2024年秋季九年级数学开学提升训练卷（苏科版，测试范围：八年级下册-九年级上册第二章，九年级下册第五章）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

2024年秋季学期开学素养提升训练 九年级数学学科试卷 【苏科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：八年级下册-九年级上册第二章，九年级下册第五章 1． 单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．二次根式有意义，则的取值为（    ） A． B． C． D． 3．下列事件中属于必然事件的是（　　） A．任意买一张电影票，座位号是偶数 B．367人中至少有2人的生日相同 C．掷一次骰子，向上的一面是5点 D．某射击运动员射击1次，命中靶心 4．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（2，m），则m的值是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 5．如图，为直径，点D是上方圆上异于A、B的一点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（      ） A．110° B．100° C．90° D．80° 7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，过点作于点，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（    ） A． B．10 C．11 D． 2． 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．计算： ． 10．若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 11．把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是 ． 12．已知m是方程的一个根，则代数式的值为 13．点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 . 14．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，延长交反比例函数的图象于点．若反比例函数的图象经过的中点，且，则的值为 ． 16．如图，O 是矩形 对角线的交点，点E 在 边上，连接，将线段绕着点O 逆时针旋转得到线段（ 点F 在矩形内部），连接．若，，则面积的最大值是 ． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程：(1) 2x2－16＝0；(2) x(x－2)＋x－2＝0 18．（8分）计算： (1) (2) 19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷的值，其中x＝+1． 20．（10分）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如图： （数据分成五组：，，．，）； b．七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80，85，85，85，85，85，85，85，85，88，89． c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 m n 八年级 83 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ， ； (2)下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． (3)竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 21．（8分）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动． (1)第一周选择的是八年级班级的概率为______； (2)请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 22．（10分）如图，为的直径，为上一点，点为的中点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径长． 23．（10分）如图，在中，，为的平分线，为的外角的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，写出与间的数量关系，并证明你的结论． 24．（10分）如图1，某客运站内出入口设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，嘉琪和爸爸从站内二层扶梯口同时下行去一层出口，爸爸乘自动扶梯，嘉琪走步行楼梯．爸爸离一层出口地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间具有函数关系；嘉琪离一层出口地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）的函数关系如图2所示． (1)如图2，求关于的函数表达式； (2)求爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面时，嘉琪离一层出口地面的高度． 25．（8分）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为 （1）求反比例函数解析式； （2）点是轴上一个动点，求最大时的值； （3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（12分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图所示．    (1)证明平行四边形是菱形； (2)如图2所示，，，，是的中点，连接，，求的长． (3)如图3所示，若，，，线段与交于点，点是线段上的一个动点，连接，，直接写出的最小值，并写出此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季学期开学素养提升训练 九年级数学学科试卷 【苏科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：八年级下册-九年级上册第二章，九年级下册第五章 1． 单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．二次根式有意义，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，． 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义：被开方数为非负数是关键． 3．下列事件中属于必然事件的是（　　） A．任意买一张电影票，座位号是偶数 B．367人中至少有2人的生日相同 C．掷一次骰子，向上的一面是5点 D．某射击运动员射击1次，命中靶心 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件； B、367人中至少有2人的生日相同是必然事件； C、掷一次骰子，向上的一面是5点是随机事件； D、某射击运动员射击1次，命中靶心是随机事件， 故选B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（2，m），则m的值是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 【答案】C 【详解】试题分析：直接把点的坐标代入解析式即可． 解：把点A代入解析式可知：m=﹣． 故选C． 考点：待定系数法求反比例函数解析式． 5．如图，为直径，点D是上方圆上异于A、B的一点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角的定义求出，然后利用圆周角定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 6．如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（      ） A．110° B．100° C．90° D．80° 【答案】BB 【分析】本题主要考查了三角形的旋转．由逆时针旋转，得到，，得，，得，由，得，即可得． 【详解】解：由逆时针旋转，得到，， 得，， 得， 由， 得， 得． D故选：d故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，过点作于点，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定，根据一次函数的解析式求得的坐标，过点作轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴． 