第18讲 因式分解 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第18讲 因式分解 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．若一个整式因式分解的结果是，则这个整式为（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．整式的公因式是（    ） A． B． C． D． 6．下列整式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 7．下列代数式与之积等于的因式为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 9．若整式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：乌、爱、我、义、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．义乌游 C．爱我义乌 D．美我义乌 二、填空题 11．分解因式： ． 12．＝ 13．分解因式： ． 14．因式分解： ． 15．如果x-3是整式2x2-11x+m的一个因式，则m的值 ． 16．若，则 ． 17．设为正整数，且，则等于 ． 18．要使整式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ． 三、解答题 19．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 20．因式分解： (1) (2) (3) (4)； 21．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 22．两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原整式分解因式. 23．阅读下列解答过程： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为 则，， ∴，∴ ∴另一个因式为，m的值为-21． 请依照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 24．【提出问题】某数学活动小组对整式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个整式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的整式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 25．某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解： 小亮： = = = 小颖： = ． 请你在他们解法的启发下，解决下面问题； (1)因式分解； (2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 26．如图1，有A，B，C三种不同型号的卡片若干，其中 A型是边长为 a的正方形，B型是长为 b，宽为 a 的长方形，C型是边长为 b的正方形． (1)若选取相应型号和数量的卡片拼出（或镶嵌）了一个符合某乘法公式的图形（如图2），则这个乘法公式是 ； (2)请你选取相应型号和数量的卡片，拼出（或镶嵌）一个符合等式的长方形； (3)现有 A 型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个长方形（或正方形）的有多少种拼法？ 请你通过计算说明理由． 27．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的整式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 因式分解 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个整式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【解析】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2．若一个整式因式分解的结果是，则这个整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用单项式乘整式运算法则，进而得出答案． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【解析】解：一个整式因式分解的结果是， 这个整式为：． 故选：． 3．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可． 【解析】解：①x2-10x+25=（x-5）2，不符合题意； ②4a2+4a-1不能用完全平方公式分解； ③x2-2x-1不能用完全平方公式分解； ④−m2+m−=-（m2-m+）=-（m-）2，不符合题意； ⑤4x4−x2+不能用完全平方公式分解． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键． 4．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解与整式相乘的关系，注意正确计算整式的乘法，然后系数对应相等．把整式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【解析】∵， ∴ ∴． 故选：A． 5．整式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公因式的意义，将原式写成含有公因式乘积的形式即可． 【解析】解：因为， 所以的公因式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了公因式，解题的关键是理解公因式的意义是得出正确答案的前提，将各个项写成含有公因式积的形式． 6．下列整式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据公式法的特点即可分别求解． 【解析】①不能用公式法因式分解； ②，可以用公式法因式分解； ③不能用公式法因式分解； ④=，能用公式法因式分解； ⑤=，能用公式法因式分解． ∴能用公式法分解因式的是②④⑤ 故选C． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点． 7．下列代数式与之积等于的因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】认真读懂题意，分析清楚题目中的数量关系，根据平方差公式把因式分解得到-(7x+y2)(7x-y2)，再进一步计算，即可求得答案. 【解析】=-(49x2- y4)=-(7x+y2)(7x-y2)， 则与7x－y2的乘积等于的代数式是-(7x+y2)=-7x-y2， 所以答案为：D. 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握平方差公式. 8．已知，，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据提公因式法将因式分解，再代入数据计算即可． 【解析】 ， 将，代入，得：．　 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键． 9．若整式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整式因式分解，即可得到结果． 【解析】解：∵ = ∴另一个因式是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键． 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：乌、爱、我、义、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．义乌游 C．爱我义乌 D．美我义乌 【答案】C 【分析】将所给的整式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息． 【解析】解：∵（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a+b）（a-b）， 又∵a-b，x-y，x+y，a+b分别对应下列四个个字：乌、爱、我、义， ∴结果呈现的密码信息是：爱我义乌． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将整式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止． 二、填空题 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解；将一个整式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【解析】解：直接提取公因式即可：， 故答案为：． 12．＝ 【答案】 【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 13．分解因式： ． 【答案】/（x-y+2）（x+y-2） 【分析】先分组成，再利用完全平方公式化为，最后利用平方差公式解答． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键． 14．因式分解： ． 【答案】 【分析】先把原式化为 再利用平方差公式分解因式，再把其中一个因式按照平方差公式继续分解，从而可得答案. 【解析】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，注意分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止. 15．如果x-3是整式2x2-11x+m的一个因式，则m的值 ． 【答案】15 【分析】如果x－3是整式2x2－11x＋m的一个因式，即方程2x2－11x＋m＝0的一个解是3，代入方程求出m的值． 【解析】把x＝3代入方程2x2－11x＋m＝0中得18－33＋m＝0，解得：m＝15． 故答案为15． 【点睛】本题主要考查的是因式分解一的意义以及一元二次方程的解，因式分解法解方程，分解成两个因式相乘值为0的形式，每一个因式为0，即可求出其中一个解．