精品解析：2023年吉林省长春市榆树市教育联盟小区域联考三模数学试题

榆树市教育联盟2023.6三模小区域联考数学试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（   ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为推动农业丰收增产，2022年长春市实施“黑土粮仓”科技会战，新建高标准农田亩，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为，则B、C之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，已知空间站与星球的距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，之间的距离为，若表示飞船与空间站的实时距离，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接，当、、在同一直线上时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 写出比小的正整数______． 10. 分解因式：__________． 11. 今年二月末吉林省政府免费发放第二轮冰雪消费券，王先生领了一张“逐冰戏雪券”，该券可以使票价打七折．若他凭此券在吉林市万科松花湖滑雪场购买了一张票价为a元的套票，则王先生实际花费______元． 12. 小张同学准备用矩形纸片做一个圆锥形帽子．如图，在矩形纸片中，取的中点O，以O为圆心，长为半径作弧，分别交于点E，于点F，得到扇形纸片（阴影部分），发现点E、F分别是边、的中点，则此扇形纸片围成圆锥形帽子的底面圆的周长为_________（结果含）． 13. 如图，在中，，中线相交于点O．若，，则的长为______． 14. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，点A、B为线段的三等分点，且A、B在反比例函数的图象上，若的面积为12，则k的值为__________． 三．解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水中航行60千米所需的时间相同．已知轮船在静水中的速度是21千米/时，求水流的速度． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法，求小李两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 18. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C均在格点上，⊙O是的外接圆，只用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作∠BMC，使，且格点M在⊙O上． （2）在图2中作∠BNC，使，且格点N在⊙O上． （3）在图3中作∠PBC，使，且格点P在⊙O上． 19. 为弘扬中华传统文化，某校组织七、八年级全体学生参加了诗词大赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，分为良好，分为及格，59分及以下为不及格，学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 59 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 56 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图，如图1： （数据分成5组：，，，，） c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图，如图2： d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、优秀率、方差如下表： 年级 平均数 中位数 优秀率 方差 七年级 81 25% 169.1 八年级 82 82 154.6 请根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_________． （2）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图． （3）若本次八年级共有300人参赛，则八年级此次测试成绩不及格的学生约有_________人． （4）你认为学生测试成绩较好的是_________年级（填“七”或“八”）．理由是__________________（说出两点即可）． 20. 如图所示，，，，求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将沿轴向下平移得到，点的对应点恰好在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）求平移的距离． 22. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 23. 在质量不变的情况下，某物体的密度ρ（kg/m3）与体积V（m3）成反比例，其函数图像如图所示，解答下列问题： （1）试确定ρ与V之间的函数表达式； （2）当V＝10m3时，求物体的密度． 24. 已知二次函数（是常数）． （1）当时，求二次函数图象的顶点坐标； （2）设二次函数的图象为． 当时，求图象与轴交点坐标； 若图象的最高点到轴的距离为，到直线的距离为，且，求的值； 过点作关于轴的对称点，连接，线段绕点逆时针旋转得线段，以为邻边作矩形．若图象落在矩形内部图象的对应函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 25. 如图，在中，，，．点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）． （1）_________． （2）求的长度（用含的代数式表示）． （3）当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值． （4）作四边形的对角线，当与某边平行时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树市教育联盟2023.6三模小区域联考数学试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图得出结论即可． 【详解】解：由题意知，该几何体的主视图为 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键． 2. 计算：（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数等知识，化简多重符号，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式分别计算，再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误，不合题意； B. ，故本选项正确，符合题意； C. ，故本选项错误，不符合题意； D. ，故本选项错误，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式乘法中有关幂的一些运算以及完全平方公式，准确掌握幂的运算公式是解题的关键． 4. 为推动农业丰收增产，2022年长春市实施“黑土粮仓”科技会战，新建高标准农田亩，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 5. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，确定在同一个圆上，根据量角器量角及圆周角定理即可得到． 【详解】解：令圆心为，连接，如图所示： 以量角器的直径为斜边画直角三角形， 在上， 量角器上点对应的读数是， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，读懂题意，掌握量角器量角的方法及圆周角定理求解是解决问题的关键． 6. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为，则B、C之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，在中，，利用正切即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，读懂题意，正确列式是解题的关键． 7. 如图，已知空间站与星球的距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，之间的距离为，若表示飞船与空间站的实时距离，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，由题意得出当点在的延长线上时，此时最大，再利用线段的和差计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 当点在的延长线上时，此时最大，的最大值为， 故选：C． 