2.3.3 点到直线的距离公式（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第二章 直线与圆的方程 2.3.3点到直线 的距离公式 ·选择性必修第一册· 1 学习目标 会用向量工具推导点到直线的距离公式． 掌握点到直线的距离公式（重点）,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.（难点） 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.（难点） 2 3 情景导入 01 2.3.3点到直线的距离公式 创设背景，引入新知 这就是今天我们要学习的内容 —— 点到直线的距离公式 任务 利用点P的坐标和步行道的直线方程，如何求点P到步行道的最短距离呢？有没有一个数学公式可以直接帮助我们计算得到这个距离？ 02 点到直线 的距离公式 2.3.3点到直线的距离公式 探究新知 回顾 在初中，“点到直线的距离”定义是什么？ 定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离. 如右图，点 P 到直线 l 的距离是垂线段PQ. 探究 提示：可以考虑用上节课学习的两点间距离公式和求两直线交点坐标方法 的知识，解决这个距离问题. 探究新知 探究 分析 探究新知 任务 详解 探究新知 探究 探究新知 探究 探究新知 公式 思考：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转 化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你 发现引起复杂运算的原因了吗? 一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂. 探究新知 提示 思考：又何简化运算的方法? 探究新知 解析 探究新知 探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离? 探究新知 思考： 探究新知 思考： 探究新知 思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点 间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向 量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法， 你还有其他推导方法吗? 柯西不等式法 回顾 在必修第二册《平面向量及其应用》中习题6.3的第16题中： 探究新知 法三 03 应用新知 2.3.3点到直线的距离公式 思考：直线 l 有什么特性? 由此你能给出简便解法吗? 应用新知 分析 例 5： 详解 一条垂直于 x 轴的直线： 类比 应用新知 跟踪练习： 详解 应用新知 总结 如何应用点到直线的距离公式，求点到直线的距离？ 第 1 步 确认点的坐标，和将直线方程化为一般式 第 2 步 将点横、纵坐标及直线一般式方程中A、B、C的五个值代入公式计算距离即可 将直线方程化为一般式方程是非常关键的！ 应用新知 例 2： 详解 分析 由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可． 1 2 3 -1 O 1 2 3 y x h A B C 应用新知 跟踪练习： 详解 分析 由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边BC的长和边BC上的高即可． 1 2 3 -1 O 1 2 3 y x h A B C 能力提升 04 2.3.3点到直线的距离公式 能力提升 题型一 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 例题1 【详解】 能力提升 题型一 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 例题1 【详解】 能力提升 题型一 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 例题1 【详解】 能力提升 题型一 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 例题1 【详解】 能力提升 总结 根据点到直线的距离公式求参数值（范围）的方法 第 1 步 确定点的坐标和直线方程：坐标或方程中可能含参 第 2 步 利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式） 第 3 步 解方程（不等式）即可得到参数的值（范围） 能力提升 题型二 点到直线的距离有关的最值问题 例题2 【详解】 【总结】已知直线外一定点和直线上的动点，求两点距离最小值等价于 定点到直线的距离 能力提升 题型二 点到直线的距离有关的最值问题 例题2 【详解】 【总结】已知直线外含一个参的动点到直线的最小距离，利用点到直线 距离公式表示含有参数的式子，然后利用函数的观点求最值. 能力提升 题型二 点到直线的距离有关的最值问题 例题2 【详解】 【总结】已知直线外一个定点到过某一定点的动直线的最大距离：最大 距离等于两定点的距离. 05 课堂小结及 限时小练 2.3.3点到直线的距离公式 课堂小结 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 作业布置 作业1：完成教材：第77页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《点到直线的距离公式》.  06 作业布置与 课后练习答案 2.3.3点到直线的距离公式 课后作业答案 练习（第77页） 课后作业答案 练习（第77页） 课后作业答案 练习（第77页） ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 （1）点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，求C的值 因为点 到直线 的距离为 ， 所以 ，解得 或 . 点 到直线 的距离大于3， 则实数a的取值范围为　(　　) A．a>7 B．a<-3 C．a>7或a<-3 D．a>7或-3<a<7 根据题意，得 >3，解得a >7或a <-3. (多选题)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0 的距离相等，则实数a的值等于(　　) A． B． C． D． 因为 和 到直线 的距离相等，由点 和点 到直线的距离公式， 可得： 化简得 ， , 解得 或 ，故选BC. 若点 在直线 上，且 到直线 的距离为 ，则点 的坐标为_________. 点 在直线 上，设 ， 到直线 的距离为 ， ， 解得：a=1或a=2，点 的坐标为 或 . 已知 ，若点P是直线 上的任意一点， 则 的最小值等于（    ） A． B． C． D． 过点M作 交l于点N，则有 ， 因此 的最小值就是点M到直线 的距离， 即 ．故选：C 设直线l： 与直线 平行， 则点 到l的距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 由已知两直线平行，∴ ,∴直线 , ∴ 到l的距离的 , 当 时取到最小值 , 故选： 设已知定点 和直线 ： ， 则点 到直线 的距离 的最大值为（    ） A． B． C． D． 直线 ，整理得 ， 由 ，解得 ，故直线过定点 故点 到直线 的距离的最大值为 ，故选：C 求点P (3，－2)到下列直线的距离： ① 3x－4y＋1＝0；　 ② y＝6；　 ③ y轴． ① 根据点到直线的距离公式，得 d＝eq \f(|3×3－4×（－2）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq \f(18,5). ② 因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8. ③ d＝|3－0|＝3. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)， 则点A到BC边的距离为 (　　) A． B． C． D．4 BC边所在直线的方程为 ，即x＋y＋1＝0； 则d＝ ,故选：B. 求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是 的直线l的方程. 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0， 则由点到直线的距离公式知， d＝eq \f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq \f(|m－3|,\r(10))＝eq \f(3\r(10),5). 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 已知直线 恒经过定点 ，则点 到直线 的距离是（    ） A．6 B．3 C．4 D．7 由直线方程 变形为： ，由 ，解得 ， 所以直线 恒经过定点 ， 故点 到直线 的距离是 ，故选：B. 点 到直线l： （ 为任意实数） 的距离的最大值为 ． ∵直线 ， ∴可将直线方程变形为 ， ∴ ，解得 ，由此可得直线系恒过点 ， P到直线l的最远距离为 ，此时直线垂直于PA， ∴ ．故答案为： . $$