，36.3 B．35.9，36.3，36.6 C．36.5，36.3，36.3 D．36.5，36.2，36.6 7．如图，在ABCD中，，，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，则EF＝（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8．4月23日是世界读书日，据有关部门统计，某市2021年人均纸质阅读量约为4本，2023年人均纸质阅读量约为本，设人均纸质阅读量年均增长率为，则根据题意可列方程（   ）    A． B． C． D． 9．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 10．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 2． 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．因式分解：6x2−9xy= ． 12．不等式组的解集是 ． 13．若函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ． 14．如图，利用函数图象可知方程组的解为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l//y轴，且直线l分别与反比例函数和的图像交于P、Q两点，若，则k的值为 ．    16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）（1）计算：； （2）化简：． 18．（8分）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的长度． 19．（8分）如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上的一点，连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求的度数． 20．（8分）如图，已知直线l交x轴，y轴于A，B两点，动点在直线l上，且满足：． (1)直接写出直线l的解析式为：　　； (2)若反比例函数的图象与直线相交于C、D两点，连接，已知点C的横坐标为8，求的面积． 21．（8分）某校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分为四类(A.特别好，B.好，C.一般，D.较差)后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图(如图)．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，王老师一共调查了________名学生； (2)将两幅统计图中不完整的部分补充完整； (3)假定全校各班实施新课程改革效果一样，全校共有学生2400人，请估计该校新课程改革效果达到A类的有多少学生； (4)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 22．（8分）某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为． （1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式． （2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？ （3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？ 23．（10分）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 24．（10分）在中，，点D在射线上（与B、C两点不重合），以为边作正方形，使点E与点B在直线的异侧，射线与直线相交于点G． (1)若点D在线段上，如图（1），判断：线段与线段的数量关系： ，位置关系 ． (2)如图（2），①若点D在线段的延长线上，（1）中判断线段与线段的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由； ②当G为中点，连接，若，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季学期开学素养提升训练 九年级数学学科试卷 【浙教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下册-九年级上册第二章 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是二次根式，则x应满足（    ） A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：，解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，涉及一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点坐标特点，掌握关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题关键． 根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：∵关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标为． 故选C． 3．下列计算正确的是（        ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、和不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4．2018年全国硕士研究生招生考试于12月22日和23日举行，菏泽市共报考6298人．为了解这些考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是(   ) A．这500名考生是总体的一个样本 B．这6298名考生的数学成绩是总体 C．每位考生是个体 D．抽取的500名考生是样本容量 【答案】B 【分析】根据样本、总体、个体、样本容量的概念逐一进行分析即可. 【详解】A、这500名考生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不符合题意； B、这6298名考生的数学成绩是总体，故本选项符合题意； C、每位考生的数学成绩是个体，故本选项不符合题意； D、样本容量是500，故本选项不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了样本、总体、个体、样本容量等知识，熟练掌握相关概念以及注意事项是解题的关键. 5．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 6．格桑同学一周的体温监测结果如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 体温（单位：℃） 36.6 35.9 36.5 36.2 36.1 36.5 36.3 分析上表中的数据，众数、中位数、平均数分别是（　　） A．35.9，36.2，36.3 B．35.9，36.3，36.6 C．36.5，36.3，36.3 D．36.5，36.2，36.6 【答案】C 【分析】根据众数、中位数、平均数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据中36.5出现了2次，次数最多，所以众数是36.5； 将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列为35.9，36.1，36.2，36.3，36.5，36.5，36.6，处于中间的数据是36.3，所以中位数是36.3； 平均数是＝×（36.3+35.9+36.5+36.3+36.1+36.5+36.3）＝36.3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查众数，中位数和平均数，掌握众数，中位数的概念和平均数的求法是解题的关键． 7．如图，在ABCD中，，，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，则EF＝（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论． 【详解】解：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BCAD，CD＝AB，CDAB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8， ∴EF＝2； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA＝BE＝CF＝CD． 8．4月23日是世界读书日，据有关部门统计，某市2021年人均纸质阅读量约为4本，2023年人均纸质阅读量约为本，设人均纸质阅读量年均增长率为，则根据题意可列方程（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据2021年人均阅读量1+年均增长率 2023年人均阅读量列出方程即可． 【详解】解：设人均纸质阅读量年均增长率为， 由题意可得：， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 9．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限； 若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限； 符合的为选项D， 故选D． 10．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 【答案】A 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，然后用分割法求得四边形的面积，进而可以根据条件得到结果． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， 四边形、四边形是矩形， 设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，， ，，，， ， 矩形和矩形的周长已知， 和为定值， 为定值， 为定值， ， 当已知时，四边形的面积即为定值， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形、矩形和四边形的面积． 2． 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．因式分解：6x2−9xy= ． 【答案】 【分析】提取公因式3x分解可得． 【详解】解：6x2−9xy=3x(2x-3y)． 故答案为：3x(2x-3y)． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 12．