2024年秋季九年级数学开学提升训练卷（北师大版，测试范围：八年级下册-九年级上册第二章）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

2024年秋季学期开学素养提升训练 九年级数学学科试卷 【北师大版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下册-九年级上册第二章 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中最简根式是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．6，7，8 C．6，8，10 D．10，12，13． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 5．关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 6．如图，的对角线与相交于点，为边中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A．k>4 B．k≤4 C．k<4且k≠0 D．k≤4且k≠0 8．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，如果将该矩形沿对角 线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ） A．8cm2. B．10 cm2. C．12cm2. D．20cm2. 9．如图，在长40米，宽30米的方形空地上修建同样完的道路（图中阴影部分），剩余的地上种植草坪，草坪的面积是道路总面积的4倍．设道路的宽为米，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．分解因式： ． 12．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米． 13．若m是方程的一个实数根，则 ． 14．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，若四边形的面积为 25， ，则的长度为 ．    15．关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围为 ． 16．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①；②四边形EBFD是菱形；③；④．其中结论正确的序号是 ． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，且，连接BE． (1)尺规作图：作的平分线AF，交BC于点F，交BE于点G；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求AF的长． 19．（8分）盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头． 某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图． （注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数）    解答下列问题： (1)①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_________°； ②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_________头． (2)填表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 人工驯养麋鹿头数 3473 3531 3666 3861 _________ 3917 (3)结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法． 20．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点均在格点上．    (1)图中线段_________，________，____________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若于点，求的长． 21．（8分）先阅读，后解题． 已知，求和的值． 解：将左边分组配方：即． ，，且和为， 且，，． 利用以上解法，解下列问题： (1)已知：，求和的值． (2)已知，，是的三边长，满足且为直角三角形，求． 22．（8分）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共24件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与正比例函数的图象交于点． （1）求、、三点的坐标； （2）求的面积； （3）若动点在射线上运动，当的面积是的面积的时，求出此时点的坐标． 24．（10分）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABC，设点C的坐标为． (1)动点A在运动过程中，求的值； (2)当时，求出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，，在x轴上是否存在一点P，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10分）已知正方形与正方形，点是的中点，连接，．    (1)如图1，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论； (2)如图2，点在的延长线上，点在上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论； (3)将图1中的正方形绕点旋转，使，，三点在一条直线上，若，，请直接写出的长____________________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季学期开学素养提升训练 九年级数学学科试卷 【北师大版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下册-九年级上册第二章 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中最简根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念进行判断分析即可． 【详解】根据最简二次根式的概念，被开方数中不含有开方开得尽的数，不含分数，分母中不含根号． 选项A：9＝32，不是最简二次根式，故A错误； 选项B：是最简二次根式，故B正确； 选项C：20＝22×5，仍然有可以开方的数，故C错误； 选项D：的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，故D错误． 综上，只有B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据最简二次根式的概念，解题的关键在于掌握常见的最简二次根式形式. 2．下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．6，7，8 C．6，8，10 D．10，12，13． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．先求出较小两边的平方和，再求出最长边的平方，判断是否相等即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是化简二次根式，二次根式的乘法，二次根式的加减运算，本题根据二次根式的性质，二次根式的运算逐一计算即可. 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 4．用配方法解方程时，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的性质在方程两边都加上一个常数，使方程左侧的常数项等于一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形得到配方后的答案，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解：， ， 配方后得， 故选：C． 5．关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移2个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论正确． 故选：D． 6．如图，的对角线与相交于点，为边中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，证出是的中位线是解决问题的关键．先证明是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解． 【详解】解：的对角线、相交于点， ， 点是的中点， ， 是的中位线， ， ． 故选：B 7．关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A．k>4 B．k≤4 C．k<4且k≠0 D．k≤4且k≠0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到 ，求出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个数根， ∴ ， 解得， 又∵k≠0， ∴k≤4且k≠0， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，如果将该矩形沿对角 线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ） A．8cm2. B．10 cm2. C．12cm2. D．20cm2. 【答案】B 【分析】易得BE=DE，利用勾股定理求得DE的长，利用三角形的面积公式可得阴影部分的面积． 【详解】解：根据翻折的性质可知：∠EBD=∠DBC， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∴∠ADB=∠EBD， ∴BE=DE， 设BE=DE=x， ∴AE=8-x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∴AE2+AB2=BE2， （8-x）2+42=x2， 解得x=5， ∴S△EDB=×5×4=10 cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 9．如图，在长40米，宽30米的方形空地上修建同样完的道路（图中阴影部分），剩余的地上种植草坪，草坪的面积是道路总面积的4倍．设道路的宽为米，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把道路进行平移，可得草坪面积＝长为（）m，宽为（30−x）m的矩形面积，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形， 长为（40−x）m，宽为（30−x）m， ∵草坪的面积是道路总面积的4倍， ∴草坪的面积占矩形面积的， ∴可列方程为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 10．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH． 【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， ∴△AEG≌△MDG（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD， ∴CM＝CD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GH＝FM， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FM＝， ∴GH＝FM＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米． 【答案】120 【详解】 解：∵360÷30=12， ∴他需要走12次才会回到原来的起点， 即一共走了12×10=120米， 故答案为：120． 13．若m是方程的一个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，若四边形的面积为 25， ，则的长度为 ．    【答案】 【分析】利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 四边形的面积等于正方形的面积等于25， ， ， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 1．