第02讲 导数与函数的单调性(高考高频考点， 8大题型+ 2类方法+ 2类易错）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第02讲 导数与函数的单调性 目录 第一部分：题型篇 2 题型一：重点考查求函数的单调区间 2 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 2 题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 4 题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 5 题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 6 题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 7 题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 10 题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 11 第二部分：方法篇 12 方法一：单调性讨论优先考虑是否可因式分解 12 方法二：单调性讨论法 13 第三部分：易错篇 14 易错一：求单调区间忽视了定义域 14 易错二：已知在区间上单调等价转化忽略了等号 15 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查求函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·湖北襄阳·阶段练习）函数的单调增区间是 . 精练高频考点 1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数，其中，则的单调增区间为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 例题2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 例题3．（23-24高二下·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题4．（2024高二·全国·专题练习）函数在区间上不单调，实数的范围是 . 例题5．（23-24高二下·上海·阶段练习）若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是 精练高频考点 1．（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 4．（23-24高二下·吉林四平·期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 典型例题 例题1．（2024高二下·全国·专题练习）若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知在上存在三个单调区间，则的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 例题3．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 . 精练高频考点 1．（23-24高二上·河南安阳·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围为 A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二·全国·课后作业）若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南平顶山·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 . 题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论函数的单调性； 例题2．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)讨论的单调性． 例题3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数，其中，.讨论函数的单调性； 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调性； 3．（2023高二·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调区间． 题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 例题2．（22-23高二·江苏·课后作业）已知函数．讨论的单调性； 精练高频考点 1．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数.讨论的单调性； 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．时，讨论的单调性． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 例题3．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，其中，且为常数． (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间． 例题4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)讨论的单调性. 精练高频考点 1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数 ).讨论的单调性； 4．（23-24高二下·四川内江·期中）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围． 题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求证：时，； (2)讨论的单调性； 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.若，讨论函数的单调性； 精练高频考点 1．（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知． (1)求函数的单调区间； 2．（广东省广州市2025届普通高中毕业班摸底考试数学试题）已知函数． (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围； 题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．试讨论函数的单调性． 例题2．（2023高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性. 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调增区间. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 第二部分：方法篇 方法一：单调性讨论优先考虑是否可因式分解 典型例题 例题1．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 精练高频考点 1．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 方法二：单调性讨论法 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； 例题2．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数 . (1)讨论函数的单调性; 精练高频考点 1．（河北省张家口市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 第三部分：易错篇 易错一：求单调区间忽视了定义域 典型例题 例题1．（2024高三下·全国·专题练习）已知，则的单调减区间为 . 例题2．（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）函数的单调递增区间为 ． 精练高频考点 1．（23-24高二下·湖北襄阳·阶段练习）函数的单调增区间是 . 2．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递减区间为 . 易错二：已知在区间上单调等价转化忽略了等号 典型例题 例题1．（23-24高三上·山东烟台·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围 . 例题2．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知在R上是减函数，则a的取值范围为 . 精练高频考点 1．（2024高二·江苏·专题练习）若函数在单调递增，则实数m的取值范围为 . 2．