第04讲 利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题(高考高频考点， 5大题型+ 2类方法）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第04讲 利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查单变量恒成立问题 1 题型二：重点考查单变量能成立问题 4 题型三：重点考查型恒成立问题 5 题型四：重点考查型能成立问题 7 题型五：重点考查型双变量不等式问题 9 第二部分：方法篇 10 方法一：分离变量法 10 方法二：分类讨论法 12 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查单变量恒成立问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）设函数． (1)若曲线与x轴相切，求a的值； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围． 例题2．（24-25高三上·江西·开学考试）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 例题3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线的斜率； (2)若，讨论的单调性； (3)若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（23-24高二下·广东阳江·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值集合. 2．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 题型二：重点考查单变量能成立问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·河南·阶段练习）设函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）设函数，曲线在点处的切线斜率为0 (1)求b; (2)若存在使得，求a的取值范围. 精练高频考点 1．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 2．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围. 题型三：重点考查型恒成立问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，，若，且关于x不等式在上恒成立，其中e是自然对数的底数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2024·广东汕头·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值． 例题3．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若恒成立，求的最大值. 精练高频考点 1．（2012高二·全国·竞赛）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）函数 (1)令，讨论函数的单调性； (2)若，且在实数上恒成立，求的最大值． 3．（2024·山西·模拟预测）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 题型四：重点考查型能成立问题 典型例题 例题1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 例题2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若都有求实数a的取值范围； (3)设若使得成立，求实数a的取值范围. 精练高频考点 1．（23-24高二下·四川德阳·阶段练习）已知函数， (1)若，试确定函数的单调区间； (2)若，且对于任意，恒成立，求实数k的取值范围； (3)令，若至少存在一个实数，使成立，求实数k的取值范围. 2．（23-24高二下·甘肃定西·开学考试）已知函数， (1)求在处的切线方程 (2)若存在时，使恒成立，求的取值范围． 题型五：重点考查型双变量不等式问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 例题3．（2024·山东聊城）已知函数，． (1)若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高二下·山东德州·期末）已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·江苏·专题练习）已知函数，，若对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，使得，求实数的取值范围. 第二部分：方法篇 方法一：分离变量法 典型例题 例题1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（    ） A． B． C．1 D．e 例题2．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数. (1)若方程有两解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（23-24高二下·广东深圳·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，证明：有且仅有一个零点； (2)当时，恒成立，求的取值范围； 方法二：分类讨论法 典型例题 例题1．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：在区间有唯一的极值点； (3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 例题2．（23-24高二下·贵州·期末）已知函数，在处取得极大值2． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围 精练高频考点 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数（，） (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 2．（23-24高二下·浙江·期中）（1）已知，求的最大值与最小值； （2）求函数的单调区间. （3）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查单变量恒成立问题 1 题型二：重点考查单变量能成立问题 9 题型三：重点考查型恒成立问题 13 题型四：重点考查型能成立问题 18 题型五：重点考查型双变量不等式问题 23 第二部分：方法篇 30 方法一：分离变量法 30 方法二：分类讨论法 34 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查单变量恒成立问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）设函数． (1)若曲线与x轴相切，求a的值； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求定义域，求导，设切点，，根据曲线与x轴相切，得到且，求出，得到答案； （2）转化为当时，恒成立，令，，求导后，结合，需要，即，放缩后，构造，求导得到其最值，得到满足要求，再当时，，举出反例，得到不合要求，从而求出答案. 