第05讲 利用导数研究函数的零点问题(高考高频考点，3大题型+1类易错）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第05讲 利用导数研究函数的零点问题 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：函数零点（方程根）的个数问题 1 题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 5 题型三：函数的图象与函数零点问题 9 第二部分：易错篇 12 易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 12 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：函数零点（方程根）的个数问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； (2)讨论的零点个数. 例题2．（浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题）已知为实数，，设函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 例题3．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求实数的值； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 例题4．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求出方程的解的个数． 精练高频考点 1．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 2．（23-24高二下·陕西汉中·期末）已知函数. (1)求的单调区间及极值点； (2)若方程有三个不同的根，求整数的值. 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)设函数，讨论函数的零点个数. 4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数与函数，其中. (1)求的单调区间； (2)若，求的取值范围； (3)若曲线与轴有两个不同的交点，求证：曲线与曲线共有三个不同的交点. 题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围. 例题2．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并证明； (2)求在上的零点个数． 例题3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，若在上存在零点，求的取值范围. 例题4．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数. (1)若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）已知函数 (1)当时，求在上的值域； (2)若方程有三个不同的解，求的取值范围. 2．（23-24高二下·云南玉溪·期中）设，曲线在点处的切线与轴相交于点. (1)求实数的值； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 3．（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函数． (1)求曲线的图象在点处的切线方程； (2)若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围． 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的零点个数． 题型三：函数的图象与函数零点问题 典型例题 例题1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)若函数单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数有且仅有2个零点，求实数a的取值范围． 例题2．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若的导函数满足恒成立. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论零点的个数. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 例题4．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)若有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 精练高频考点 1．（2024·云南曲靖·二模）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论方程的实根的个数. 2．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数. (1)当时.求在处的切线方程; (2)若方程存两个不等的实数根，求的取值范围. 3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数（为实常数）. (1)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (2)讨论函数的单调性. (3)讨论函数的零点个数 4．（23-24高二下·北京延庆·期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上存在极值，求实数的取值范围； (3)求的零点个数． 第二部分：易错篇 易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 典型例题 例题1．（23-24高二下·四川眉山·期中）已知函数，其中. (1)求当时，函数在区间上的最小值； (2)若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 例题2．（2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）高三年级学生李波研究函数时，发现它的定义域是，图像连续不断，而且在上单调递增，在上单调递减.请你根据李波的研究成果，讨论一下方程的解的个数. 2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 利用导数研究函数的零点问题 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：函数零点（方程根）的个数问题 1 题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 11 题型三：函数的图象与函数零点问题 19 第二部分：易错篇 31 易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 31 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：函数零点（方程根）的个数问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解. （2）由零点的意义分离参数，构造函数，利用导数探讨直线与函数图象交点个数问题. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 直线交轴于点，交轴于点， 所以切线与两坐标轴围成的三角形面积为. （2）由，得，即， 令，因此函数的零点个数，即为直线与函数图象交点个数， 而， 令，显然函数单调递减，而， 则当时，，，当时，，， 因此函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为 且，在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有一个交点， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. 例题2．（浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题）已知为实数，，设函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性； （2）根据（1）的结果，转化为函数的最小值小于0，并且结合函数零点存在性定理说明存在2个零点. 【详解】（1），， 当时，，在单调递增， 当时，令，得， 令，得， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 综上可知，时，的增区间是； 时，的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由（1）可知，若有两个零点，则， 且当时，取得最小值，， 得， 且时，，·当，， 所以有1个零点，也有1个零点， 所以若有两个零点，则. 例题3．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求实数的值； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，则， 由题意可得，解得， 当，时，， 显然，函数在处可取得极值. 因此，. （2）解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围. 由，得或， 由，得， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由图可知，当，直线与函数的图象有个交点， 因此，实数的取值范围是. 例题4．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可列出、、的关系表，从而得到函数的单调递增区间； （2）问题转化为函数的图象与直线的交点个数，根据（1）分析函数的取值情况，即可作出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为． ．令解得或． 则、、的关系列表如下： 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 的单调递增区间为． （2）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数． 在（1）中可知：在区间上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 令，得． 当时，的图像过点． 当时，，但始终在轴上方； 当从的左侧无限近于时，；当从的右侧无限近于时，； 当时，；当时，． 根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示， 当时，与没有交点，则方程的解为个； 当或或时，与有个交点，则方程的解为个； 当或时，与有个交点，则方程的解为个． 精练高频考点 1．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义先求斜率，即可得切线方程； （2）分，和三种情况，利用导数研究函数的图象最值，数形结合求解问题. 【详解】（1）由，得，则. 因为，， 所以的图象在点处的切线方程为. （2）显然不符合题意， 又， 当时，可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 且当时，， 当时，， 所以，化简可得， 因为在上单调递减，且， 所以不等式的解集为. 当时，可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则， 且当时，， 当时，， 所以关于x的方程不可能有两个不同的实数解. 综上，a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 2．（23-24高二下·陕西汉中·期末）已知函数. (1)求的单调区间及极值点； (2)若方程有三个不同的根，求整数的值. 【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值点为1，极小值点为3； (2). 【分析】（1）对已知函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间与极值点； （2）利用（1）中结论，方程有三个不同的根，满足，可求出答案. 【详解】（1）因为，所以. 令，得或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 故的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值点为1，极小值点为3. （2）由（1）知在，上单调递增，在上单调递减. 因为，， 当时，，当时，， 且方程有三个不同的根，所以 所以的取值范围是. 因为，所以，故整数的值为. 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)设函数，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)单调性见解析；极大值为1，无极小值 (2)答案见解析 【分析】（1）根据，即可得出的单调性，结合极值的概念即可求解； （2）将原问题转化为直线与函数图象的交点个数，由（1）可得的单调性，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】（1），则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，且，无极小值. （2）由题意知， 要求函数的零点个数，即求方程的根的个数， 即求直线与函数图象的交点个数. 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，当时， 如图， 由图可知当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. 4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数与函数，其中. (1)求的单调区间； (2)若，求的取值范围； (3)若曲线与轴有两个不同的交点，求证：曲线与曲线共有三个不同的交点. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数研究其导函数的正负即可得其单调区间； （2）若，可得不等式恒成立，若，即，构造函数后借助导数求出其最大值即可得解； （3）根据题设先证两条曲线有，两个交点，再构造函数证明其除了这两个交点后还存在第三个交点即可得. 