5.4.1正弦函数、余弦函数的图像课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一人教A版数学必修第一册第五单元 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 用定义法画正弦函数的图象； 用平移法画余弦函数的图象； 掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征； 用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图。 一、引入新课： 三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研 究方法学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题呢？ 函数研究思路：函数定义→函数图像→函数性质 正弦函数𝑦 = sin 𝑥的图像 1.三角函数的定义是什么？ 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于 P(x，y) 那么 ① y_叫做α的正弦，记作sinα＝y. ② 𝑥_叫做α的余弦，记作cosα＝x. ③ 𝑦 _叫做α的正切，记作tanα＝𝑦 . 𝑥 𝑥 正弦函数𝑦 = sin 𝑥的图像 2.如何从定义出发研究三角函数的图像？ 单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式来表示 sinx  2  sin x, cosx  2  cos x P M   C( 3 , sin 3 )  x O  3 在直角坐标系中如何作点（ 𝜋，𝑠𝑖𝑛 𝜋 ) ? 3 3 y  3 探究1:在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0,sinx0)？  3 0 探究1: 在[0,2π]上任取一个值x，如 何利用正弦函数的定义，确定 正弦函数值sinx0，并画出点T(x0,sinx0)？ 思考：𝑥0在单位圆上表示什么几何量？ 𝑠𝑖𝑛𝑥0的几何意义是什么? x    6 3 2 若把 x 轴上从 0 到 2这一段分成12等份，使 0 的值分别为 0, , , ,,2 探究2： 它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点 (x0,sin x0) 的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图像上的点。 1 -1  2  2 5 6  7 6 2 3 3 5 x ● ● ● 3  3 2 3 4 6 6 2 0 11     2 5 6 3 2 3 6 ● ● ● ● ● ● 6 3 2 3 ● 6 7 4 3 5 11 ● ● ● y=sinx ( x [0, 2] ) 利用信息技术，x0 在区间[0, 2] 取足够多的值可画出足够多的点，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数图像。  3 [ ] 思考1: 根据函数𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 的图象，你能想象函数 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅的图象吗？ o 2 3 4 x 4 3 2   当 𝑥 ∈ [2𝜋, 4𝜋], [−2𝜋, 0],…时，函数 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 的图象如何？ y 1 y  sin x, x  R y  sin x, x [0, 2] 1 sin(x  2k)  sin x, k  Z 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。 思考2：在确定正弦函数的图像形状时，应抓住哪些关键点？ o x y -1 - 1 - - -1  3  2 2 3 5 6  7 6 4 3 3 2 5 3 11 6 2  6 y  sin x x [0, 2] 与x轴的交点： (0, 0) (, 0) (2,0) 2 最低点： (3,1) 最高点：( ,1) 2 o y 1 -1 x 0  2  3 2 2𝜋 sinx 0 1 0 -1 0 (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线  2  3 2 2 x 正弦函数的“五点法”作图： 探究3：能借助正弦函数的图像画出余弦函数 y  cos x 的图象吗？ 由此可知，余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移 𝜋 2 个单位长度而得到。 2 诱导公式：𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 𝜋) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 6x y - o -1 2 3 4 5 -4 -3 -2 1  正弦、余弦函数图象间的关系 余弦函数的图象 正弦函数的图象 6x y - o -1 2 3 4 5 -3 -2 -4 1  正弦曲线 形状完全一样只是位置不同 余弦曲线 2 y  cos x  sin( x  ) 余弦函数𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑥 ∈ 𝑅的图象叫余弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 思考3：在确定余弦函数的图像形状时，应抓住哪些关键点？ 0 π 2π (1) 列表 描点 连线 2   3 2 2 1 -1 y o x 0  2  3 2 2 cosx 1 0 -1 0 1 五点法作图注意：横轴五点排均匀，上下顶点圆滑行；上凸下凹形相似，游走酷似波浪行. x 余弦函数的“五点法”作图： 二、例题讲解 例题1. 用“五点法”作下列函数的简图： y  1 sin x, x [0, 2] y  cos x, x [0, 2] x 0  2  3 2 2 sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx 1 2 1 0 1 o x y 2  2  3 2 2 1● ● ● ● ● 解： (1)按五个关键点列表 (1)𝑦 = 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ [0,2𝜋] 解： (2)按五个关键点列表 x 0  2  3 2 2 cosx 1 0 -1 0 1 -cosx -1 0 1 0 -1 o x y 1  3 2 2 ● 2 ● ● ● y=-cosx x [0,2 ] -1● (2) y=－cosx，x [0, 2] o -1 1 2  2  3 2 2 y=1+sinx x[0, 2] y=sinx x[0, 2] y x y x o  2  3 2 2 -1 1 y=cosx x [0, 2] y=-cosx x[0, 2] 函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？ 可以利用函数图象变换来作出函数图象 理解用定义来画正弦函数的图象； 理解用平移法画余弦函数图象； 掌握正弦函数、余弦函数图象及特征； 三、课堂小结 五点法 4 、重点掌握正弦曲线、余弦曲线 图象变换法 y x o 1 -1  2 2 3   2  2 y=sinx，x[0, 2] y=cosx，x[0, 2] x 0  2  3 2 2 y=sinx 0 1 0 -1 0 y=cosx 1 0 -1 0 1 三、课堂小结 四、课后作业 见目标检测题 谢 谢 观 看! $$