【详解】（1）定义域为， 设切点为，，曲线与x轴相切， 故，即，故 ， ， 故，解得， （2）当时，恒成立， 令，， 故， 注意到，故要想， 需要，即， 当时，， 令， 则， 令， 则恒成立， 故在上单调递减， 其中，故，所以在上单调递减， 其中，故， 所以，满足要求， 当时，， 故，故不合要求， 综上，a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 例题2．（24-25高三上·江西·开学考试）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定函数定义域，求出导函数，利用导数正负，可得函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（1）分离参数，将问题转化为在上恒成立，令，利用导数研究在上的最大值即可得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 令，解得：， 令，解得： 所以的单调增区间为，单调减区间为， 则 （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立， 令， 则， 令，解得：， 令，解得： 所以的单调增区间为，单调减区间为， 则， 所以， 所以不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 例题3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线的斜率； (2)若，讨论的单调性； (3)若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先依据和的图象过点求出参数值，进而求出函数解析式，接着求出导函数，根据导数几何意义再求出即可得解. （2）根据函数的导函数对参数进行分类讨论得出导函数的正负情况即可得解. （3）恒成立等价于，所以对a进行分类讨论研究函数的导函数情况，从而求得函数的单调性和最小值情况即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为函数的图象过点， 所以， 即，故，解得， 所以，故， 即曲线在点处的切线的斜率为. （2）因为，所以，所以， 当时，，在区间R上单调递增； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在区间R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）因为，所以， 所以， 设，则， 所以，时，所以在上单调递增，且； ①当时，，即， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，所以符合题意， . ②当时，又在上单调递增，且， 当时，， ，使得， ，，即，所以在上单调递减； ，，即，所以在上单调递增， 所以，所以不合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究恒成立求参问题通常转化成研究函数最值问题，恒成立等价于，故可用导数工具结合分类讨论法研究函数的单调性，从而求得函数的最小值，判断是否满足即可得解. 精练高频考点 1．（23-24高二下·广东阳江·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义分析判断； （2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）由题意可得不合题意，当时，由（2）可得，所以将问题转化为，构造函数，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，即切点坐标为，切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）由题意得：的定义域为， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，令，解得：， 所以当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当时，，不合题意， 当时，由（2）知， 则， 令，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 实数的取值集合为 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为恒成立，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 2．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，再对进行分类讨论； （2）将整理得到，设，，则．设，则，所以函数在区间内为减函数，则，然后分与进行分类讨论，将不等式恒成立问题转化为最值问题． 【详解】（1）由题意得，． 当时，，故函数在区间上单调递增； 当时，在区间上，，在区间上，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （2）由，可得， 设，，则． 设，则， 所以函数在区间内为减函数，则． 当时，，在区间内为减函数， 所以恒成立； 当时，，因为在区间上单调递减， 所以，在区间内，有， 所以在区间上单调递增，所以，不合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】本题考查了函数的单调性讨论，利用导数研究函数的单调性及最值问题，不等式恒成立问题，解题的关键是准确对函数进行求导，构建新函数，将恒成立问题转化为最值问题，要充分利用分类讨论思想进行讨论求解． 3．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，得，令，再求导判断即可； （2）当时，可化为，令，，，对于a分类讨论求解． 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， ． 令，有， 令可得，可知函数的增区间为， 令，可得，所以函数减区间为， 可得，有， 可得函数单调递增， 故函数的增区间为，没有减区间． （2）当时，可化为 令，，． ①当时，，可得函数单调递增，有，满足题意， ②当时，，有，可得函数单调递增，有，满足题意， ③当时，，可得一元二次方程有两根，（记）， 由，可得， 可得函数的增区间为，减区间为，必有，不合题意， 由上知，若时，恒成立，则实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问中，当时，，可得一元二次方程有两根，（记），由，可得，由此确定函数的单调性，由此判断结论． 题型二：重点考查单变量能成立问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·河南·阶段练习）设函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即可； （2）分离参数后，转化为在上有解，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，其定义域为 当时，当时， 所以的单调递减区间为单调递增区间为 （2）不等式在上有解等价于在上有解， 令则 令易知在上单调递减，且 所以当时，即当时，即 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以所以即实数的取值范围为 例题2．