第08讲 第二章 函数与基本初等函数（章节突破，19题新题型）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第08讲 第二章 函数与基本初等函数 （章节突破）（19题新题型） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年(每经过1500年，该元素的存品为原来的一半)，某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量为，据此推测该生物距今约为（   ） (参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 4．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东湛江·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·辽宁·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·吉林·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·山东日照·期末）定义域为R的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 13．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数在区间内是减函数，则的取值范围为 . 14．（高一上·北京·期中）设函数的定义域为D，如果对任意的，存在，使得（m为常数），则称函数在D上的算术平均数为m．请写出函数在区间上的算术平均数m＝ ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）（24-25高一·上海·课堂例题）（1）已知，化简：； （2）已知，，求的值． 16．（本题满分15分）（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 17．（本题满分15分）（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 18．（本题满分17分）（23-24高一下·广东·期末）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，并记作． (1)当时，求环境综合污染指数的值域； (2)求的解析式； (3)规定当时为综合污染指数超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数超标． 19．（本题满分17分）（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 第二章 函数与基本初等函数 （章节突破）（19题新题型） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 2．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义和幂函数在第一象限内的单调性即可求解. 【详解】由幂函数的定义可知，解得， 由幂函数在第一象限内单调递减，可得， 则， 所以. 故选：. 3．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年(每经过1500年，该元素的存品为原来的一半)，某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量为，据此推测该生物距今约为（   ） (参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得． 故选：C． 4．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数定义域为，又， 所以为奇函数， 又，，均在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 所以， 所以，解得或， 所以的解集为. 故选：B 5．（23-24高一上·广东湛江·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性即可得出答案． 【详解】依题意，，，， 所以． 故选：D 6．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数的周期性，结合函数的周期性与已知条件计算即可得解. 【详解】因为，故函数周期为， 所以 . 故选：C． 7．（23-24高二下·辽宁·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出函数的定义域，并判断出的奇偶性，利用的性质，得到时，，结合图象，可得选项C正确，选项A，B和D错误，从而求出结果. 【详解】易知函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，又当时，，所以， 得到，又，所以， 得到，又，所以， 由奇函数的性质知，当时，，结合各个选项的图象， 所以选项C正确，选项A，B和D错误， 故选：C. 8．（23-24高二下·吉林·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，根据题设，将问题转化成为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，再利用与互为反函数，再结合图象，即可求出结果. 【详解】由，得到，令，得到 所以为函数与交点的横坐标， 由，得到，所以为函数与交点的横坐标， 又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称， 又关于对称，由，得到，所以，得到， 故选：C. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于将问题转化成求函数与交点的横坐标及与交点的横坐标之和，再利用与互为反函数，即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 【答案】AC 【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案. 【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数； C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数. 故选：AC 10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 则直线与函数的图象个交点横坐标分别为， 对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确； 对于B：由图象可知，且， ∴，即，所以，故B正确； 对于C，当时，， 由图象可知，则，故C错误； 对于D，由图象可知， 所以，故D错误. 故选：AB. 11．（23-24高二下·山东日照·期末）定义域为R的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，通过赋值，结合不恒为0即可判断；对于B，通过赋值，结合，以及函数的定义域为R即可判断；对于C，通过赋值即可判断；对于D，说明函数的周期为4，并且结合函数的图象关于点中心对称，，以及为偶函数进行判断即可. 【详解】对于A，在中，令，有，解得或， 若，在中，令，有， 这就得到恒成立，这与已知不恒为0矛盾，所以不可能成立， 而在处有定义，故一定有，故A错误； 对于B，在中，令，有， 即有，且函数的定义域为R，所以为偶函数，故B正确； 对于C，在中，令，有， 即， 而取遍所有实数时，也取遍所有实数，所以恒成立，故C正确； 对于D，若，在中，令，有，这意味着函数的图象关于点中心对称， 所以，所以函数的周期为4， 而 ， ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得到函数的周期为4，且函数的图象关于点中心对称，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 13．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数在区间内是减函数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．（18-19高一上·北京·期中）设函数的定义域为D，如果对任意的，存在，使得（m为常数），则称函数在D上的算术平均数为m．请写出函数在区间上的算术平均数m＝ ． 【答案】 【分析】将原式子化简得到，再用赋值法得到，则，，两者取交集得到结果即可. 【详解】因为化简得到 令，则 令故只能是m=3. 故答案为3. 【点睛】这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）（24-25高一·上海·课堂例题）（1）已知，化简：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）2024 【分析】（1）先根据得，，进而即可化简得解. （2）先化简求解，再将其代入即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 所以 . （2）由题， ， 所以. 16．（本题满分15分）（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】由一元二次不等式以及对数不等式即可求解； （2）分离参数，结合对勾函数的性质求解最值即可得a的取值范围. 【详解】（1）因为定义域为，则 ， 设.则不等式可化为，即， 解得或，即或， 解得或. 所以不等式的解集为或 （2）因为， 所以， 设，则， 原问题化为：存在. 即在上有解. 因为在上单调递减，所以， 所以. 17．（本题满分15分）（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 18．（本题满分17分）（23-24高一下·广东·期末）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，并记作． (1)当时，求环境综合污染指数的值域； (2)求的解析式； (3)规定当时为综合污染指数超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数超标． 【答案】(1) (2) (3)当时，综合污染指数超标． 【分析】（1）当时直接代入，当时由基本不等式求解即可； （2）当时，结合（1）去掉绝对值化简解析式，利用单调性比较端点值的大小，分类讨论得出的最大值的表达式； （3）分和两种情况，分别解不等式，可得该市市中心的综合污染指数不超标时的范围． 【详解】（1）当时，， ①当时，； ②当时，， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以． 综上所述，． （2）当时，， 令，则， 所以， 于是，在时是单调递减函数，在时是单调递增函数， 所以， 因为，，解，得， 所以当时，； 当时，， 即． （3）由，得①无解，②，解得， 综上，． 所以当时，综合污染指数超标． 19．（本题满分17分）（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义以及函数新定义联立函数方程组即可得解. （2）由函数型定义结合对数指数运算法则建立函数方程，由函数方程恒成立的条件即可得解. （3）由函数型定义建立函数方程，由函数方程恒成立的条件结合根式和分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且， 联立解得函数的解析式. （2）由题意函数是“型函数”， 所以， 而， 所以恒成立，当且仅当，解得， 即满足题意的p和b的值分别为. （3）由题意函数是“型函数”， 所以， 而 ， 所以恒成立， 当且仅当恒成立， 当且仅当恒成立或恒成立（舍去）， 所以，解得， 即满足条件的k、a和b的一组值分别为. 【点睛】关键点睛：第（3）问的关键是得到恒成立之后，由可得恒成立或恒成立（舍去），由此即可顺利得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$