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）若函数在上是单调减函数，则的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 导数与函数的单调性 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查求函数的单调区间 1 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 3 题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 8 题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 11 题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 14 题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 17 题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 24 题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 27 第二部分：方法篇 31 方法一：单调性讨论优先考虑是否可因式分解 31 方法二：单调性讨论法 33 第三部分：易错篇 36 易错一：求单调区间忽视了定义域 36 易错二：已知在区间上单调等价转化忽略了等号 38 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查求函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 例题2．（23-24高二下·湖北襄阳·阶段练习）函数的单调增区间是 . 【答案】， 【分析】根据函数导数求解函数的单调增区间； 【详解】函数的定义域为 因为， 令，则， 所以的单调增区间为，. 故答案为：，. 精练高频考点 1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数，其中，则的单调增区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，然后对函数求导，由导数大于零可求得函数的递增区间 【详解】定义域为， 由，得， 由，得或， 又函数的定义域是， 所以，即的单调增区间为. 故选：B． 2．（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 例题2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 故选：C 例题3．（23-24高二下·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可. 【详解】，因为在区间上存在单调递减区间， 所以在区间上有解，即在区间上有解， 当显然不出来； 当时，，即， 故选:C． 例题4．（2024高二·全国·专题练习）函数在区间上不单调，实数的范围是 . 【答案】 【分析】求导，判断单调性，从而求得函数的极大值点为，极小值点为，进而可得或，求解即可. 【详解】，，令，得. 当或时，；当时，. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为. 由题意可得或，解得或. 所以实数的范围是. 故答案为：. 例题5．（23-24高二下·上海·阶段练习）若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是 【答案】 【分析】借助函数与导数的关系，再参变分离，可得在区间上有解，结合的单调性计算即可得解. 【详解】， 函数在上存在严格减区间，则在区间上有解． 即在区间上有解， 令，因为在区间上严格递减， 所以，故有． 故答案为：. 精练高频考点 1．（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在上单调递减，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 4．（23-24高二下·吉林四平·期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，分和两种情况，结合在区间内存在单调减区间，求出的取值范围即可. 【详解】，， 当时，，不符合题意； 当时，令，解得， 在区间内存在单调减区间， ，解得. 实数的取值范围是. 故选：. 5．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可. 【详解】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 典型例题 例题1．（2024高二下·全国·专题练习）若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可. 【详解】依题意知， 有两个不相等的零点， 故， 解得且 . 故选：D. 例题2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知在上存在三个单调区间，则的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】问题转化为只需有个不相等的实数根即可． 【详解】若在上存在三个单调区间， 只需有个不相等的实数根， 即只需，解得：或， 故选D． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道基础题． 例题3．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】若恰好有三个单调区间,则应有两个不同的零点,据此列式求解即可. 【详解】,则, 若函数恰好有三个单调区间, 则有两个不同的零点, 即有两个不同的根, 所以且, 故答案为:. 【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查二次方程根的问题,难度不大. 精练高频考点 1．（23-24高二上·河南安阳·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围为 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】因为函数恰好有三个单调区间， 所以有两个不等零点，则，解得或.故选D. 2．（23-24高二·全国·课后作业）若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求得，由题意可知，有两个不同的零点，可得出，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得， 函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题利用函数的单调区间个数求参数，解题的关键就是结合题意确定函数的极值点的个数，结合二次函数的基本性质解题. 3．（23-24高二上·河南平顶山·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数恰好有三个单调区间等价于有两个不等实数解，再利用判别式求解即可. 【详解】解：由题意知，由函数恰好有三个单调区间，得有2个不同的实根， 所以需满足且方程的， 解得或，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的综合问题，属中档题. 题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求出定义域，求导，分与两种情况，得到函数单调性. 【详解】函数的定义域是， ， ①若，则，在上单调递增； ②若，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 例题2．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出区间端点值，即可得解； （2）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调性. 【详解】（1）当时，则， 当时恒成立，所以在上单调递增， 又，， 所以在上的值域为. （2）函数的定义域为， 又， 当，即时恒成立，所以在上单调递减； 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 例题3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数，其中，.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性. 【详解】由题意知：的定义域为，； 当时，，在上恒成立， 在上单调递增； 当时，令，解得：， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 【答案】当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. 【分析】求导后为类一次函数，由于函数的定义域为，所以分为和两类. 【详解】的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】对求导，分类讨论和，判断与得大小，即可得出答案. 【详解】的定义域为，则， 当时，即时，在上单调递减， 当时，即时，则即， 令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，则在上单调递增，在上单调递减； 3．（2023高二·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】求导后，分别在和的情况下，根据正负可得单调区间. 【详解】由题意知：定义域为，； ①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 【答案】当时， 在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【分析】求导后为类指数函数，分类讨论的依据是方程是否有解. 【详解】的定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 例题2．（22-23高二·江苏·课后作业）已知函数．讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求定义域，求导，分与两种情况下，讨论得到函数的单调性. 