（2024高三·全国·专题练习）设函数，曲线在点处的切线斜率为0 (1)求b; (2)若存在使得，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）直接求导代入即可； （2）直接求导得，再对分、和讨论即可. 【详解】（1）， 由题设知，解得． （2）的定义域为，由（1）知，， (ⅰ)若，则，故当时，，在单调递增， 所以，存在，使得的充要条件为，即， 解得． (ii)若，则，故当时，； 当时，，在单调递减，在单调递增． 所以，存在，使得的充要条件为， 而，所以不合题意． (iii)若，则． 综上，a的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导化简，然后再对进行合理地分类讨论. 精练高频考点 1．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果； （2）对进行讨论，分，和，当，利用函数值的符号即可求解；当和，设，利用导数与函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 2．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）根据题意将问题转化为在上有解，然后构造函数，利用导数求出其最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 若，则，所以在上单调递增， 若，则，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）在上有解在上有解， 在上有解， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 因为 所以， 所以， 故实数的取值范围是. 题型三：重点考查型恒成立问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，，若，且关于x不等式在上恒成立，其中e是自然对数的底数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知在上恒成立，利用导数分别求出，即，解不等式即可. 【详解】由，得， 令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故； 由，得， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故. 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D 例题2．（2024·广东汕头·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）（）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 若，，所以恒成立， 当时，，当时，， 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以，解得：， 可知的最小值为； 若，，所以恒成立， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内无最大值，且当趋近于时，趋近于，不合题意； 综上所述：的最小值为. 例题3．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入原点坐标求出，可得切线方程； （2）问题转化为在上恒成立，令，利用导数求最值即可. 【详解】（1）函数，定义域为，， 设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得， 所以切线的斜率为，所以的方程为 （2）恒成立，即恒成立，即在上恒成立， 令，则， 解得，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则有， 所以，故的最大值为. 精练高频考点 1．（2012高二·全国·竞赛）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，构造函数，分与讨论，然后转化为恒成立，代入计算，即可得到结果. 【详解】构造函数，其定义域为， 则， 当时，单调递增，不可能恒成立； 当时，令，得或（舍去）． 当时，； 当时，，故在上有最大值， 由题意知恒成立，即， 令，则在上单调递减，且， 故成立的充要条件是． 故答案为： 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）函数 (1)令，讨论函数的单调性； (2)若，且在实数上恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，即可求解； （2）由（1）可知，当时，，转化为，令，通过导数求即可. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，时，， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）结合（1）与题意可得，即， 即， 从而得 令 所以令 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 所以 所以，即的最大值为． 3．（2024·山西·模拟预测）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】（1）， 当时，恒成立，从而在上单调递增， 当时，，，，， 从而在上递增，在上单调递减， 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题可知，要使恒成立，只要， ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围为. 题型四：重点考查型能成立问题 典型例题 例题1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值. 【详解】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. 例题2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若都有求实数a的取值范围； (3)设若使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2) (3) 【分析】（1）代入，求导即可得出函数的单调区间； （2），都有等价于时，恒成立，然后分类讨论求即可. （3）令，即存在，使得，然后分类讨论求即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2），都有， 即时，恒成立, ,令, ①当，即时, ，，所以在单增， 所以，满足题意. ②当，即时， 此时，， i）当时，即时， ，，所以在单增， 所以，满足题意. ii）当时，即时， 此时，所以，不满足题意. 综上所述：当时，满足时，恒成立. . （3）令， 即存在，使得， 即存在，使得， ， i）当时，此时在上，，单减， ，即，满足题意. ii）当时，此时在上，，单增， 在上，，单增. ，，即， ，不满足题意. iii）当时， 此时在上，，单增， ，解得，满足题意. 综上所述： 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 精练高频考点 1．（23-24高二下·四川德阳·阶段练习）已知函数， (1)若，试确定函数的单调区间； (2)若，且对于任意，恒成立，求实数k的取值范围； (3)令，若至少存在一个实数，使成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导数判断原函数单调性； （2）分类讨论判断原函数单调性，结合恒成立问题分析运算； （3）根据题意可得原题意等价于至少存在一个实数，使成立，构建，利用导数判断单调性，结合存在性问题分析运算. 【详解】（1）若，则，可得， 令，解得， 则，；，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）则，可得， 令，解得， 则，；，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当，即时，在上单调递增， 则，即符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上所述：实数k的取值范围为. （3）若，则，可得， 故原题意等价于至少存在一个实数，使成立， 构建，则对恒成立， 故在上单调递增，则， 可得， 故实数k的取值范围为, 【点睛】方法定睛：1．两招破解不等式的恒成立问题 (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 2．利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧 根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解． 2．（23-24高二下·甘肃定西·开学考试）已知函数， (1)求在处的切线方程 (2)若存在时，使恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，确定切线的斜率，即可求在处的切线方程；（2）先把不等式成立转化为成立，设，，利用导函数求出在上的最大值，即可求实数的取值范围． 【详解】（1）由，可得， 所以切线的斜率，． 所以在处的切线方程为，即； （2）令， 则， 令，， 在上，， 在上单调递增， ， ． 题型五：重点考查型双变量不等式问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用导数分别求得函数和的单调性及最小值和，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又由函数在上单调递增，所以函数， 因为函数，，使得成立， 可得，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 例题2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解. 【详解】由题意，可得， 当时，， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：. 例题3．（2024·山东聊城）已知函数，． (1)若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 直线是曲线的一条切线,根据切点在切线和原函数上，斜率是切点处导数列式求的值即可； (2) 把任意的，都存在，使成立转化，在参数分离转化为恒成立,构造函数 ，求出，进而求出 的取值范围. 【详解】（1）由得, 设直线 与曲线的切点为, 则， 解得 因此的值为. （2）由得 设，则 , 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为 所以存在 ，使 , 且当时， ；当时， ； 从而 ，且当 时， ； 当 时， ,所以函数 在上单调递减，在上单调递增， 因此 , 由，得从而 , 所以 由对于任意的，都存在，使 成立， 得对于任意的，都有 , 即不等式在上恒成立， 即不等式 在上恒成立. 设 ，则 因为 ，当 时，; 当 时，; 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，因此 , 故 的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：把任意的，都存在，使成立转化为，参数分离后构造函数求导即可求解. 精练高频考点 1．（23-24高二下·山东德州·期末）已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为使得成立，分离参数得到，令，，即成立，通过求得导数和单调性，可得的最小值，则可得的取值范围． 【详解】由得，当时，，此时单调递增， 所以在上的最小值为， 所以使得成立， 即，使得成立，即成立， 令，，即， 因为， 令，， 则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即在上单调递减， 所以， 则. 故选：A. 2．（2024高三下·江苏·专题练习）已知函数，，若对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为两个函数的最值，利用导数求解的最值，利用二次函数的性质求解的最值，即可求解. 【详解】由题意知， 由题意，且的对称轴为直线， 所以当时，． 设，则，所以， 当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又，所以在区间上只有一个零点， 设为，且当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以当时，，所以，即． 因此，实数的取值范围是． 故答案为： 3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调性见解析 (2) 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到单调性； （2）当时，可知恒成立，知不合题意；当时，取，，通过放缩可得，符合题意；当时，将不等式转化为，根据单调性可分别求得和，由此可构造不等式求得结果；综合三种情况可得的取值范围. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令有，故当，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，；，； 恒成立，不合题意； 当时，取，， 则，符合题意； 当时，若，，使得，则； 由（1）知：； ，，在上单调递增， ， ，即，，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 第二部分：方法篇 方法一：分离变量法 典型例题 例题1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】C 【分析】求出导函数，利用导函数非负，得出不等式恒成立问题，参变量分离后，将恒成立问题转化为最值问题即可得解. 【详解】因为在R上单调递增，所以在R上恒成立， 等价于在R上恒成立， 令，易得在R上单调递增， 又 所以当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以实数a的最大值为1． 故选：C． 例题2．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数. (1)若方程有两解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)根据题意可知构造新的函数，则求出的单调区间，确定极值，即可求得实数的取值范围； (2)若对任意的，不等式恒成立，只需要求出最小值大于等于，对 求导可得出单调区间以及极值，在确定即可求得. 【详解】（1）（1）由，得，即， 令， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，， ， 因为方程有两解，即有两个零点， 所以的取值范围是. （2）对任意的，不等式恒成立， 在上恒成立， 令，则， 令，则， 在上为增函数， 又， ，使得，即， 时，在上单调递减， 时，在上单调递增， ， 由，可得， 令，则， 又在上单调递增， ， ， . 