第56讲 二项式定理-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第56讲 二项式定理 第56讲 二项式定理 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 利用二项式定理求项的系数 知识： 【例1】1．（2024北京）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【解析】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为.故选：A. 2．（2022全国I）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【解析】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 思维升华 求二项展开式中特定项的步骤 3．（2022天津）的展开式中的常数项为 . 【解析】由题意的展开式的通项为， 令即，则， 所以的展开式中的常数项为. 【拓展练习】1．（2023天津）在的展开式中，项的系数为 ． 【解析】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 2．（2024年天津）在的展开式中，常数项为 ． 【解析】因为的展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为. 3．（2024上海夏季）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【解析】令，，即，解得， 所以的展开式通项公式为，令，则， ．故答案为：10． 4．（2020·全国·）的展开式中x3y3的系数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【解析】展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 知识： 利用二项式定理求系数和问题 【例2】1．（2022浙江）已知多项式，则 ， ． 【解析】含的项为：，故； 令，即， 令，即， ∴， 故答案为：；． 2．（2022北京）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【解析】令，则， 令，则， 故，故选：B. 思维升华 赋值法的应用 (1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1. (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1. (3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 【拓展练习】5.(2024·南昌调研)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________. 【解析】　①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数. 故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300. ②对原式两边求导得， 10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9. 令x＝1，得 a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120. 系数与二项式系数的最值 【例3】1．（2024全国甲理）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【解析】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.故答案为：5. 思维升华 1.求二项式系数最大项 （1）如果n是偶数，那么中间一项（第＋1项）的二项式系数最大； （2）如果n是奇数，那么中间两项（第项与第＋1项）的二项式系数相等且最大. 2.求展开式系数最大项 求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k. 【拓展练习】6.（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 【解析】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误； 对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. 故选：AB. 二项式定理的综合应用 【例4】1. 设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】　因为a∈Z，且0≤a≤13， 所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a ＝C·522 025－C·522 024＋C·522 023－…＋C·52－C＋a， 因为512 025＋a能被13整除， 所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，又0≤a≤13， 所以a＝1. 2. 利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　) A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 【解析】　1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056 ＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34. 思维升华 二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【拓展练习】7. 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　) A．－1 B．1 C．－87 D．87 【解析】　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C ＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C×889＋…＋C×88＋1. ∵前10项均能被88整除， ∴余数是1.故选B. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第56讲 二项式定理 第56讲 二项式定理 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 利用二项式定理求项的系数 知识： 【例1】1．（2024北京）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【解析】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为.故选：A. 2．（2022全国I）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【解析】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 思维升华 求二项展开式中特定项的步骤 3．（2022天津）的展开式中的常数项为 . 【解析】由题意的展开式的通项为， 令即，则， 所以的展开式中的常数项为. 【拓展练习】1．（2023天津）在的展开式中，项的系数为 ． 【解析】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 2．（2024年天津）在的展开式中，常数项为 ． 【解析】因为的展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为. 3．（2024上海夏季）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【解析】令，，即，解得， 所以的展开式通项公式为，令，则， ．故答案为：10． 4．（2020·全国·）的展开式中x3y3的系数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【解析】展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 知识： 利用二项式定理求系数和问题 【例2】1．（2022浙江）已知多项式，则 ， ． 【解析】含的项为：，故； 令，即， 令，即， ∴， 故答案为：；． 2．（2022北京）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【解析】令，则， 令，则， 故，故选：B. 思维升华 赋值法的应用 (1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1. (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1. (3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 【拓展练习】5.(2024·南昌调研)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________. 【解析】　①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数. 故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300. ②对原式两边求导得， 10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9. 令x＝1，得 a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120. 系数与二项式系数的最值 【例3】1．（2024全国甲理）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【解析】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.故答案为：5. 思维升华 1.求二项式系数最大项 （1）如果n是偶数，那么中间一项（第＋1项）的二项式系数最大； （2）如果n是奇数，那么中间两项（第项与第＋1项）的二项式系数相等且最大. 2.求展开式系数最大项 求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k. 【拓展练习】6.（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 【解析】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误； 对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. 故选：AB. 二项式定理的综合应用 【例4】1. 设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】　因为a∈Z，且0≤a≤13， 所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a ＝C·522 025－C·522 024＋C·522 023－…＋C·52－C＋a， 因为512 025＋a能被13整除， 所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，又0≤a≤13， 所以a＝1. 2. 利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　) A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 【解析】　1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056 ＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34. 思维升华 二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【拓展练习】7. 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　) A．－1 B．1 C．－87 D．87 【解析】　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C ＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C×889＋…＋C×88＋1. ∵前10项均能被88整除， ∴余数是1.故选B. $$