【详解】定义域为R， ． 当时，则，在R上单调递增， 当时，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 精练高频考点 1．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求导之后为类一次函数，根据方程是否有解分为和两类. 【详解】∵，∴， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时， 在上单调递减 ；当时， 在单调递减，在单调递增 【分析】（1）先求出，在利用导函数求出，即为曲线在点处的切线斜率，再利用点斜式即可求出切线方程. （2）先对求导，化简，再分两个方面来讨论的正负，进而得到的单调性. 【详解】（1）当时，，则 所以曲线在点处的切线方程为： 即． （2）的定义域为， （ⅰ）若，则，所以在上单调递减 （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增． 故当时， 在上单调递减 当时， 在单调递减，在单调递增． 题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．时，讨论的单调性． 【答案】答案见解析. 【分析】求导后为可因式分解的类二次函数，的零点为和，所以分，，三类. 【详解】因为，所以， 所以， 所以 令可得，或， 若时， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 若， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 若，，且当且仅当时取等号， 所以在上单调递增， 综上，当时，函数的递增区间为，，递减区间为， 当，函数的递增区间为，，递减区间为， 若时，函数的单调递增区间为，没有递减区间. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 【答案】答案见解析. 【分析】 先对求导通分，然后对分子因式分解，最后对参数分类讨论得到不同情况下的函数的单调性. 【详解】因为定义域为， 所以， ①当时恒成立，此时在上单调递增； ②当时令，解得或， 此时在，上单调递增， 令，解得，此时在单调递减； ③当时恒成立，此时单调递增； ④当时令，解得或，此时在，上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减， 综上可得，当或时在上单调递增； 当时在上单调递减，在和上单调递增； 当时在上单调递减，在和上单调递增. 例题3．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，其中，且为常数． (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)极小值为0，函数没有极大值 (2)答案见解析 【分析】（1）将代入先求得函数的导数，然后讨论函数的单调性即可确定函数的极值； （2）易知，然后结合导函数的零点对参数进行讨论即可确定函数的单调区间． 【详解】（1）由于函数的定义域为， 当时，，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故函数的极小值为，没有极大值． （2）由函数的解析式可得， 令可得或； 若，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 若，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 若，恒成立，函数的单调递增区间为； 若，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上可得： 若，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，函数的单调递增区间为，函数没有单调递减区间； 若，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 例题4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，利用导数研究函数单调性，从而得最值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的单调性. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，函数在上的最大值为； （2）函数的定义域为， ， 当时，由，可得，， 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增； 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 综上所述，当时，函数在、上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在、上的单调递增，在上单调递减. 精练高频考点 1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出,分、与讨论可得函数的单调性. 【详解】易知函数的定义域为， ， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，所以在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，就、、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性. 【详解】的定义域是，， （i）当时，，在递减，无增区间； （ii）当时，令，解得，令，解得， 故在上递减，在上递增； （iii）当时，令，解得， 令，解得， 故在递减，在递增； 综上，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为； 当时，的减区间为，增区间为. 3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数 ).讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】根据的导函数零点间的大小关系进行分类讨论求解即可； 【详解】由， ①当，即时， 因为恒成立，故在上为减函数； ②当，即时， 由得，或；由得，， 所以在和上为减函数，在上为增函数； ③当，即时， 由得，或；由得，， 所以在和上为减函数，在上为增函数. 综上：当时，在上为减函数； 当时，在和上为减函数，在上为增函数； 当时，在和上为减函数，在上为增函数. 4．（23-24高二下·四川内江·期中）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)递增区间为，,，递减区间为 (2), 【分析】（1）对函数求导，在上研究的符号判断单调区间； （2）由（1）确定在上的单调性并求最值，问题化为在上最大值大于等于求参数范围. 【详解】（1）由题设， 由，则，当变化时、随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 增 减 增 所以，函数的递增区间为，，递减区间为； （2）由（1）知，时，在上递增，在上递减，所以， 存在使，只需在上的最大值大于等于， 所以有，解得， 所以b的取值范围是． 题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求证：时，； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)证明见解析. (2)答案见解析. 【分析】（1）构造函数，，通过导数判断函数的单调性，并求最大值即可； （2）求导函数，分类讨论三种情况，函数在定义域的单调性即可； 【详解】（1）设，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 即． （2）由题意定义域为， 则，， ①当时，函数， 当时，；当时，， 故当时，恒成立，此时在上单调递增； ②时， 当时，，函数在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； ③时， 当时，，函数在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.若，讨论函数的单调性； 【答案】 答案见解析 【分析】求导之后为可因式分解的类二次函数，但由于方程可能无解，所以根据方程是否有解可分为和， 的另外一个零点为，所以当时，还需要分为三类. 【详解】 . ①当时，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在上单调递减，在上单调递增. ②当时，令，解得或， 当即时，令得：或，令得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当即时，恒成立，所以在上单调递增， 当即时，令得：或，令得：， 所以在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增. 精练高频考点 1．（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知． (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论和的解集即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，由，得，由，得， 因此函数的递增区间为，递减区间为； 当时，由，得，由，得， 由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为； 当时，，因此函数的递减区间为，无递增区间； 当时，由，得，由，得， 由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为， 所以，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递减区间为，无递增区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为． 