故选：B． 8．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（    ） A． B．10 C．11 D． 【答案】A 【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N， 分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果． 【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G， ∵∠BAC＝120°， ∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°， ∴AG＝，DG＝， 设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE， 在Rt△DGE中，， 即， 解得：x＝， ∴S△ADE＝DG×AE＝＝， 过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N， ∵， ∴AN＝AB＝6，BN＝ ， ∴BC＝， 设DF＝y， 则CF＝， DH＝，CH＝， 则有，即， 解得：， 则S△DFC＝， ∴S△DEF＝ ×（S△ABC－S△DEA－S△DFC） ＝ ＝ ＝ 故选A． 【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键． 2． 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键． 10．若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 11．把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是 ． 【答案】 【详解】试题分析：抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为（-2,1），所以平移后得到的抛物线的解析式为 考点：二次函数图象与几何变换． 12．已知m是方程的一个根，则代数式的值为 【答案】 【分析】由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 13．点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，正确理解二次函数的增减性和对称性是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，根据二次函数的增减性，的取值范围；当时，抛物线开口向下，A，B两点在对称轴的两侧，根据来比较它们与对称轴的距离大小，即得答案． 【详解】二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大，若，则若，解得； 当时，抛物线开口向下，，所以点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，由离对称轴越近函数值越大，得：点B离对称轴更近，所以，解得，故m的取值范围为； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 14．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于整个圆面积的一半，直接求解即可． 【详解】由图可知，； 那么该点取自阴影部分的概率是； 故答案为：． 【点睛】此题考查统计与概率，解题关键是面积的大小关系即可转化为概率． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，延长交反比例函数的图象于点．若反比例函数的图象经过的中点，且，则的值为 ． 【答案】-8 【分析】设B（a，b），先证明△CEO≌△CBO得到CE=BC，求出E（-a，b），再根据D为OB的中点，得到，从而求出，再由进行求解即可． 【详解】解：设B（a，b）， ∵四边形ABCO是矩形， ∴∠BCO=∠ECO=90°，BC∥AO， ∵OB=OE，CO=CO， ∴△CEO≌△CBO（HL） ∴CE=BC， ∴E（-a，b）， ∵D为OB的中点， ∴， 又∵D在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴k=-8， 故答案为：-8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数上点的坐标特点，坐标与图形等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 16．如图，O 是矩形 对角线的交点，点E 在 边上，连接，将线段绕着点O 逆时针旋转得到线段（ 点F 在矩形内部），连接．若，，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】，，取的中点M，则，连接，则点O是的中点，连接，于是得到是的中位线，得到，设，分点E在M的左侧和右侧两种情形，结合三角形全等的判定和性质，构造二次函数计算最值即可． 【详解】∵O 是矩形 对角线的交点，，，取的中点M， ∴，， 连接，则点O是的中点， 连接， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 当点E在点M的右侧或重合时，设， 过点F作，垂足分别H，N， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴有最大值，且时，最大，最大值为 ； 当点E在点M的左侧时，设， 过点F作，垂足分别H，N， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，取得最大值，且最大值为 ； 故最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线定理，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，分类思想，熟练掌握构造二次函数求最值的基本思想是解题的关键． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程：(1) 2x2－16＝0；(2) x(x－2)＋x－2＝0 【答案】(1) x1＝，x2＝－；(2) x1＝－1，x2＝2 【分析】（1）先变形得到x²=8，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程． 【详解】(1) 2x2－16＝0 x²=8 x=±=±2， 所以=2,=−2； (2)(x−2)(x+1)=0， x−2=0或x+1=0， =-1,=2. 【点睛】本题考查了解一元一次方程,解题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程. 18．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： （2） 19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷的值，其中x＝+1． 【答案】， 【分析】先计算括号内的，再计算除法，即可求解． 【详解】解：（1﹣）÷ ， 当x＝+1时，原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（10分）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如图： （数据分成五组：，，．，）； b．七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80，85，85，85，85，85，85，85，85，88，89． c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 m n 八年级 83 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ， ； (2)下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． (3)竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)85；85 (2)① (3)估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名 【分析】本题主要考查频率分布直方图，用样本估计整体，准确理解题目的信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据题意中获取的信息进行判断即可； （3）用样本估计整体进行计算． 【详解】（1）解：把七年级30个学生的成绩从小到大排列，排在第15和第16个数分别是85，85，故中位数； 七年级30个学生的成绩中出现次数最多的是85，故众数. 故答案为：85；85； （2）解：由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小，故①说法正确； 若八年级小明同学的成绩是84分，高于八年级成绩的中位数，所以能推断他的成绩成绩高于八年级一半或者一半以上，故②说法错误； 故答案为：①； （3）解：（名）， 答：估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名． 21．（8分）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动． (1)第一周选择的是八年级班级的概率为______； (2)请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 【答案】(1) (2)两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为 【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：第一周选择的是八年级班级的概率为； 故答案为： （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况， ∴两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 22．（10分）如图，为的直径，为上一点，点为的中点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等弧所对的圆周角相等得出，根据同圆的半径相等得出，于是有，可得出，再根据，即可得出，从而问题得证； （2）连接，，先根据相似三角形的判定和性质求出的长，然后由勾股定理求出、的长，再根据等弧所对的弦相等得出，在中根据勾股定理求出的长，即可求出的半径． 【详解】（1）证明：连接， 点为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 即， 又为的半径， 是的切线； （2）解：连接，， 由（1）知， ∵四边形是圆内接四边形，∴，∵为的直径，∴，∴，∴， ∴， ， ，， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 点是的中点， ， ， 为的直径， ， 由勾股定理得， 的半径长是2.5． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理，弧、弦之间的关系定理，熟练掌握这些定理是解题的关键． 23．（10分）如图，在中，，为的平分线，为的外角的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，写出与间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质； （1）根据垂直的定义，等腰三角形的性质，角平分线的定义，得出，即可得证； （2）根据四边形是矩形，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形中位线的性质，即可得出 【详解】（1）解：， ． ，为的平分线，                  ， 为的外角的平分线， ． ∴， 四边形是矩形． （2）． 四边形是矩形， ． ，为的平分线， ． ． 24．（10分）如图1，某客运站内出入口设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，嘉琪和爸爸从站内二层扶梯口同时下行去一层出口，爸爸乘自动扶梯，嘉琪走步行楼梯．爸爸离一层出口地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间具有函数关系；嘉琪离一层出口地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）的函数关系如图2所示． (1)如图2，求关于的函数表达式； (2)求爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面时，嘉琪离一层出口地面的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到关于的函数表达式； （2）令求出，代入中求出y值，即可得到结论． 【详解】（1）解：由图像可知：是的一次函数， 设关于的函数解析式是， 由图象可得，解得， 关于的函数解析式为； （2）在中，令得， 爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面的时间是， 在中，令得， ∴嘉琪离一层出口地面的高度为米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 25．（8分）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据关于的方程的根的判别式的符号来判断该方程的根的情况； （）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可； 本题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，此方程一定有实数根； （2）解：将代入， 得，解得， 解，得，， ∴另一个根为． 26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为 （1）求反比例函数解析式； （2）点是轴上一个动点，求最大时的值； （3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在．点的坐标为或或或 【分析】（1）先用k表示出点C，D的坐标，作轴于点轴于点，根据，列出方程，即可求解； （2）由三角形的三边长关系可知：当在一条直线上时，最大，再求出直线CD的解析式，进而即可求解； （3）设点的坐标为，分三种情况讨论：①当∠QOC=90°时，②当∠OCQ=90°时，③当∠OQC=90°时，利用勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， ， 中，， ， 是边的中点， ，即：， 作轴于点轴于点， 则，解得：． 反比例函数解析式为：． 在中，， 当在一条直线上时，， 由知，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 的解析式为：， 由，得， 最大时，的值为； 设点的坐标为， ①当∠QOC=90°时，则OQ2+OC2=QC2，即：，解得：m=， ∴点的坐标为； ②当∠OCQ=90°时，则CQ2+OC2= OQ2，即：，解得：m=， ∴点的坐标为； ③当∠OQC=90°时，则CQ2+OQ2= OC2，即：，解得：m=或， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图像和性质，待定系数法，勾股定理，是解题的关键． 27．（12分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图所示．    (1)证明平行四边形是菱形； (2)如图2所示，，，，是的中点，连接，，求的长． (3)如图3所示，若，，，线段与交于点，点是线段上的一个动点，连接，，直接写出的最小值，并写出此时的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)最小值为，． 【分析】（1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． （3）如图3，连接，，先证明是等边三角形，从而得，，进而证，得当、、三点共线时，+最小，最小值为的长，利用勾股定理求得最小值，再证明点是的重心，即可求得． 【详解】（1）证明∶∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）解：如图中，连接、、，    ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又由（1）可知四边形为菱形， ∴四边形为正方形． ∵， ∴， ∵为中点，四边形为正方形． ∴，，， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：如图3，连接，，    ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，，，， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，+最小，最小值为的长， ∵，， ∴最小值 ， 如图，    当+取最小值时， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是的重心， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形的重心等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$