第10章 第2讲 磁场对运动电荷的作用(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中物理高考一轮总复习

第2讲　磁场对运动电荷的作用 目标要求 1.能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。2.会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动及在有界磁场中的临界问题。3.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。 考点1　对洛伦兹力的理解和应用 1.洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。 2.洛伦兹力的方向。 (1)判定方法(左手定则)。 掌心——磁感线从掌心进入； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 拇指——指向洛伦兹力的方向。 (2)方向特点：F⊥B，F⊥v❶，即F垂直于B和v决定的平面。(注❶：洛伦兹力的方向与速度方向垂直，洛伦兹力不做功) 3.洛伦兹力的大小。 (1)v∥B时，洛伦兹力F=0。(θ=0或180°) (2)v⊥B时，洛伦兹力F=qvB。(θ=90°) (3)v=0时，洛伦兹力F=0。 (1)带电粒子在磁场中的速度不为零，一定受到洛伦兹力作用(×) (2)洛伦兹力对运动电荷不做功(√) (3)同一带电粒子在A处受到的洛伦兹力大于在B处受到的洛伦兹力，则A处的磁场一定大于B处的磁场(×) 1.洛伦兹力与安培力的联系及区别。 (1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。 (2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 2.洛伦兹力与电场力的比较。 洛伦兹力 电场力 产生 条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中 大小 F=qvB(v⊥B) F=qE 方向 F⊥B且F⊥v 正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反 做功 情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功 考向1　洛伦兹力的大小和方向 【典例1】　(2023·海南卷)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是(　　) A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B.小球运动过程中的速度不变 C.小球运动过程中的加速度保持不变 D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功 解析　小球刚进入磁场时速度方向竖直向下，由左手定则可知，小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力方向水平向右，A项正确；小球运动过程中，受重力和洛伦兹力的作用，且合力不为零，所以小球运动过程中的速度变化，B项错误；小球受到的重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度时刻变化，C项错误；洛伦兹力永不做功，D项错误。 答案　A 考向2　洛伦兹力作用下带电体的运动 【典例2】　如图所示，足够长粗糙绝缘倾斜木板MN与水平面夹角为θ，一个质量为m的物块刚好可以沿MN匀速下滑。让物块带上电荷量为q的正电，整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中。t=0时给物块一个沿木板MN向下的初速度，物块运动的v-t图像可能是(　　) 解析　物块刚好可以沿MN匀速下滑，受力分析得mgsin θ=μmgcos θ，整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中，物块带上正电荷后，受力分析得μ(mgcos θ+qvB)- mgsin θ=ma，由此可知滑块做减速运动，随着速度的减小，加速度在减小，故C项正确，A、B、D三项错误。 答案　C 考点2　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1.洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，只改变带电粒子速度的方向。 2.粒子的运动性质。 (1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动。 (2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 3.半径和周期公式。 (1)由qvB=m，得r=。 (2)由v=，得T=。 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度越大，轨道半径越大(√) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度越大，周期越大(×) 1.圆心的确定方法。 方法一　若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 方法二　若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 2.半径的计算方法。 方法一　由物理方法求：半径R=。 方法二　由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。 3.时间的计算方法。 方法一　利用圆心角求：t=T。 方法二　利用弧长求：t=。 考向1　带电粒子在直线边界磁场中的运动 直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。 【典例3】　如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1∶t2为(　　) A.3∶1 B.2∶3 C.3∶2 D.2∶1 解析　电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r=可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1==，电子2运动的时间t2==，所以=3，故A项正确。 答案　A 考向2　带电粒子在平行边界磁场中的运动 平行边界(存在临界条件，如图所示)。 【典例4】　如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与CD边界间夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求： (1)电子的速率v0至少多大? (2)若θ角可取任意值，v0的最小值是多少? 解析　(1)根据题意可知，当入射速率v0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰好不能从EF射出，如图所示， 电子恰好射出时，由几何知识可得 r+rcos θ=d， 又有qvB=， 联立解得v0=， 故电子要射出磁场，速率至少应为。 (2)由上述可知，当θ=0°时，粒子的速度为v0=， 最小，此时半径最小为rmin=。 答案　(1)　(2) 放缩法确定临界状态 当入射粒子的速度方向确定，速度大小不确定的情况下，可让速度从零开始逐渐增大，轨道半径从零开始逐渐增大，当轨迹与右侧边界相切时，出现从右侧边界射出磁场的临界状态。 考向3　带电粒子在圆形边界磁场中的运动 圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。 【典例5】　(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变，不计重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 解析　假设粒子带负电，作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况。如图甲所示，由几何关系可知△O1PO≌△O1QO，所以∠O1PO=∠O1QO，又粒子沿直径射入， ∠O1PO=90°，则∠O1QO=90°，O1Q⊥OQ，则每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，D项正确；粒子在圆筒中先做圆周运动，与圆筒碰后速度反向，继续做圆周运动，粒子第一次与筒壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心，之后轨迹也不可能过圆心，A项错误；粒子最少与圆筒碰撞2次，就可能从小孔射出，如图乙所示，B项正确；根据qvB=m可知，r=，则射入小孔时粒子的速度越大，粒子的轨迹半径越大，与圆筒碰撞次数可能会增多，在圆内运动的时间不一定越短，如图丙所示，C项错误。 答案　BD 【典例6】　如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子(重力不计)在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则等于(　　) A.　 　　 B.　 　　 C.2　 　　 D.3 解析　当轨道半径小于或等于磁场区域半径时，粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径。如图所示，当粒子从圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨迹直径为PQ，粒子都从圆弧PQ之间射出，因此轨道半径r1=Rcos 30°=R；若粒子射出的圆弧对应弧长为“原来”的一半，即周长，对应的弦长为R，即粒子运动轨迹直径等于磁场区域半径R，半径r2=，由r=可得==，B项正确。 答案　B 旋转圆法确定边界 当入射粒子有确定的入射点和速度大小，但入射方向不确定时，所有可能的圆轨道(半径相同)均过入射点，可让轨迹圆以入射点为轴旋转，粒子离开入射点最远的距离等于轨迹圆的直径，从而确定边界。 考向4　带电粒子在多边形边界磁场中的运动 带电粒子在三角形或多边形边界的磁场中的运动问题，应充分利用几何图形的信息解题。 【典例7】　如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足(　　) A.B> B.B< C.B> D.B< 解析　若粒子刚好过C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0==a。由qvB=得r=，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<，B项正确。 答案　B 考点3　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 考向1　带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解。 【典例8】　(多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子一定带负电荷 B.带电粒子的速度最小值为 C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为 D.带电粒子在磁场中运动时间可能为 解析　若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为r2，运动轨迹如图甲所示，由图中几何关系可得L2+(r2-0.5L)2=，解得r2=L，由洛伦兹力充当向心力qv2B=m，解得v2=，由动量定理得I=2mv2=，A项错误，C项正确；若粒子的运动轨迹如图乙所示，由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹半径最小，速度最小，由qv1B=m，解得v1=，B项正确；若粒子带负电，运动轨迹如图丙所示，当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为t==，D项正确。 答案　BCD 考向2　磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁场的方向，此时必须考虑由磁场方向不确定而形成的多解。 【典例9】　(多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷(重力不计)在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　) A.　　 　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv=m，得v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω==；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv=m，v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω==，A、C两项正确。 答案　AC 考向3　临界状态不唯一形成多解 如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过 180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解。 【典例10】　(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v> C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度<v< 解析　若带电粒子刚好打在极板右边缘，有=+l2，又因r1=，解得v1=；若粒子刚好打在极板左边缘时，有r2==，解得v2=，故A、B两项正确。 答案　AB 考向4　运动的周期性形成多解 带电粒子在两个相邻磁场或电场、磁场相邻的空间内形成周期性的运动而形成多解。 【典例11】　(多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 解析　若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示，根据几何关系有R=L，由qvB=m得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当粒子上下均经历一次时，如图乙所示，因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。综上所述，B、C两项正确，A、D两项错误。 答案　BC 学科网（北京）股份有限公司 $$