5.4.2正弦函数、余弦函数的性质教案 (1)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 1（1 课时） 【教学内容】 周期函数的概念；正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性。 【教学目标】 1. 了解周期函数的概念； 2. 理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期，提升数学抽象、数学运算素养； 3. 理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性。 【教学重难点】 教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性。教学难点：周期函数定义的理解。 【教学过程】 引导语：根据研究函数的思路可知，通过定义得到函数的图象之后，接下来应该利用函数的图象研究其性质了．所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征．从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性． （一）新知探究 1. 周期性 一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数 f(x)的周期；如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期；周期函数的代数关系是 f(x+T)=f(x)；周期函数的图象每隔一个周期就会重复出现． 设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫． 问：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？ 预设答案：明确了一个函数的周期，那么我们研究它的图象与性质时，就可以缩小研究范围，只要清楚一个周期内的图象与性质，整体定义内的情况就都清楚了，提高了研究的效率． 设计意图：为前面研究三角函数的图象的方法提供一定的理论支持，又为后面的研究做好铺垫． 问题 1：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？ 追问 1：我们知道，sin（ 2π + π ）=sin（ 2π ），sin（ π + π ）=sin π ，sin（ 4π + π ）=sin 4π ，…， 1 学科网（北京）股份有限公司 3 3 3 3 3 3 3 3 3 那么 π 是正弦函数 y=sin x 的一个周期吗？为什么？从函数值变化的角度解释：为什么可以说 2kπ（k∈Z） 3 是正弦函数的周期？ 追问 2：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？ 教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期．追问 3：在此基础上，你能说出余弦函数的周期吗？ 设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期． 例 1 求下列函数的周期： （1）y＝3sin x，x∈R；（2）y＝cos 2x，x∈R；（3）y＝2sin 1 x π ，x∈R． 2 6 追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？解答完成之后思考，这些函数的周期与解析式中哪些量有关？ 解：（1）∀x∈R，有 3sin(x+2π)=3sin x，由周期函数的定义可知，原函数的周期为 2π． （2） 令 z＝2x，由 x∈R 得 z∈R，且 y=cos z 的周期为 2π，即 cos(z+2π)＝cos z，于是 cos(2x+2π)＝cos 2x，所以 cos 2(x+π)＝cos 2x，x∈R． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π． （3） 令 z＝ 1 x π ，由 x∈R 得 z∈R，且 y=2sin z 的周期为 2π，即 2sin(z+2π)＝2sin z， 2 6 于是 2sin( 1 x π +2π)＝2sin( 1 x π )，所以 2sin[ 1 (x+4π)－ π ]＝2sin( 1 x π )，x∈R． 2 6 2 6 2 6 2 6 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 4π．对于周期问题，求解的步骤如下： 第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）y＝cos 2x，x∈R”，令 2x＝t，所以 y＝f(x)＝cos 2x＝cos t；第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：由 cos（2π+t）＝cos t，代入可得：cos（2π+2x）＝cos 2x；第三步，根据定义变形：变形可得：cos 2（π+x）＝cos 2x，于是就有 f(x+π)＝f(x)； 第四步，确定结论：根据定义可知其周期为π． 周期与自变量的系数有关．仿照上述分析过程可得函数 y＝Asin(ωx+φ) (ω>0)的周期为：T＝ 2π ．一般 ω 地，如果函数 y＝f(x)的周期是 T，那么函数 y＝f(ωx) (ω>0)的周期是 T ． ω 设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数 y＝Asin(ωx+φ)的周期，为后续学习做准备． 2. 奇偶性问题 2： （1） 如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？ （2） 知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？ 预设答案：（1）由诱导公式 sin(－x)=－sinx，cos(－x)=cosx，可知，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；（2）知道一个函数的奇偶性，同样也可以缩小我们研究函数的范围，因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y 轴对称，所以只需要搞清楚函数在 y 轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知道了，可以提高我们研究函数的效率． 设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质， 并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性，为后续的研究做好铺垫． 例 2 (1)函数 f(x)＝ 2sin 2x 的奇偶性为 ( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数3 4 3π 2 (2)判断函数 f(x)＝sin x＋ 的奇偶性． （二）布置作业 教科书习题 5.4 第 2，3，15，18 题． 【目标检测题】（见资源包） $$