第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：沪教版第24-25章）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） 考查范围：沪教版第24-25章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 3．（2024·上海·模拟预测）如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ） A．2米 B．6米 C．米 D．米 4．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点分别在上，以下能推得的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·上海虹口·一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么 ． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知点在线段上，且，则 ． 9．（2023·上海黄浦·一模）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 11．（2024九年级上·上海·专题练习）在中，，如果，，那么 ． 12．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 13．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 故答案为：． 14．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，对角线，交于O，若面积是面积的2倍，那么与的面积之比为 15．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积 ． 16．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 17．（2024·上海青浦·二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示） 18．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则= ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24九年级上·上海崇明·期末）计算：． 20．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 21．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 22．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，，点D是边上的一点，． (1)请直接写出向量关于、的分解式，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论） 23．（2023·上海虹口·二模）如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 24．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 25．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） 考查范围：沪教版第24-25章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入即可求解． 【详解】解：设， , 故选：A． 2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果是单位向量，那么，所以B错误，不符合题意． C、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 3．（2024·上海·模拟预测）如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为，而不是，即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：在中，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点分别在上，以下能推得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的判定证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：A、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； B、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； C、，即，为公共角，可判定，即能证明，能推得，故符合题意； D、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； 故选：C． 6．（2023·上海虹口·一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念， 当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【详解】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：D． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，变形计算即可． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知点在线段上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平面向量基本定理，根据题意可知，再结与的方向相反易得出结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．（2023·上海黄浦·一模）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 【答案】/ 【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可． 【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a， ∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4， ∴， 解得∶， 即第二个矩形较长的一边长是， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键． 10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，即可得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故答案为：． 11．（2024九年级上·上海·专题练习）在中，，如果，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：2． 12．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据是的比例中项，得到，代入计算即可． 本题考查了比例中项的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：6． 13．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 【答案】 【分析】本题考查角的正切，过点P作轴于点A，构造直角三角形，根据正切等于对边比邻边进行求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点A， ∵点P的坐标为， ∴，， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴的正切为， 故答案为：． 14．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，对角线，交于O，若面积是面积的2倍，那么与的面积之比为 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 过点作垂足为，过点作交的延长线于点，根据已知易得再根据，从而可得，然后再证明，利用相似三角形的性质可得从而可得最后根据与的高相等，即可解答. 【详解】解：过点作, 垂足为, 过点作, 交的延长线于点, ∵, ∴, ， ， ∴, ∵, ∴, ∴, ， ， ∵与的高相等, ， 故答案为: . 15．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积 ． 【答案】/6平方厘米 【分析】本题考查了三角形重心的性质及三角形中位线的性质，根据点是的中点，得到的面积为，再由是重心，求出，即可求解． 【详解】解：点是的中点，的面积为， 的面积为， 是重心， ， 的面积为：， 故答案为：． 16．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 17．（2024·上海青浦·二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【详解】解：首先过点A作于点D，如下图所示， 则，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米． 故答案为： 18．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出和的长． 连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得和的长，然后结合图形及向量，即可得出结果． 【详解】解：连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形和菱形大小相同， ∴， ∴， ∴，   ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵与方向相反， ∴ 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24九年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；利用特殊角三角函数化简即可． 【详解】解：原式 ． 20．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 21．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质可求出，的长；根据四边形内角和求出，再根据相似图形的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的形状完全相同，相似图形各内角对应相等，各边对应成比例是解题的关键． 22．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，，点D是边上的一点，． (1)请直接写出向量关于、的分解式，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先根据得到，然后得到，最后根据求解即可； （2）过点E分别作，作向量和，根据向量加法的三角形法则求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴，即 ∴； 故答案为：． （2）向量在、方向上的分向量分别为和． 【点睛】本题考查了向量的加减运算，平行分线段成比例，作向量的分量等知识，灵活运用向量加减法的三角形法则是问题的关键． 23．（2023·上海虹口·二模）如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)7 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． （2）解：过点A作于点F，如图所示． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 24．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 【答案】(1)的高度为14米 (2)标杆应该向教学楼方向移动0.5米 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点，如图所示：    则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； （2）解：过点作于点交于点，如图所示：      设米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 25．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 【答案】(1)30 (2)上海中心大厦（SH）的高度为632米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设教学楼（）的高度为x米，根据题意列方程即可得到结论； （2）方案1，设米，过点A作，垂足为点E，根据矩形的性质得到（米），解直角三角形得到上海中心大厦（）的高度为632米；方案2，设米，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：设教学楼（）的高度为x米， 根据题意得， 解得， 答：教学楼（）的高度为30米， 故答案为：30； （2）解：方案1，设米，过点A作，垂足为点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米） 在中，， ， 在中，， ， ∴， 解得：， ∴上海中心大厦（）的高度为632米； 方案2，设米， 在中，， , 在中，， , ∴， 解得， ∴上海中心大厦（）的高度为632米． 学科网（北京）股份有限公司 $$