第01讲 导数的概念及运算(高考高频考点， 7大题型）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第01讲 导数的概念及运算 目录 题型一：重点考查导数的定义 1 题型二：重点考查复合函数求导 2 题型三：重点考查导数的运算 3 题型四：重点考查求切线（在型） 5 题型五：重点考查求切线（过型） 5 题型六：重点考查切线中的参数问题 7 题型七：重点考查公切线问题 7 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：重点考查导数的定义 典型例题 例题1．（24-25高三·上海·随堂练习）若，则（    ）． A．2 B． C． D．1 例题2．（23-24高二下·广西·期末）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第时，原油的温度（单位：）为，若，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 例题3．（25-26高三上·上海·单元测试）设在定义域内存在导数，且满足，则为 ． 精练高频考点 1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）已知函数在处的导数为4，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 3．（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知函数 则 （    ） A． B． C． D． 题型二：重点考查复合函数求导 典型例题 例题1．（23-24高二下·全国·课前预习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 例题2．（22-23高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 精练高频考点 1．（24-25高三·上海·随堂练习）证明下列等式： (1)； (2)． 2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 题型三：重点考查导数的运算 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． (5) (6) (7) (8) 例题2．（23-24高二下·四川成都·期中）求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) (5) 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)； 2．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 题型四：重点考查求切线（在型） 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东广州·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·江西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数为奇函数，其中．则实数 ；曲线在点处的切线方程为 ． 精练高频考点 1．（23-24高二下·广西桂林·期末）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中，则 ；函数在处的切线的倾斜角为 ． 3．（2024·陕西榆林）曲线在处的切线方程为 ． 题型五：重点考查求切线（过型） 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 例题3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点与曲线相切的切线方程. 精练高频考点 1．（多选）（23-24高二上·黑龙江双鸭山·期末）已知曲线，则曲线过点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为 . 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知曲线，求： (1)曲线在点处的切线方程； (2)曲线过点的切线方程． 题型六：重点考查切线中的参数问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东日照·期末）已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．4 例题3．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知曲线在点处的切线方程是，则（    ） A．2 B． C．1 D． 精练高频考点 1．（23-24高二下·广东肇庆·期末）直线与曲线相切于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南新乡·期末）若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（23-24高二下·江西抚州·期末）若直线与曲线相切，则 . 题型七：重点考查公切线问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·湖南株洲·期末）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 例题3．（23-24高二下·山东德州·期末）若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，则 . 精练高频考点 1．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二下·福建福州·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的概念及运算 目录 题型一：重点考查导数的定义 1 题型二：重点考查复合函数求导 3 题型三：重点考查导数的运算 6 题型四：重点考查求切线（在型） 9 题型五：重点考查求切线（过型） 11 题型六：重点考查切线中的参数问题 15 题型七：重点考查公切线问题 17 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：重点考查导数的定义 典型例题 例题1．（24-25高三·上海·随堂练习）若，则（    ）． A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C． 例题2．（23-24高二下·广西·期末）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第时，原油的温度（单位：）为，若，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合导数的定义求出的具体值即可得解 【详解】由导数的定义可知，在第2h时，原油温度的瞬时变化率为在处的导数， 又 所以， 即在第2h时，原油温度的瞬时变化率为. 故选：A. 例题3．（25-26高三上·上海·单元测试）设在定义域内存在导数，且满足，则为 ． 【答案】－1 【分析】由导数的定义求解． 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）已知函数在处的导数为4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由导数的定义变形求解可得. 【详解】由函数在处的导数为4， 则 . 故选：A. 2．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 3．（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知函数 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导可得即可由导数的定义和性质求解. 【详解】由可得故 , 故选：A 题型二：重点考查复合函数求导 典型例题 例题1．（23-24高二下·全国·课前预习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据复合函数求导法则求解； （2）根据复合函数求导法则求解； （3）根据复合函数求导法则求解； （4）根据复合函数求导法则求解； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 例题2．（22-23高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复合函数的导数公式，以及导数的运算法则可得答案. 【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有 ． （2）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有 ． （3）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则有 ． 精练高频考点 1．（24-25高三·上海·随堂练习）证明下列等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据指数型复合函数求导的运算法则直接求解即可； （2）根据对数型复合函数求导的运算法则直接求解即可. 【详解】（1）设， 故左边右边，等式成立； （2）设， 故左边 右边，等式成立． 2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复合函数求导公式计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 题型三：重点考查导数的运算 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数的导数公式求解，另外（6）还用了切换弦，（7）还用了半角公式. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5）． （6），则 （7），则． （8） 例题2．（23-24高二下·四川成都·期中）求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5). 【分析】根据求导四则运算法则和复合函数求导法则进行计算 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由得； （4）由， 则； （5）由， 则. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用函数积与差的导数法则求导化简即得； （2）利用函数的商的导数法则求导化简即得. 【详解】（1）由求导得， ； （2）由求导得，. 2．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用分式函数的求导法则求导即得； （4）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型四：重点考查求切线（在型） 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东广州·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以，，所求切线的斜率， 因此，所求切线的方程为，整理得． 故选：A． 例题2．（24-25高三下·江西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，根据导数的几何意义写出切线斜率，然后利用点斜式写出方程. 【详解】因为， 所以在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：C. 例题3．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数为奇函数，其中．则实数 ；曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 1 【分析】利用函数是奇函数可得；求出、，利用点斜式方程可得答案. 【详解】因为函数是奇函数，．所以，解得， 所以，对于，， 函数是奇函数； ，所以，， 所以切线方程为． 故答案为：①1；②. 精练高频考点 1．（23-24高二下·广西桂林·期末）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】由可得， 所以, 故切线方程为，即. 故选：D 2．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中，则 ；函数在处的切线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】利用求导公式和求导运算法则即可得第①空答案，利用导数求出在处的切线的斜率，然后利用即可得解第②空. 【详解】因为，所以， 令函数在处的切线的斜率为,倾斜角 由导数几何意义可得，，即， 又，所以切线的倾斜角为． 故答案为：， 3．（2024·陕西榆林）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】/ 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程. 【详解】因为，则， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为． 故答案为： 题型五：重点考查求切线（过型） 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】设切点为，又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 所以，整理得，解得或， 即切线方程为或． 故选：BC． 例题2．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先对函数求导，再把代入导函数中可求出切线的斜率，再求出的值，可得切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程； （2）设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，依题意可得，从而可求出或，进而可求得切线方程. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以切线斜率， 又因为， 所以切点坐标为，所以所求直线方程为， 故曲线在处的切线方程为. （2）因为，设切点为， 则， 所以切线方程为， 则，即，解得或， 所以切点为或，切线的斜率为或， 所以切线方程为或 即切线方程为或， 例题3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点与曲线相切的切线方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）设切线的斜率为，直线与曲线相切的切点坐标为，由导数的几何意义可得，求出，即可求出切线方程. 【详解】（1）因为，所以， 所以在点的切线斜率为：， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即. （2）设切线的斜率为，直线与曲线相切的切点坐标为，则直线方程为， 因为，所以， 又点在切线上，所以， 解得，则， 所以直线方程为，即. 精练高频考点 1．（多选）（23-24高二上·黑龙江双鸭山·期末）已知曲线，则曲线过点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设出切点坐标，对函数求导求出切线斜率，利用点斜式方程写出切线，将代入，解方程计算出切点坐标，进而得出切线方程． 【详解】设切点坐标为， ，切线斜率为 切线方程为 曲线过点，代入得 可化简为，即，解得或 则曲线过点的切线方程为或 故选：BD 2．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线求得参数，即可求解. 【详解】设切点为，由得， 则切点处的切线， 因为切线过点，所以，解得， 所以切线方程为即. 故答案为： 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知曲线，求： (1)曲线在点处的切线方程； (2)曲线过点的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先得到点是切点，故只需求出即可得解； （2）首先得到点不是切点，设切点为，由，即可列式并联立求解即可. 【详解】（1）由于，从而点是切点， 又，所以， 从而曲线在点处的切线方程为，即； （2）由，从而点不是切点， 设切点为，显然， 一方面，另一方面， 联立以上两式可得，所以或，也就是或， 又，， 所以曲线过点的切线方程为或， 也就是或. 题型六：重点考查切线中的参数问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东日照·期末）已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据导数的几何意义得到条件，然后用基本不等式证明，最后给出一个的情况即可. 【详解】设切线的切点为，则. 且由，及该直线斜率为，知. 所以，故，从而代入知，即. 所以. 当，时，有，. 所以的最小值是. 故选：C. 例题2．（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再根据两直线垂直，斜率之积为计算可得. 【详解】因为，所以，则， 即曲线在点处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， 所以，解得. 故选：B 例题3．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知曲线在点处的切线方程是，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，进而求出即可得解. 【详解】函数，求导得，依题意，， ，显然，因此，所以. 故选：A 精练高频考点 1．（23-24高二下·广东肇庆·期末）直线与曲线相切于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，依题意即可求出，再根据求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 依题意，解得， ，解得， 所以. 故选：C 2．（23-24高二下·河南新乡·期末）若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先应用导数运算律求出导函数再根据斜率相等求参即可. 【详解】由，得，当时， 由，得， 曲线在点处的切线与在点处的切线平行， 则，得. 故选：A. 3．（23-24高二下·江西抚州·期末）若直线与曲线相切，则 . 【答案】2 【分析】由函数的导数为3，求切点，根据切点在直线上，可求的值. 【详解】因为，所以. 由， 因为，所以切点坐标为， 因为点在直线上，所以. 故答案为：2 题型七：重点考查公切线问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 例题2．（23-24高二下·湖南株洲·期末）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 【答案】3 【分析】求出在点处的切线方程为，设该切线与切于点，求导得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 例题3．（23-24高二下·山东德州·期末）若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，则 . 【答案】 【分析】设公切线与相切于，与相切于，根据公切线斜率为以及点在函数图像上列出方程求解. 【详解】因为，， 则，， 设公切线与相切于，与相切于， 则，， 解得，，所以，， 所以切线方程为，即， 又在切线上，所以，所以. 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 2．（23-24高二下·福建福州·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】曲线上的切点为，曲线上的切点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为， ，， 解得. 故选：A. 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】设切点分别为，，分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，且，即得解. 【详解】由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：，即； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，且， 消去得，故或， 所以直线l的方程为：或． 故答案为：或. 学科网（北京）股份有限公司 $$