本题用的是逆向思维求m的值熟练掌握方法是本题的解题关键． 16．若，则 ． 【答案】2022 【分析】根据，得，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可． 【解析】∵ ∴ ∴ 故填“2022”． 【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键． 17．设为正整数，且，则等于 ． 【答案】 【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可． 【解析】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数） 同理，（为整数）． 由，得 ， ， 故，， 所以，． 因此，，．， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用． 18．要使整式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ． 【答案】±1或±19或±8 【分析】把﹣20分成20和﹣1，﹣2和10，5和﹣4，﹣5和4，2和﹣10，﹣20和1，进而得出即原式分解为（x+20）（x﹣1），（x﹣2）（x+10），（x+5）（x﹣4），（x﹣5）（x+4），（x+2）（x﹣10），（x﹣20）（x+1），即可得到答案． 【解析】解：当x2﹣ax﹣20＝（x+20）（x﹣1）时，a＝20+（﹣1）＝19， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣2）（x+10）时，a＝﹣2+10＝8， 当x2﹣ax﹣20＝（x+5）（x﹣4）时，a＝5+（﹣4）＝1， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣5）（x+4）时，a＝﹣5+4＝﹣1， 当x2﹣ax﹣20＝（x+2）（x﹣10）时，a＝2+（﹣10）＝﹣8， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣20）（x+1）时，a＝﹣20+1＝﹣19， 综上所述：整数a的值为±1或±19或±8． 故答案为：±1或±19或±8． 【点睛】本题主要考查对因式分解−十字相乘法的理解和掌握，理解x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）是解此题的关键． 三、解答题 19．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接提取公因式2，进而利用平方差公式、完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键． 【解析】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 20．因式分解： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （4）先将原式分组，再利用平方差公式分解因式． 本题主要考查了分解因式．分解因式时，首先观察是否有公因式，如果有公因式，则先提公因式，然后再利用公式法分解因式．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对整式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此整式有公因式，应先提取公因式，再对余下的整式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 22．两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原整式分解因式. 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原整式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用整式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用整式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原整式，再将原整式分解因式即可． 【解析】解：∵     ∴ ， ∵ ∴ ∴ ． 23．阅读下列解答过程： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为 则，， ∴，∴ ∴另一个因式为，m的值为-21． 请依照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14． 【分析】利用已知结合因式分解是把一个整式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，利用整式相等，对应项或对应项的系数相等进而得出方程组，可得答案． 【解析】解：设另一个因式为（x+m），由题意，得： x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m）， 则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m， ∴， 解得， ∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键． 24．【提出问题】某数学活动小组对整式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个整式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的整式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把整式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【解析】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 25．某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解： 小亮： = = = 小颖： = ． 请你在他们解法的启发下，解决下面问题； (1)因式分解； (2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（）运用分组分解法直接作答即可； （）运用分组分解法判断出，进而得到结论； 本题考查了因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键． 【解析】（1）解： ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵，，是的三边， ∴， ∴为等腰三角形． 26．如图1，有A，B，C三种不同型号的卡片若干，其中 A型是边长为 a的正方形，B型是长为 b，宽为 a 的长方形，C型是边长为 b的正方形． (1)若选取相应型号和数量的卡片拼出（或镶嵌）了一个符合某乘法公式的图形（如图2），则这个乘法公式是 ； (2)请你选取相应型号和数量的卡片，拼出（或镶嵌）一个符合等式的长方形； (3)现有 A 型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个长方形（或正方形）的有多少种拼法？ 请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片 (3)共有两种拼法：①用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形；②用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形 【分析】（1）由图2可得正方形的边长为，从而可得乘法公式为； （2）因为，所以需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片，拼成长为，宽为的长方形，作图即可解答； （3）分类三种情况讨论：拿走1张A型卡片，或1张B型卡片，或1张C型卡片，求出剩下的卡片的面积之和，然后在实数范围内因式分解，即可得到拼成的长方形． 【解析】（1）解：图（2）是边长为的正方形，面积为， 由其拼接图形可知：用了1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，面积也可表示为， ∴可得乘法公式为：． 故答案为： （2）解：∵， ∴需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片，拼成长为，宽为的长方形，如图所示． （3）解：拿掉一个卡片，有三种情况： ①若拿掉1张A型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵， ∴用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形； ②若拿掉1张B型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵在实数范围内无法因数分解， ∴用1张A型卡片，3张B型卡片，5张C型卡片无法拼出长方形； ③若拿掉1张C型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵， ∴用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形． 综上所述，共有两种拼法： ①用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形； ②用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形． 27．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的整式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可； ②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【解析】解：（1） ． （2）①原式 ． ②原式 ． 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