第3讲 复 数-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第3讲 复 数 第3讲 复 数 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 通过方程的解，认识复数. 2. 理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3. 掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 复数的概念 知识： 【例1】1．（2022•高考Ⅰ）若，则　　 A． B． C．1 D．2 2．（2021•高考Ⅰ）已知，则　　 A． B． C． D． 【拓展练习】1. (2023·淄博模拟)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 复数的四则运算 知识： 【例2】1．（2024全国Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024全国Ⅱ卷）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【拓展练习】2．（2024全国甲文）设，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（2024全国甲理）设，则（    ） A． B． C．10 D． 4．（2023• 高考Ⅰ）已知，则　　 A． B． C．0 D．1 5．（2022•高考Ⅱ）　　 A． B． C． D． 复数的几何意义 【例3】1．（2023•高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于　　知识： A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（2021高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【拓展练习】6．（2019全国Ⅰ理）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 7．（2019全国Ⅱ理）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 复数三角形式 【例4】(2023·渭南模拟)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数z满足z·＝|1＋i|，则复数z对应的点Z落在复平面内的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 $$ “功夫”2025届第一轮精练 第4讲 基本不等式 第4讲 基本不等式 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 2 - 最新考题尽在“功夫”！- 1 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 了解基本不等式的推导过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识： 数(式)的大小比较 【例1】1．（2024全国Ⅰ卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B.知识： 3．（2024北京卷）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误， 故选：A. 【拓展练习】1．（2024考天津）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D．知识： . 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 基本不等式及其应用 【例2】1.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　)知识： A.≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 【解析】根据图形，利用射影定理得 CD2＝DE·OD， 又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝， 由于OD≥CD，所以≥(a>0，b>0)． 由于CD≥DE，所以≥＝(a>0，b>0)． 2．（2021·全国乙卷·）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【拓展练习】2．（2019•上海）若，，且，则的最大值为　　． 【解析】，；故答案为： 3．（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【解析】因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象， 所以的对称中心为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．故选：A 4.（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 配凑法 【例3】1．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则　　． 【解析】， 所以，经检验，时等号成立．故答案为：9． 【拓展练习】 5.（2024·广东·模拟预测）已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当时取到等号， 故的最小值为12， 此时满足，解方程得或，故或1. 故答案为：12；或1 代换法 【例4】1.(2022·河北保定月考)已知实数a>0，b>0，且＋＝1，则＋的最小值为 . 【解析】根据题意得到＋＝1，变形为ab＝a＋b⇒(a－1)(b－1)＝1，则＋＝＝3b＋2a－5，因为＋＝1，所以3b＋2a＝(3b＋2a)＝5＋＋≥5＋2，当且仅当＝时等号成立．故＋的最小值为2. 2.（2024·呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ． 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故答案为： 【拓展练习】6.（2024·咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 【解析】由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： $$