第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：沪教版第24-25章）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：沪教版第24-25章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·上海金山·期中）已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，且，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．，方向相同 D． 4．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海·单元测试）如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为(    )． A．4 m B．6 m C．m D． 6．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24九年级上·上海·阶段练习） （选填“＞”或“＝”或“＜”） 8．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么 ． 9．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 10．（23-24九年级上·上海·期中）已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 11．（23-24九年级上·上海松江·期中）在中，，，，则的余切值为 ． 12．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，，如果，，，那么 ． 13．（2024·上海松江·三模）如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    14．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 15．（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 16．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，连接，，，，那么 ． 17．（2024·上海普陀·模拟预测）如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则= （用表示） 18．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（2024·上海·模拟预测）计算： 20．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知，，求的值． 21．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    22．（2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图矩形中，和相交于点，设，．    (1)填空：　　；（用、的式子表示） (2)在图中求作． （不要求写出作法，只需写出结论即可．） 23．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值． 24．（2023·上海黄浦·一模）圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即的长）约为多少米？(参考数据 ；；；；) 25．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知． (1)如图，点 为边 上任意一点，点 在边上，且 与 相似．请在图中画出所有符合题意的 （不必尺规作图）；若 ，试用 的代数式表示 的长； (2)点 分别在边、上，且 与 相似，若 ，试求当符合题意的 唯一时，的取值范围是__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：沪教版第24-25章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等的两个图形相似，根据相似图形的定义，对各小题分析判断后利用排除法求解即可得出答案． 【详解】解：①所有正方形对应角相等，对应边一定成比例，所以一定都相似，故①符合题意， ②矩形的每个角都等于，即对应角相等，但对应边不一定成比例，故②不符合题意， ③菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，故③不符合题意， ④等腰三角形的对应角不一定相等，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的只有一个， 故选：． 2．（23-24九年级上·上海金山·期中）已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点．根据黄金分割点分线段对应成比例，分成的两条线段中的较长的线段与原线段的比值为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴； 故选C． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，且，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．，方向相同 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面向量，熟练掌握向量的基本性质和运算是解答的关键．根据向量的和与差运算可以得到向量与的关系即可解答． 【详解】解：，，且， ，即， ，，与方向相反， ∴选项A，B，D正确，C错误， 故选：C 4．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：， ， 故A，C，D不正确， 故选：B． 5．（23-24九年级上·上海·单元测试）如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为(    )． A．4 m B．6 m C．m D． 【答案】D 【分析】由题可知地毯的长度=构成直角三角形的两直角边的和，据此即可解答． 【详解】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)， 则地毯的总长至少为m 故选D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是明白地毯的长度=构成直角三角形的两直角边的和． 6．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 设的高为h， ， 设为，则为，为， ， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24九年级上·上海·阶段练习） （选填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】本题考查了锐角三角函数； 根据，锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：， ∵锐角的正弦值随着角度的增大而增大， ∴，即， 故答案为：＞． 8．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，变形计算即可． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 10．（23-24九年级上·上海·期中）已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得，代入数据求值即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，即， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（23-24九年级上·上海松江·期中）在中，，，，则的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴的余切值． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，，如果，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 13．（2024·上海松江·三模）如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    【答案】或 【分析】本题考查平面向量知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据相等平面向量的意义即可判断； 【详解】解： ， ， 图中与互为相反向量的向量是或． 故答案为：或． 14．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 15．（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设，利用相似三角形的性质可得，即，求出，得到，再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得是解题的关键． 【详解】解：设，则 ∵，与相似， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，连接，，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求角的余弦值．勾股定理求出的值，再利用余弦等于邻边比斜边，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（2024·上海普陀·模拟预测）如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则= （用表示） 【答案】 【分析】根据翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质求解．本题考查了翻折变换，掌握翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于，交于点， 将沿直线翻折，点落在边上的点处， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴ 故答案为：． 18．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米． 【答案】1200 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度． 【详解】解：作交于点，如图所示， ，， ， ， ， 故答案为：1200． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 20．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】26 【分析】设，则，再代入可求出k，从而可得a，b，c的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，代数式的求值，方程思想的应用，熟练的利用比例的基本性质进行解题是关键． 21．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 22．（2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图矩形中，和相交于点，设，．    (1)填空：　　；（用、的式子表示） (2)在图中求作． （不要求写出作法，只需写出结论即可．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平面向量，矩形的性质，解题的关键是掌握平面向量三角形计算法则． （1）先将用，表示后，即可得出结果； （2）延长到，使，由，，得出． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求；    23．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】 解：在中，，， 则，． 24．（2023·上海黄浦·一模）圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即的长）约为多少米？(参考数据 ；；；；) 【答案】损坏的“表”原来的高度约为9米 【分析】设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴（米）， ∴损坏的“表”原来的高度约为9米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，垂线段最短，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知． (1)如图，点 为边 上任意一点，点 在边上，且 与 相似．请在图中画出所有符合题意的 （不必尺规作图）；若 ，试用 的代数式表示 的长； (2)点 分别在边、上，且 与 相似，若 ，试求当符合题意的 唯一时，的取值范围是__________． 【答案】(1)作图见解析，或． (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的定义、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． （1）过点D做的平行线，，再结合公共角，即可作出；同理作出做也可作出；再利用相似三角形对应边成比例，将代入计算即可； (2)当时， 与相似总是存立，只要求出点N与点C重合，且时的长即可，当 (N与C重合)时，有，当符合题意的唯一时，然后求得x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作的平行线， ∴， 由公共角， 则； ∴， ∴，解得：； 如图：先作出， 由公共角， 则， ∴，即， 解得：． 综上，的长为或． （2）解：当时，与相似总是存立， ∴只要求出点N与点C重合，且时的长即可， 当 (N与C重合)时，有， ∴，即： ， 解得． ∴当符合题意的唯一时， x的取值范围是． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$