综上所述，满足条件的实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：是构造新的函数，在对新的函数求导确定函数单调性以及极值点也是最值点，把已知条件变形代入即可得到结果. 精练高频考点 1．（23-24高二下·广东深圳·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过参变分离将不等式变形为，进而将恒成立问题转化为函数的最值问题，然后结合函数的单调性得，故而得解. 【详解】因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令， 因为， 所以， 所以函数在时单调递减， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，证明：有且仅有一个零点； (2)当时，恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理即可证明. （2）把恒成立问题转化为，令，利用导数研究单调性，利用单调性求解最值即可求解参数范围. 【详解】（1）当时，函数，定义域为， 则， 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，则， 即在上恒成立，所以在上单调递增， 而，， 所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点. （2）当时，等价于， 令，求导得， 令， 则，当时，单调递增， 当时，单调递减，则， 于是当时，单调递增， 当时，单调递减，因此， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 方法二：分类讨论法 典型例题 例题1．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：在区间有唯一的极值点； (3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求得函数的单调区间； （2）令，求导后判断出函数的单调性，再结合函数零点存在性定理可证得结论； （3）解法1：分类讨论，分，和三种情况讨论即可，解法2：必要性探路，结合（2）的结论证明即可，解法3：参变分离，转化为对恒成立，构造函数，利用导数求得其最大值即可. 【详解】（1）. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令， ， 当时，，当时，， 在单调递减，单调递增. 又， 存在唯一实数，使得， 当时，，即，当时，，即， 在单调递减，单调递增， 区间有唯一极小值点.得证. （3）解法1：（分类讨论） 由（2）知：在单调递减，单调递增，且. ①当，即时，在单调递增， 所以，解得，故无解； ②当，即时，在单调递减， 所以恒成立，故； ③当，即时，在单调递减，在单调递增，所以，解得，故. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，构造函数，利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于难题. 例题2．（23-24高二下·贵州·期末）已知函数，在处取得极大值2． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组，再验证即可确定函数的解析式； （2）分类讨论函数的最小值，以及的最小值，转化为 【详解】（1），， 由题意可知，，， 即，，得， 所以，，得， 如下表，的变化情况如表所示， 0 0 减 极小值 增 极大值 减 所以符合题意，所以； （2）因为函数，在时，， 在时，，且， 所以由（1）知，当时，函数有最小值， 又因为对任意，总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 对于的开口向上，对称轴为， 当时，则在上单调递增， 故的最小值为，得， 当时，则在上单调递减， 故的最小值为，得， 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，得或，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围是. 精练高频考点 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数（，） (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）函数的定义域为，当时，，分和，解不等式，求出定函数的单调区间； （2）当时，，分，，，讨论确定导数的正负以确定函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，； ； 故当时，在上恒成立； 故函数在上是减函数， 当，当时，； 当时，； 故在上是减函数，在上是增函数； 综上，当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，， ， 当时，，故在上是减函数， 故存在，使得成立， 只需，解得， 当，令得，令得， 故在上是减函数，在上是增函数， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 要想存在，使得成立，只需， 解得， 当时，则在上单调递减，在处取得最小值， ，令，无解， 故实数a的取值范围为. 2．（23-24高二下·浙江·期中）（1）已知，求的最大值与最小值； （2）求函数的单调区间. （3）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值，最小值1；（2）答案见解析；（3）. 【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值； （2）求导，再分和求解； （3）解法一：把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可；解法二：令，求导，对进行分类讨论，判断函数单调性及最大值，从而求得的范围，结合有唯一整数解，进一步求出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得的变化情况如下表所示. 1 + 0 - 单调递增 单调递减 1 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，有极大值，也是的最大值. 又因为，而， 所以，所以为的最小值 （2）且， 当时，在单调递减； 当单调递减，单调递增 （3）解法一：因为，所以不等式可化为， 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为的最大值， ， 所以时，最大，所以不等式， 即存在唯一的整数解只能为1，所以，所以的取值范围为； 解法二：令，由题意可知有唯一整数解， ，当时，，所以在单调递增， 而，所以，与题意矛盾； 当时，由可得或（舍去）， 当时，时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以时，取最大值为， 由题意可知，解得， 因为，所以当，即时， 由有唯一整数解知，解得， 若，由在单调递增知，矛盾， 所以，由在单调递减可知， 所以符合题意； 当时，， 由在单调递减，知，不符合题意； 综上所述，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：（3）中的解法二：令，求导，分时，易得在单调递增，结合得出矛盾，当时，得到的单调性，再分而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$