2．（广东省广州市2025届普通高中毕业班摸底考试数学试题）已知函数． (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围； 【答案】(1) 【分析】（1）对函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性，得到函数的极值情况，由题意取舍即得实数的取值范围； 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，当时，，在上递减， 当时，，在上递增，此时在时取得极小值，符合题意； ②当时，由可得或， 若，则由可得或；由可得， 即在和上递增；在递减，此时函数在取得极小值，符合题意； 若，，当时，恒成立，即在上恒为增函数，不符合题意； 若，由可得或；由可得， 即在和上递增，在上递减，此时函数在时取得极大值，故不符合题意. 综上可得，实数的取值范围为； 题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．试讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导之后为不可因式分解的类二次函数，根据开口方向分为和，由于函数的定义域为，所以在方程有根的情况下分析还需要分析根的符号. 【详解】的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，可得或， 因为，所以舍去， 所以当时，， 则在上单调递减， 所以当时，， 则在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 例题2．（2023高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】先求的导函数，再分和两种情况讨论导数的正负进而判断函数的单调性即可. 【详解】由题意知的定义域为，， 对于，. ①当时，，在上单调递增； ②当时，令， 即， 解得， 令，则或； 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调增区间. 【答案】答案见解析 【分析】求定义域，求导，结合导函数特征，分类讨论，求出函数的递增区间. 【详解】的定义域为， ，， 令， 注意到， ①当时，，，故在上单调递增； ②当时，，令，得，， 令，解得， 所以的递增区间为； 综上：当时，的递增区间为； 当时，的递增区间为. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间. 【详解】解：函数的定义域为， ，令， 当时，，，此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，. ①当时，即当时，，且不恒为零， 此时，函数的增区间为，无减区间； ②当时，即当时，由可得， 解得， 由可得，解得或， 此时函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 第二部分：方法篇 方法一：单调性讨论优先考虑是否可因式分解 典型例题 例题1．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分、、讨论，利用导数判断可得答案． 【详解】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 精练高频考点 1．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)或. (2)答案见解析 【分析】（1）求导得，设切点，写出切线方程，代入，即可得到答案； （2）求导，分讨论即可. 【详解】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 方法二：单调性讨论法 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； 【详解】（1），， 不妨设， 则关于的方程的判别式， 当时，，，故， 函数在上单调递减， 当时，，方程有两个不相等的正根，， ， 当及时， 当时，，在，递减，在递增； 综上所得，当时，在，递减，在递增；当时，在上单调递减. 例题2．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数 . (1)讨论函数的单调性; 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果； 【详解】（1）易知函数的定义域为，， 令，，，对称轴为， （1）当，即时，方程有两根为，， （i）时，，时，，即， 时，，即， （ii）时，，时，，即， 时， ，即， （2）当，即时，方程的根为， 此时在区间上恒成立，当且仅当取等号， （3）当，即时，在区间上恒成立， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，无减区间. 精练高频考点 1．（河北省张家口市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数求得单调性，再求解极值即可. （2）利用导数含参讨论函数单调性即可. 【详解】（1）当时，， 定义域为，所以， 令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为， ，无极大值. （2）由上问得， 而，令，解得, 此时恒成立，故在上单调递增， 令，解得，令， 解得或，当时， ，故，，， 此时令，， 令，， 此时在上单调递减， 在上单调递增， 当时，， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，， ，令，， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当时，在上单调递增. 第三部分：易错篇 易错一：求单调区间忽视了定义域 典型例题 例题1．（2024高三下·全国·专题练习）已知，则的单调减区间为 . 【答案】 【分析】根据题意，求导可得，令，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 由，得，所以的单调减区间为. 故答案为： 例题2．（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】/ 【分析】由导数与单调性的关系求解. 【详解】 由得：．所以单调递增区间为 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高二下·湖北襄阳·阶段练习）函数的单调增区间是 . 【答案】， 【分析】根据函数导数求解函数的单调增区间； 【详解】函数的定义域为 因为， 令，则， 所以的单调增区间为，. 故答案为：，. 2．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】求导数，解不等式即可得函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，则， 令，则，解得， 故函数的单调递减区间为. 故答案为：. 易错二：已知在区间上单调等价转化忽略了等号 典型例题 例题1．（23-24高三上·山东烟台·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】首先求导，根据题意得到，恒成立，再利用导数求解最值即可得到答案. 【详解】，， 因为函数在上单调递增， 所以，恒成立， 即，恒成立， 设， ， ，，为减函数， ，，为增函数， 所以，即. 故答案为： 例题2．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知在R上是减函数，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得导函数，由函数在R上是减函数可得一元二次不等式；由一元二次不等式恒成立问题，即可求得a的取值范围. 【详解】函数在R上是减函数， 则 当时，在上不能恒成立，所以不成立； 当时，在上恒成立， 需，解得 即a的取值范围为 故答案为：. 【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题. 精练高频考点 1．（2024高二·江苏·专题练习）若函数在单调递增，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】要使在单调递增，则，再令，，得，再令，，求出，通过可判断单增，求得，再分和讨论，确定取值范围，进而得解. 【详解】由， 得， 若函数在单调递增， 则在上恒成立， 令，， 则， 再令，， 则， 因为， 所以， 所以在上恒成立， 则在上单调递增， 故； 当时，得， 此时， 则在上单调递增， 则， 此时符合在上恒成立； 当时，得， ，使得， 故时，，即， 时，，即， 故在上单调递减， 则当时，，此时，不合题意； 综上，实数m的取值范围为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）若函数在上是单调减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数在上是单调减函数等价于在上恒成立，再利用分离变量最值法求解即可. 【详解】解：因为函数， 所以， 由函数在上是单调减函数， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则， 当时，， 即， 即的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数导函数的求法，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $$