第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第15讲 导数基础知识 第15讲 导数基础知识 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2. 通过函数图象，理解导数的几何意义. 3. 能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 导数的定义及变化率问题 知识： 【例1】1. 若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【解析】由题意知，. 故选：B 2. 如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为， 则，得. 因为， 所以当时，， 即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：C 思维升华 利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解． 【拓展练习】1.（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD 2.（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【解析】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确，故选：D. 导数的运算 知识： 【例2】1．（2020·全国·）设函数．若，则a= ． 【解析】由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：， 整理可得：，解得：. 故答案为：. 2．（2018·天津·）已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为 ． 【解析】由函数的解析式可得：， 则， 即的值为e，故答案为e. 思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【拓展练习】3．（2016·天津·）已知函数为的导函数，则的值为 . 【解析】 4．（2015·天津·）已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为 ． 【解析】，所以． 求切线方程 【例3】1．（2024·全国甲卷·）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 思维升华　求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同. 过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据： ①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键. 2．（2023·全国甲卷·）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（2022·全国新Ⅱ卷·）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【解析】根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 【拓展练习】5．（2022·全国Ⅰ卷·）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 6．（2021·全国甲卷·）曲线在点处的切线方程为 ． 【解析】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 7．（2021·全国Ⅱ卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【解析】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 公切线问题 【例4】1．（2024·全国新Ⅰ卷·）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 2．（2016·全国）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 思维升华 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【拓展练习】8．（2015·全国·）已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ． 【解析】函数在处的导数为， 所以切线方程为； 曲线的导函数的为， 因l与该曲线相切，可令=2⇒，a=0，当a=0时，曲线为直线，与直线l平行，不符合题意； 当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得a=8. 9.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． $$ “功夫”2025届第一轮精练 第15讲 导数基础知识 第15讲 导数基础知识 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2. 通过函数图象，理解导数的几何意义. 3. 能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 导数的定义及变化率问题 知识： 【例1】1. 若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【解析】由题意知，. 故选：B 2. 如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为， 则，得. 因为， 所以当时，， 即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：C 思维升华 利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解． 【拓展练习】1.（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD 2.（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【解析】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确，故选：D. 导数的运算 知识： 【例2】1．（2020·全国·）设函数．若，则a= ． 【解析】由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：， 整理可得：，解得：. 故答案为：. 2．（2018·天津·）已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为 ． 【解析】由函数的解析式可得：， 则， 即的值为e，故答案为e. 思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【拓展练习】3．（2016·天津·）已知函数为的导函数，则的值为 . 【解析】 4．（2015·天津·）已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为 ． 【解析】，所以． 求切线方程 【例3】1．（2024·全国甲卷·）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 思维升华　求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同. 过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据： ①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键. 2．（2023·全国甲卷·）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（2022·全国新Ⅱ卷·）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【解析】根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 【拓展练习】5．（2022·全国Ⅰ卷·）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 6．（2021·全国甲卷·）曲线在点处的切线方程为 ． 【解析】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 7．（2021·全国Ⅱ卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【解析】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 公切线问题 【例4】1．（2024·全国新Ⅰ卷·）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 2．（2016·全国）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 思维升华 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【拓展练习】8．（2015·全国·）已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ． 【解析】函数在处的导数为， 所以切线方程为； 曲线的导函数的为， 因l与该曲线相切，可令=2⇒，a=0，当a=0时，曲线为直线，与直线l平行，不符合题意； 当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得a=8. 9.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． $$