关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】可先用表示出不等式组的解集，再根据有三个整数解可得到关于的不等组，可求得的取值范围 【详解】解： 解不等式①可得 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为 ∵该不等式组恰好有三个整数解， ∴整数解为，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的基本步骤，并根据不等式组整数解的情况确定字母的取值范围． 16．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①；②四边形EBFD是菱形；③；④．其中结论正确的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由矩形的性质及垂直平分线的判定和性质可证明①；根据全等三角形的判定和性质及菱形的判定和性质可证明②；由菱形的性质及全等三角形的判定可证明③；根据矩形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理可证明④． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴FM是OC的垂直平分线， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形EBFD为平行四边形， 由①得为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形EBFD为菱形，②正确； 由②可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，③正确； ∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，④正确， ∴正确结论为：①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】题目主要考查矩形的性质，菱形的判定定理，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些性质是解题关键． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算法则计算，将原式化简，然后将代入化简式计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，且，连接BE． (1)尺规作图：作的平分线AF，交BC于点F，交BE于点G；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求AF的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据题意作的平分线AF，交BC于点F，交BE于点G； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）如图所示，的平分线AF，交BC于点F，交BE于点G；即为所求， （2）连接EF， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分，， ，， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质与判定，三线合一，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 19．（8分）盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头． 某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图． （注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数）    解答下列问题： (1)①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_________°； ②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_________头． (2)填表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 人工驯养麋鹿头数 3473 3531 3666 3861 _________ 3917 (3)结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）先计算哺乳类所占百分比，再计算该部分扇形圆心角的度数； （2）先排序，再计算中间的两个数的平均数； （3）从人工驯养和野生保护两个方面表述即可． 【详解】（1）解：①在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：， ∴哺乳类所在扇形的圆心角度数为：； ②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为： ， 近6年野生麋鹿头数的中位数为， 故答案为：，； （2）解：， 故答案为：； （3）加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术． 【点睛】本题考查了扇形统计图和拆线统计图，中位数，掌握从图形中获取信息的方法是解题的关键． 20．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点均在格点上．    (1)图中线段_________，________，____________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若于点，求的长． 【答案】(1)5；10； (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理逆定理，即可求解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：5；10； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：，，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 21．（8分）先阅读，后解题． 已知，求和的值． 解：将左边分组配方：即． ，，且和为， 且，，． 利用以上解法，解下列问题： (1)已知：，求和的值． (2)已知，，是的三边长，满足且为直角三角形，求． 【答案】(1)， (2)或 【分析】由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解； 由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得的值，然后根据勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ，即， ∵，，且， ∴且， ，； （2）解：∵， 方程变形为， ∴，， ∴，， 为直角三角形， ∴当，是直角边时，则； 当是斜边，是直角边时，则； 或． 【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键． 22．（8分）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共24件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元 (2)6件 【分析】本题主要分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，解不等式即可． （1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，根据用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设甲种农机具购买a件，则乙农机购买件，根据购买的总费用不超过万元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ． 答：甲种农机具一件需4.2万元，乙种农机具一件需3万元； （2）解：设甲种农机具购买a件，则乙农机购买件，根据题意得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴甲种农机具最多能购买6件． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与正比例函数的图象交于点． （1）求、、三点的坐标； （2）求的面积； （3）若动点在射线上运动，当的面积是的面积的时，求出此时点的坐标． 【答案】（1），，；（2）12；（3）或． 【分析】（1）在一次函数中，分别令，，即可求出B、C的坐标，再联立一次函数和正比例函数即可求出交点A的坐标； （2）利用（1）中，找到OC，的长即可求出的面积； （3）根据的面积是的面积的时，求出M的横坐标，再分情况讨论即可找到M的坐标． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点， ∴令，则，故， 令，则，故， 而A为一次函数和正比例函数图象的交点，联立方程得： ，解得：， ∴A的坐标为． 故答案为：，，． （2）由（1）可知：，， ∴ ． 故答案为：12． （3）由题意得： ， 而 ∴|， ∴， 分情况讨论： ①当时，，故此时M点的坐标为， ②若时，，故此时M点的坐标为， 综上，M点的坐标为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数综合性质，熟练一次函数综合性质，细心运算，分类讨论是解题的关键． 24．（10分）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABC，设点C的坐标为． (1)动点A在运动过程中，求的值； (2)当时，求出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，，在x轴上是否存在一点P，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3)存在．点P的坐标分别为，， 【分析】（1）过点C作轴于点E，证明，得出，，根据，，得出，点，即可得出答案； （2）将当代入，即可得出答案； （3）分两种情况进行讨论：，，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，则， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴． （2）解：根据解析（1）可知，点， ∴当时，． （3）解：存在；当时，如图所示： ∵，， ∴， ∴P点坐标为：； 当时，如图所示： 点在B点的右边时，， 此时点P坐标为：； 点在B点的左边时，， 此时点P坐标为：； 综上分析可知，点P的坐标为：点P的坐标分别为，，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，注意进行分类讨论． 25．（10分）已知正方形与正方形，点是的中点，连接，．    (1)如图1，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论； (2)如图2，点在的延长线上，点在上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论； (3)将图1中的正方形绕点旋转，使，，三点在一条直线上，若，，请直接写出的长____________________． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）延长交于K，由，M是中点，可证，有，，可得，故是等腰直角三角形，即知，； （2）延长交的延长线于点，证明，可得，，即可得，结合，即可证明，； （3）连接，过M作于R，延长至H，使，连接，，分两种情况；当F在右侧时，由，得，，可证，得，有，，可得，，在中，，即得．在中，；当F在左侧时，． 【详解】（1）解：，，理由如下： 延长交于K，如图，    ∵， ∴，， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形，而， ∴，； （2）结论仍然成立，，．               证明：如图中，延长交的延长线于点．    四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， ． ，， ， ，， ． ， ，； （3）如图，连接．延长到点，使得，连接，．作于点．    ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ，， ， ， ，． 在中，， ，， ，，，． 在中，； 如图，作于点．同法可得，，可得．    在中，． 故满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及正方形性质及应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$