【详解】（1）的定义域为：， 又已知，， 所以时，单调递减； 时，单调递增； （2）由题意：，即， 若，不等式恒成立，若，即， 令，， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 故，故的取值范围为； （3）曲线与轴有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点， 不妨令，由（2）知，的取值范围为， 且由得， 同理得曲线与曲线共有两个不同的交点，， 下面证明这两条曲线还有一个交点， 令， ， 令，则， ，令， 则恒成立，则单调递增， 又， 令，得， 故存在，使得在上单调递减，在单调递增， ， 故有两个零点， 令，即有且只有两个极值点， 所以在上单调增，在上单调减，在上单调增， 又，若， 由得与题设矛盾，所以， 同理不可能在同一单调区间，， 故有， 所以在间存在唯一的使得，即两条曲线还有一个交点， 故曲线与曲线共有三个不同的交点. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先得出曲线与曲线共有两个不同的交点，，再通过构造函数去证明其除了这两个交点后还存在第三个交点. 题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为有三个不同的交点，令，利用导数求出的极值可得答案. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以； （2）若函数有三个不同的零点， 即，有三个不同的交点， 令，， 由， 所以在和上单调递增，上单调递减， 极大值为，极小值为， 且当时，，当时，， 当时，， 根据函数图象可知，，. 例题2．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并证明； (2)求在上的零点个数． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2)一个. 【分析】（1）先判断单调性，再求导函数根据导函数正负证明函数单调性； （2）结合函数单调性及极值结合零点存在定理得出零点个数. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 因为， 所以， 又因为，从而， 所以， 所以在上单调递增． （2）由(1)知：， 因为， 令，得． 与在区间上的情况如下： 0 + 极小 因为，， 所以由零点存在定理及单调性可知，在上恰有一个零点． 例题3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)，没有极小值 (2) (3) 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）利用导函数求函数的最值； （3）求函数的导数，构造新的函数，根据函数的导数，对进行分类，结合函数的单调性、零点存在定理和极值即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域是，则， 令，得，变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 所以，没有极小值. （2）当时，，， 则. 令，， 则， 则在上是增函数，则， 所以，即在上是增函数， 则. 故当时，在上的最小值是； （3），， . 令，，， 当时，，则在上是减函数，则. ①当时，，则在上是减函数，，不合题意； ②当时，，，，则存在，使， 即，变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 极大值 则， 因为在上有零点， 所以，解得. 所以，的取值范围是. 例题4．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数. (1)若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求解出函数的极值和最值从而求解出范围. （2）利用抽象函数求导，分析出函数的单调性分析出极值和最值求解出取值范围. 【详解】（1）因为的定义域为， 又当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 又时，， 故； （2）设， 令 ，考查这个函数发现在恒正， 即当时，单调递增， 在上单调递增， ， 即实数的取值范围为. 精练高频考点 1．（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）已知函数 (1)当时，求在上的值域； (2)若方程有三个不同的解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求出，即可求解； （2）由（1）可得函数的极值，由方程有3个不同的解可得，解之即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 令或， 所以在上单调递减，在、上单调递增， 故在处取得极大值，且为， 在处取得极小值，且为， 又在上，， 所以在上的值域为； （2）由（1）知在上单调递减，在、上单调递增， 所以在处取得极大值，且为， 在处取得极小值，且为， 若方程有3个不同的解，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 2．（23-24高二下·云南玉溪·期中）设，曲线在点处的切线与轴相交于点. (1)求实数的值； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程后结合其过的点可求实数的值. （2）利用导数讨论函数的单调性和极值，从而可求实数的取值范围. 【详解】（1）由，得，且. 令，则， 所以曲线在处的切线方程为. 代入解得. （2）由（1）知， 令，解得或， 当或时，，当时，， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是， 由此可知在处取得极大值， 在处取得极小值， 因为函数有三个零点，即方程有三个根， 而当时，，当，， 故，所以. 3．（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函数． (1)求曲线的图象在点处的切线方程； (2)若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程. （2）利用导数求出函数的极值，并作出其图象，数形结合求出的范围. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线的图象在点处的切线方程为，即. （2）函数，定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增；在上单调递减， 则当时，取得极大值，当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图，    若方程有3个不同的根，则直线和函数的图象有3个交点， 观察图象知，当时，直线和函数的图象有3个交点， 所以实数的取值范围为． 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的零点个数． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）先求切点，再利用导数求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程. （2）求导，分析函数的单调性，根据函数的极值判断函数零点的个数. 