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接，当、、在同一直线上时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，由全等三角形的性质可知，根据三角形外角的性质得，等量代换可得，所以，判断A选项错误；根据，可知，由旋转可知，所以，判断B选项错误；先证明是等边三角形，得出，所以，，结合，，可得出，判断C选项错误；由全等三角形的性质可知，结合同旁内角相等，两直线平行可得，判断D选项正确． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 又∵由旋转可知，， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练应用旋转的性质是解答本题的关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 写出比小的正整数______． 【答案】1 【解析】 【分析】先估算出的范围，然后写出比小的正整数即可 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的正整数为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出的范围是解题的关键． 10. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；可得. 【详解】 故答案为 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握平方差公式是关键. 11. 今年二月末吉林省政府免费发放第二轮冰雪消费券，王先生领了一张“逐冰戏雪券”，该券可以使票价打七折．若他凭此券在吉林市万科松花湖滑雪场购买了一张票价为a元的套票，则王先生实际花费______元． 【答案】## 【解析】 【分析】根据该券可以使票价打七折，若他凭此券在吉林市万科松花湖滑雪场购买了一张票价为a元的套票，即可得出． 【详解】解：根据该券可以使票价打七折，若他凭此券在吉林市万科松花湖滑雪场购买了一张票价为a元的套票， ∴王先生实际花费 故答案为： 【点睛】本题主要考查了折数与百分数之间的联系及应用，熟练掌握折数是解此题的关键． 12. 小张同学准备用矩形纸片做一个圆锥形帽子．如图，在矩形纸片中，取的中点O，以O为圆心，长为半径作弧，分别交于点E，于点F，得到扇形纸片（阴影部分），发现点E、F分别是边、的中点，则此扇形纸片围成圆锥形帽子的底面圆的周长为_________（结果含）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦的定义、特殊角的三角函数值求出，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， ， 的长为：， 用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的底面圆的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 13. 如图，在中，，中线相交于点O．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先运用勾股定理求出，再根据三角形的中位线得到，进而得到解题即可． 【详解】解：∵E为的中点， ∴ ∴ 连接， 则是的中位线， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 14. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，点A、B为线段的三等分点，且A、B在反比例函数的图象上，若的面积为12，则k的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，则，设点A的坐标为，则，由点A、B为线段的三等分点得到，由的面积为12得到，即可求得答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， ∴， 设点A的坐标为，则， ∵点A、B为线段的三等分点， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， 解得． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、反比例函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 三．解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 16. 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水中航行60千米所需的时间相同．已知轮船在静水中的速度是21千米/时，求水流的速度． 【答案】3千米/时 【解析】 【分析】顺水速度水流速度静水速度,逆水速度静水速度水流速度.根据“轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同”可列出方程． 【详解】解：设水流速度为千米/时， 则根据题意，得． 解得． 经检验是原方程的解． 答：水流速度为3千米/时． 【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量列方程是解题度关键，解题时需注意分式方程要验根． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法，求小李两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得出所有可能的结果，然后找出两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果数，再根据概率公式解答． 【详解】解：画出树状图可得所有可能的结果： ∵共有16种等可能的结果，两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果有7种， ∴P（两次抽取的邮票中至少有一张是D）． 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，正确理解题意、画出相应的树状图或列出表格是解题的关键． 18. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C均在格点上，⊙O是的外接圆，只用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作∠BMC，使，且格点M在⊙O上． （2）在图2中作∠BNC，使，且格点N在⊙O上． （3）在图3中作∠PBC，使，且格点P在⊙O上． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据同一个圆中等弧所对的圆周角相等画出即可； （2）根据整个圆所对的圆周角是画出即可； （3）根据直径所对的圆周角是画出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了无刻度的直尺作图及圆周角，解题的关键是熟悉圆周角的性质． 19. 为弘扬中华传统文化，某校组织七、八年级全体学生参加了诗词大赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，分为良好，分为及格，59分及以下为不及格，学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 59 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 56 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图，如图1： （数据分成5组：，，，，） c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图，如图2： d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、优秀率、方差如下表： 年级 平均数 中位数 优秀率 方差 七年级 81 25% 169.1 八年级 82 82 154.6 请根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_________． （2）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图． （3）若本次八年级共有300人参赛，则八年级此次测试成绩不及格的学生约有_________人． （4）你认为学生测试成绩较好的是_________年级（填“七”或“八”）．理由是__________________（说出两点即可）． 【答案】（1）82， （2）见解析 （3）15 （4）八；从平均数方面看，八年级的平均成绩比七年级更高；从优秀率方面看，八年级的优秀率比七年级更高；从方差方面看，八年级的方差较小，成绩相对更稳定（说出两点即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义可得的值，利用除以即可得的值； （2）先求出七年级学生成绩在这组的人数，再补全频数分布直方图即可； （3）利用300乘以八年级此次测试成绩不及格的学生所占百分比即可得； （4）从平均数、优秀率、方差角度进行分析即可得． 【小问1详解】 解：将七年级学生成绩从小到大排序为56，59，65，67，69，69，77，78，79，81，83，87，88，89，89，94，96，97，97，100， 则中位数， ， 故答案为：82，． 【小问2详解】 解：由数据可知，在这组的人数为4人． 则补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 故答案为：15． 【小问4详解】 解：学生测试成绩较好的是八年级，理由是从平均数方面看，八年级的平均成绩比七年级更高；从优秀率方面看，八年级的优秀率比七年级更高；从方差方面看，八年级的方差较小，成绩相对更稳定． 故答案为：八；从平均数方面看，八年级的平均成绩比七年级更高；从优秀率方面看，八年级的优秀率比七年级更高；从方差方面看，八年级的方差较小，成绩相对更稳定． 【点睛】本题考查了中位数、频数分布直方图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 20. 如图所示，，，，求证：． 【答案】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）． 【解析】 【分析】由，得，由，得，又已知，根据可得结论． 【详解】略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将沿轴向下平移得到，点的对应点恰好在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）求平移的距离． 【答案】（1）2 （2）5 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出即可； （2）根据平移的特点和反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【小问1详解】 解：过点作于， 是等腰直角三角形，， ， ， 【小问2详解】 解：由平移可得点横坐标和点横坐标相同，设， 在反比例函数的图象上， ， ， ， 平移的距离为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形变化-平移，求得点的坐标是解答本题的关键． 22. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】（1）① （2） 证明：（添加的条件是） ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． （添加条件 ） ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． 【解析】 【分析】（1）添加合适的条件即可； （2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：添加的条件是（或）． 故答案为：①（或③）． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 23. 在质量不变的情况下，某物体的密度ρ（kg/m3）与体积V（m3）成反比例，其函数图像如图所示，解答下列问题： （1）试确定ρ与V之间的函数表达式； （2）当V＝10m3时，求物体的密度． 【答案】（1）（）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据密度公式可知体积V与密度ρ的函数关系式为ρ=,利用待定系数法求解即可． （2）直接把V＝10m3代入解析式求解即可． 【详解】（1）设ρ与V的函数关系式为（）， 把A（3，2）代入得，， ∴， ∴ρ与V的函数关系式为（）； （2）当时，物体的密度， 所以物体的密度为． 【点睛】本题目考查反比例函数的实际应用，掌握密度的计算公式，并结合图像求解是解题的关键． 24. 已知二次函数（是常数）． （1）当时，求二次函数图象的顶点坐标； （2）设二次函数的图象为． 当时，求图象与轴交点坐标； 若图象的最高点到轴的距离为，到直线的距离为，且，求的值； 过点作关于轴的对称点，连接，线段绕点逆时针旋转得线段，以为邻边作矩形．若图象落在矩形内部图象的对应函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）图象与轴交点坐标为； 的值为或；的取值范围为或或． 【解析】 【分析】（）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可得出顶点坐标； （）当时， ，令得 即可求得答案； 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况：若 ，即 时，若，即时，分别根据题意建立方程求解即可得出答案； 分三种情况：当时，当时，当时，根据题意，画出图象，结合图象列出不等式组求解即可； 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等，熟知二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 当时，， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 当时，， 令，得， 解得：，， ∵， ∴， ∴图象与轴交点坐标为； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 若，即时， 当时，随的增大而增大， ∴图象的最高点为， ∴，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 若，即时， 当时，图象的最高点为， ∴，， ∵， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴ ， 综上所述，的值为或； 当时, 如图，，，，， ∵图象落在矩形内部图象的对应函数值随的增大而增大， ∴直线在边BC的右侧，点在点的下方， ∴， ∴不等式组的解集为； 当时，如图、 图，，，，， ∵图象落在矩形内部图象的对应函数值随的增大而增大， ∴ 或 （无解）， 解得：； 当时，如图，，，，， ∵图象落在矩形内部图象的对应函数值随的增大而增大， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为或或． 25. 如图，在中，，，．点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）． （1）_________． （2）求的长度（用含的代数式表示）． （3）当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值． （4）作四边形的对角线，当与某边平行时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得的长，即可求得的值； （2）分两种情况：当时，，当时，； （3）通过面积比可推得，可得到，等量替换可得，通过， ，可求出值； （4）分三种情况：当时，通过平行线的性质可得，求得，根据，求得值；当时，通过平行线的性质可得四边形为矩形，根据，求得值；当时，通过平行线的性质可得，代入即可求得值． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 当时，， 当时，； 【小问3详解】 如图，与交于点，当平行四边形面积被分成时 即三角形的面积与四边形面积比为 故 ∴；即 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得． 【小问4详解】 ①当时，连接，过点作交于点，如图1 ∵， ∴，即， 又∵ ， ∴，即， ∴， 又∵，，， ∴， 解得； ②当时，连接，如图2 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴， 解得； ③当时，连接，与交与点，如图3 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 故， 解得， 故当或或时，与某边平行． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数，平行线的性质等知识点，运用数形结合的方法和分类讨论的思想是解决该类试题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $