高二上学期数学第一次月考卷（北师大版2019选修一第1～2章：直线与圆+圆锥曲线)-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

高二上学期数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．测试范围：北师大版选择性必修一第一章、第二章 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由抛物线定义可列式求解点的横坐标，将所求横坐标代入抛物线方程得点纵坐标即可. 【详解】设点的坐标为， ∵，∴，∴. 把代入方程，得， ∴.∴点P的坐标为. 故选：B. 2．已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 3．平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 4．已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 5．已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据中位线定理、椭圆定义求得，再结合即可列方程求解. 【详解】 设C的右焦点为，因为，所以，所以，所以， 设， 因为，所以， 所以 ，解得. 故选：C. 6．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，则为两切线的夹角， 由于， 所以， 由二倍角公式可得， 故选：B. 7．双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由已知结合双曲线定义，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，进而可求答案． 【详解】解：如图，由题意得：， 设，则， 所以，， 由双曲线的定义得：， 所以，，则， 因为，在中，， 即，解得， 所以，， 在中，， 即， 可得， 所以， 所以，即， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：C． 8．若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与圆的位置关系问题，再求解参数即可. 【详解】到原点的距离为的点的轨迹为圆：， 因此圆C：上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆：与圆C：有两个交点， 因为两圆的圆心和半径分别为，，，， 所以，故，解得或， 故实数a的取值范围是，故A正确. 故选：A 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 10．已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．Q是线段的一个三等分点 D． 【答案】ABD 【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可. 【详解】如图，由抛物线的定义，    对于A，得，，又，则，A正确； 对于B，由，，得，所以. 而，所以，所以， 可知，所以，B正确； 对于D，在中，，可知，所以，D正确； 对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确. 故选：ABD. 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于坐标原点对称 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．四叶草曲线所围的区域面积大于 D．四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AB 【分析】由点在上，点亦在上，即可得A；借助基本不等式计算，结合两点间距离公式可得B；由B知曲线在圆内部，计算出该圆面积即可得C；由B知、的取值范围，即可得D. 【详解】对A：若点在上，则亦在上， 故曲线关于坐标原点对称，故A正确； 对B：若，，， 则，即，当且仅当时等号成立， 故曲线上的点到原点的最大距离为，故B正确； 对C：由B知，故曲线在圆内部， 圆的面积为， 故叶草曲线所围的区域面积不大于，故C错误； 对D：由B知，则，， 则当、为整数时，只有、，此时满足曲线， 故四叶草曲线只经过1个整点，故D错误. 故选：AB. 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知直线l的方程为，直线l与坐标轴交于A，B两点，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】分别求出直线与坐标轴的交点的坐标，从而可求出的面积. 【详解】直线l的方程为， 令，得，令，得， 不妨令，，则． 故答案为：6 13．方程表示的曲线的形状是 ． 【答案】两条线段 【分析】直接平方化简，结合二次根式的意义计算与直线的表示方法即可得解. 【详解】由已知方程两边平方得， 结合. ∴方程表示的曲线是两条线段． 故答案为：两条线段. 14．已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程表示以为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点），故t可以看作半圆上的动点与定点连线的斜率，画出图形结合图形可得答案． 【详解】由得， 它表示以为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点）， 故t可以看作半圆上的动点与定点连线的斜率． 如图，，，， 则，，则或． 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 16．已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）根据直线经过定点，而定点在圆内，即可求证， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）变形为， ，，，故直线恒过． 又，在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． （2）设圆心到直线l的距离为d，则，． 则，． 故． 17．设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 【答案】(1)走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. (2)15海里. 【分析】（1）设，根据得到方程，化简即可得到轨迹； （2）设，根据化简得到轨迹，；利用在圆的内部，得到不等式，转化为直线与圆的位置关系从而得到不等式，解出即可. 【详解】（1）由题意得，设走私船能被截获的点为， 则，则， 化简得. 因此，走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. （2）设走私船能被截获的点为，则， 由，整理得， 走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，记为圆. 当在圆的内部，则， 可变形为，即， 因此巡逻庭不能在圆内部截获走私船. 分要保证巡逻艇在领海内捕获走私船， 圆内部区域与直线不相交， 则圆心到直线的距离， 所以，相距最远是15海里. 18．已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为定值． 【分析】（1）根据已知列方程组求解求出双曲线方程； （2）先联立方程组求出两根和两根积，再应用弦长公式，最后计算得出定值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可得，解得，所以的方程为． （2） 假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值． 19．已知椭圆的焦距为，分别为左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点的切线方程为．点为直线上的动点，过点作椭圆的两条不同切线，切点分别为，直线交轴于点．证明：为定点； 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）由已知可得，，求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设，，，根据已知可得以及方程，代入点坐标，即可得出直线的方程.令，可求得为常数. 【详解】（1） 如图1，由已知可得，， 所以. 又，所以，. 所以，椭圆的标准方程为. （2）设，，. 则由已知可得，方程为：，方程为：. 将代入、方程整理可得， ，. 显然、点坐标都满足方程. 即直线的方程为， 令，可得，即点坐标为. 所以，为定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上学期数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．测试范围：北师大版选择性必修一第一章、第二章 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 3．平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 5．已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 7．双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 8．若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 10．已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．Q是线段的一个三等分点 D． 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于坐标原点对称 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．四叶草曲线所围的区域面积大于 D．四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知直线l的方程为，直线l与坐标轴交于A，B两点，则的面积为 ． 13．方程表示的曲线的形状是 ． 14．已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 16．已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 17．设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 18．已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 19．已知椭圆的焦距为，分别为左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点的切线方程为．点为直线上的动点，过点作椭圆的两条不同切线，切点分别为，直线交轴于点．证明：为定点； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$