5.7三角函数的应用1课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.7 三角函数的应用1 高一-人教A版-数学-必修一-第五章 学习目标 掌握三角函数模型应用基本步骤: 根据图象建立解析式, 根据解析式作出图象, 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型； 2.选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。 引入新课 问题 你能举出生活中具有周期性现象的实例吗? 周期性现象的例子可能包括以下几方面： 匀速圆周运动．如表的指针的转动，摩天轮等； 自然界中的周期性现象．如潮汐变化，日升日落，一天当中的气温变化等； 物理学中的周期性现象．如钟摆，弹簧振子运动，发电机产生的交变电流等． t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0 模型一：简谐运动 例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与位移y（单位mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． 新知探究 问题1 画出散点图并观察，位移y随时间t的变化规 律可以用怎样的函数模型进行刻画？根据散点图（如图）， 分析得出位移y随时间t的变化规律可以用 y＝Asin（ωx＋φ)这个函数模型进行刻画． A＝20，T＝60 s，初始状态的位移为－20 mm． 3 函数的解析式为 y  20 sin  10 π t  π ， t  [0，  )  2    问题2 由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态（t＝0）时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？ 简谐运动相关概念 简谐运动可以用函数 y  A sin ωx  φ，x[0， ) 来表示，其中A为 ω T 振幅（物体离开平衡位置的最远距离），T  2π 为周期， f  1 为频 率． ωx  φ 相位，ω为初相． （1）振幅A＝3， 周期T＝4，频率f＝ ． 1 4 （2）设这个简谐运动的函数表达式为 y  3sin  π x  2π   2 5    练习1：如图所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ 写出这个简谐运动的解析式． 变式1：如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一段固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数 关系是 l s  3cos gt  π ，t [0， ). 3      当l＝25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001 rad）； 已知g＝9.8 m/s2，要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度应当是多少（精确到0.1 cm）? 解答：（1）最大偏角为0.1203 rad． （2）要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度l应当为24.8 cm． 模型二：交变电流 （2）当 时，求电流i． 1 600 150 600 60 t  0， 1 ，1 ，7 ， 图（1） 图（2） 例2 如图（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位A）随时间t（单位s）变化的图象．将测得的图象放大，得到图（2）． （1）求电流i随时间t变化的函数解析式； 由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用 i  Asinωt  φ，t  0，  来刻画． 问题3 观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？ ，初始状态的电流为4.33 A． 50 解： A  5，T  1 s 由这些值可求得电流i随时间t的变化的解析式是 i  5sin(100πt  π )， t [0， ) 当t  0时，i  5 3 1 3 当t  时，i  5 1 150 当t  600 7 600 2 时，i  0 当t  时，i   5 60 当t  1 时，i  0 问题4 根据图象，你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t＝0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题 （1）、（2）吗？ 练习2：一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式． 答案：周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V． 电压和时间的函数解析式为U＝311sin100πt，t∈[0，+ ∞) ． 问题5 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？你能举出一些符合三角函数规律的实际 模型吗？在本节课中，你经历了怎样的学习过程，涉及哪些数学思想方法，还有哪些其它方面的收获？ 课堂小结 利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的 值重复出现”，并求出这两个变量之间满足的三角函数关系．物理中的简谐运动和交变电流都是理想当中的三角函数模 型．在本节课的学习中，我们经历了由一般到特殊，由抽象到具体学习过程，涉及到数形结合思想和数学建模思想． 课后作业 目标检测题 谢 谢 观 看! $$