【详解】（1）函数，可得， 所以且，即切线的斜率为且切点坐标为， 所以切线方程为，即． （2）由（1）知，， 当时，单调递减 当时，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也为最小值，， 所以，所以函数没有零点，即函数的零点个数为0． 题型三：函数的图象与函数零点问题 典型例题 例题1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)若函数单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数有且仅有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将问题转化为恒成立，参变分离后根据二次函数性质可得； （2）构造函数，利用导数判断函数单调性，根据直线与的图象有一个交点可得的范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为函数单调递增，所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因为，所以当时，， 所以，即实数a的取值范围为. （2）因为，所以是的一个零点. 当时，由，得， 记，则， 记，则， 记，则，所以在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有最小值， 所以，当时，，即， 所以，在区间和上单调递增， 因为趋近于1时，趋近于1，趋近于0时，趋近于0，趋近于时，趋近于， 作出函数的图象如图： 由图可知，当或时，直线与的图象有一个交点， 即在区间上有一个零点， 所以，当或时，在有两个零点， 所以，实数a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第二问关键在于当时，参变分离，构造函数，利用导数判断函数的单调性，数形结合即可求解. 例题2．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若的导函数满足恒成立. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论零点的个数. 【答案】(1)见解析 (2)（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【分析】（1）分类讨论，，，结合导数得出单调区间； （2）（Ⅰ）根据极值的定义确定是的极小值点，进而得出的值；（Ⅱ）分离参数，构造函数，并结合导数得出其图像，数形结合得出零点的个数. 【详解】（1）时，， 当时，在上单调递减； 当时，， 若，则时，单调递减； 时，单调递增； 若，则时，单调递增； 时，单调递减； 综上，时，的单调减区间为，无单调增区间； 时，的单调减区间为，单调增区间为； 时，的单调增区间为，单调减区间为； （2）（Ⅰ）由，得， 因为恒成立，所以是的最小值， 即是的极小值点. 令， 且，解得. 此时时，单调递减，即单调递减； 时，单调递增，即单调递增， 所以，符合题意.     故. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 因为，所以零点的个数等价于方程实根的个数. 令，则， 所以当或时，； 当或时，， 即在和上单调递增，在和上单调递减， 当时，，，所以， 又，所以的大致图象如图所示: 所以当或或时， 方程恰有一个实根，零点的个数为1； 当或时， 方程恰有两个实根，零点的个数为2； 当时，方程无实根，零点的个数为0. 【点睛】关键点睛：解决问题（Ⅱ）时，关键在于分离参数，构造函数，利用导数得出单调性，进而由图像判断零点个数. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得方程有两个不同的解，方程变形得，两边取对数整理得，令，分析的单调性和值域可得的取值范围. 【详解】曲线与直线有且仅有两个交点， 可转化为方程有两个不同的解， 方程，化为，两边取对数得，即， 即方程有两个不同的解. 令，则， 令，解得， 当时，,此时单调递增； 当时，，此时单调递减. 故，且当时，， 又，所以，解得或， 故的取值范围是. 故答案为：. 例题4．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)若有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件利用切点求出的斜率和函数值列两个等式求解即可. （2）把方程中的参数分离，构造新函数，将方程根的个数转化为函数图象的交点个数，通过研究构造的新函数的大致图象数形结合求解即可. 【详解】（1）因为点在直线上，所以． 又，所以． ， ，所以． 综上． （2）由（1）得，易知， 所以有两个不同的实数根可转化为： 关于的方程有两个不同的实数根． 设， ， 令得，或． 所以当变化时，的变化情况为 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 当且时，， ，当且时，， 当时，． 根据以上信息画出的大致图象，如图所示． 所以实数的取值范围为 精练高频考点 1．（2024·云南曲靖·二模）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论方程的实根的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求得，，可求切线方程； （2）求导得，进而可得在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，可作大致图象，由图象可得绝地求生论. 【详解】（1），， 又， 函数的图象在点处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为，且， 时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 时，，时，， 时时. 的大致图象如图所示   当时，方程没有实数根； 当或时，方程有且只有1个实数根； 当时，方程有2个实数根. 2．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数. (1)当时.求在处的切线方程; (2)若方程存两个不等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）方程进行分离参数变形为，引入函数，利用导数确定函数的单调性与极值，结合函数图象得出结论． 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 所以在处的切线方程为：，即． （2）由得，，易知， 显然当时等式不成立，所以当时， 令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增，且， 作出的大致图象，如图， 由的图象可知当时，方程有两个不同的解， 即方程有两个不等的实数根，所以的取值范围是． . 3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数（为实常数）. (1)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (2)讨论函数的单调性. (3)讨论函数的零点个数 【答案】(1)时，函数的最大值为，时，函数的最小值为 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数求出在的极值、端点值可得答案； （2）分、讨论，利用导数判断可得答案 （3）转化为与图象交点的个数，利用导数得出的大致图象可得答案. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时有极小值， 为， ，， 所以当时，函数的最大值为， 当时，函数的最小值为； （2）， 当时，，单调递增， 当时，由得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在上单调递增； （3）， 当且时， 由得， 令，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，，的大致图象如下图， 当时，与的图象只有一个交点， 即只有1个零点； 当时，与的图象没有交点，即没有零点； 当时，与的图象只有1交点，即有1个零点； 当时，所以与的图象有2个交点，即有2个零点； 综上所述， 当，时，只有1个零点； 当时，没有零点； 当时，有2个零点； 【点睛】关键点点睛：第三位解题的关键点是转化为与图象交点的个数，利用导数得出的图象. 4．（23-24高二下·北京延庆·期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上存在极值，求实数的取值范围； (3)求的零点个数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为在有解，则在有解，即可求解； （3）令，将问题转化为与交点的个数，利用导数研究的大致图象，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 故，， 在点处的切线方程为，即 （2）， 当时，在单调递增，此时无极值点， 当时， 令或， 要使得在上存在极值， 则需要，解得 （3）令， 令，则， 记，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，且， 当时，， 而当时，， 作出的大致图象如下： 故当时，无零点； 当或时，一个零点； 当时，两个零点. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是参变分离得到，令，，从而转化为与交点的个数 第二部分：易错篇 易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 典型例题 例题1．（23-24高二下·四川眉山·期中）已知函数，其中. (1)求当时，函数在区间上的最小值； (2)若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用导数分类讨论函数在区间,的单调性，由单调性求最小值； （2）由函数有两个不同的零点，，构造函数，利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数的取值范围；把零点代入函数解析式，证明转化为证明，通过构造函数利用导数求最值的方法证明． 【详解】（1）函数的定义域是， . 当时，令则或(舍). 当，即时，，在上单调递减， 在上的最小值是， 当，即时， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在上的最小值是， 当，即时，，，在上单调递增， 在上的最小值是. 综上，. （2）①有两个不同的零点即有两个不同实根， 得，令，，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： ，所以实数a的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得， 不妨设，要证：， 只需证：，即证， 设，令，则， 函数在上单调递增，且. ，即，. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 例题2．（2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）利用导数求斜率，利用解析式求切点纵坐标，然后可得切线方程； （2）构造函数，利用导数求最小值即可得证； （3）构造函数，将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数单调性，然后作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】（1）因为， 所以曲线在处的切线斜率为， 又，所以切线方程为. （2）记，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以当时，取得最小值， 所以，即. （3）， 由题知，有且只有两个不相等实数根， 即有且只有两个不相等实数根， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又，所以可得的图象如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以，a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求参数范围，一般采取参变分离，转化为两个函数图象的交点问题，然后利用导数研究单调性，结合函数变化趋势、极值等作出函数图象，结合函数图象即可得解. 精练高频考点 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）高三年级学生李波研究函数时，发现它的定义域是，图像连续不断，而且在上单调递增，在上单调递减.请你根据李波的研究成果，讨论一下方程的解的个数. 【答案】 答案见解析 【分析】方程的根的个数与函数，的交点个数相等，利用导数判断函数的单调性，结合条件分析函数的图象，结合图象观察确定结论. 【详解】方程，可化为， 所以方程的解的个数与函数，的交点个数相等， 函数的定义域为， 因为， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且时，，当时，，，， 当时，因为，所以， 当时，因为，所以， 根据以上信息，作函数图象可得， 观察图象可得，当时，直线的图象与函数的图象有一个交点， 当时，直线的图象与函数的图象有两个交点， 当时，直线的图象与函数的图象有一个交点， 当时，直线的图象与函数的图象没有交点， 综上所述，当或时，方程有一个根， 当时，方程有两个根， 当时，方程有没有根. 2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2). 【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间； （2）将问题转化为方程有且仅有两个不等实根，构造函数，结合导数知识可作出的图象，进而得到，结合单调性可得结果. 【详解】（1）当时，，则定义域为， ， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意知：且； 与有且仅有两个交点， 方程有且仅有两个不等实根，即方程有且仅有两个不等实根， 即方程有且仅有两个不等实根； 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，当时，；当时，； 可得大致图象如下图所示， 令，则， 有且仅有两个不同实数根的充要条件为， 即，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题根据曲线与直线交点个数求解参数范围的关键是能够首先将问题转化为方程根的个数问题，进而采用同构的逻辑，通过构造函数的方式进一步将问题转化为同一函数不同函数值大小关系的比较问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$