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 所以，不等式组的解集是：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 13．若函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求得． 【详解】解：函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点， 令x2－x＋m=0，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 14．如图，利用函数图象可知方程组的解为 ． 【答案】 【分析】观察函数的图象y=2x与x+ky=3相交于点（1，2），从而求解； 【详解】观察图象可知，y=2x与x+ky=3相交于点（1，2）， 可求出方方程组的解为， 故答案为 【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是能根据函数图象的交点解方程组． 15．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l//y轴，且直线l分别与反比例函数和的图像交于P、Q两点，若，则k的值为 ．    【答案】-16 【分析】由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|+×|8|=12，然后结合函数y=的图象所在的象限解方程得到满足条件的k的值． 【详解】∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，∴|k|+×|8|=12，∴|k|=16，而k＜0，∴k=﹣16． 故答案为﹣16． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了反比例函数与一次函数的交点问题． 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____． 【答案】2 【分析】连接AP，先解方程得，，再判断OQ为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接AC交圆于P时，PA最小，然后计算出AP的最小值即可得到线段OQ的最小值． 【详解】解：连接AP． 当时， 解得， 则， ∵Q是线段PB的中点． ∴OQ为的中位线． ∴． 当AP最小时，OQ最小． 连接AC交圆于P时，PA最小． ∵． ∴AP的最小值：． ∴线段OQ的最小值：． 故答案为2． 【点睛】本题考查了中位线、二次函数与圆的综合题，解题的关键在于连接圆心C所得的AP最小． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4；（2）． 【分析】此题考查了绝对值，立方根，分式的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，立方根，然后计算加减； （2）根据分式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18．如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）先根据得出，，然后根据证明，得出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 19．如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上的一点，连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可得，推得，根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质可得，，，根据角平分线的性质的，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据等边三角形的判定和性质可得，推得，，根据三角形内角和即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和即可，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 20．如图，已知直线l交x轴，y轴于A，B两点，动点在直线l上，且满足：． (1)直接写出直线l的解析式为：　　； (2)若反比例函数的图象与直线相交于C、D两点，连接，已知点C的横坐标为8，求的面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）将直线变形即可； （2）先根据直线l的解析式，求出、两点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，将两个函数的解析式联立求出交点的坐标，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵动点在直线l上，且满足：， ∴直线的解析式为． 故答案为：； （2）∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． 令，解得， ∴， ∴ ． 21．某校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分为四类(A.特别好，B.好，C.一般，D.较差)后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图(如图)．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，王老师一共调查了________名学生； (2)将两幅统计图中不完整的部分补充完整； (3)假定全校各班实施新课程改革效果一样，全校共有学生2400人，请估计该校新课程改革效果达到A类的有多少学生； (4)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)见解析 (3)360 (4) 【分析】（1）由题意可得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）； （2）由题意可得：C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；继而可补全条形统计图； （3）全校总学生人数乘以A所占的百分比； （4）据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案． 【详解】（1）解：3÷15%＝20(人)． 故答案为20． （2）解：D类学生所占百分比为：=1﹣15%﹣50%﹣25%=10% C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）． 如图： （3）解：2400×15%＝360(人) 答：估计该校新课程改革效果达到A类学生有多少360人． （4）解：列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2. 男A1 男A2 女A 男D 男A1男D 男A2男D 女A男D 女D 男A1女D 男A2女D 女A女D 共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为P＝． 【点睛】本题主要考查了列表求概率、条形统计图与扇形统计图等知识点，从条形统计图与扇形统计图中正确获取信息是解答本题的关键． 22．某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为． （1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式． （2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？ （3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？ 【答案】（1） ；（2）不会被水喷到；（3） 【分析】（1）结合题意，根据抛物线顶点坐标，将抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解； （2）解法一：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x=4时y的值，由此即可得出结论； 解法二：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.7时x的值，由此即可得出结论； （3）设改建后抛物线的解析式为，然后根据抛物线上的点的坐标特征，利用待定系数法求解 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为（）． 把，代入得， 解得． ∴ 令y=0，，解得： ∴抛物线（第一象限）的表达式为 ． （2）解法一：对于，令， 则， ∴小明不会被水喷到． 解法二：令， 则， 解得，． ∵， ∴小明不会被水喷到． （3）设喷水管的高度要升高（）， 则抛物线的表达式为． 把代入得，解得． ∴喷水管的高度要升高． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，利用数形结合思想解题是关键． 23．【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 24．在中，，点D在射线上（与B、C两点不重合），以为边作正方形，使点E与点B在直线的异侧，射线与直线相交于点G． (1)若点D在线段上，如图（1），判断：线段与线段的数量关系： ，位置关系 ． (2)如图（2），①若点D在线段的延长线上，（1）中判断线段与线段的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由； ②当G为中点，连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)①仍然成立；② 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，由正方形的性质得到，由角的和差得到，推出，根据全等三角形的性质得到，证得，同理，即可得到结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，由正方形的性质得到，由角的和差得到，推出，根据全等三角形的性质得到，证得，同理，即可得到结论； ②与①同理，可得，根据已知条件得到，如图（2），过点A作于M，根据勾股定理得到，过点E作于N，根据全等三角形的性质得到，推出为的垂直平分线，即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，则在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）①仍然成立 ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，则在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即； ②与①同理，可得． ∵，G为中点， ∴， 如图（2），过点A作于M， ∴， ∴， 过点E作于N． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$