第07讲 第二章 函数与基本初等函数 新定义题-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第07讲 第二章 函数与基本初等函数 新定义题 目录 函数与基本初等函数新定义题（小题） 1 函数与基本初等函数新定义题（解答题） 3 函数与基本初等函数新定义题（小题） 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，例如，，，定义：若在上恒成立，则称为函数在上的“面积”.函数在上的“面积”之和与下面哪个数最接近（    ） （注①：“面积不重复计算”；②） A．7.3 B．7.7 C．8.7 D．9.3 2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的值域 C．，恒成立 D．方程有且只有一个实根 4．（多选）（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（   ） A．函数 不是周期函数； B．函数 的值域是 C．函数 的图象关于 对称： D．方程 只有一个实数根； 5．（多选）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 6．（多选）（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，假如存在实数，使得对任意的实数恒成立，称满足性质，则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则不满足性质 C．若满足性质，则 D．若满足性质，且时，，则当时， 7．（多选）（23-24高一上·重庆·期末）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 8．（23-24高一下·湖北·期末）设，，若，则称为离实数最近的整数，记作，即，如．另外，定义表示不超过的最大整数，如．令，，当时，如果存在（）满足，那么 ． 9．（23-24高一上·广西玉林·期末）若函数在其定义域内的给定区间上存在实数，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，则所有满足条件的实数对为 ． 函数与基本初等函数新定义题（解答题） 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是“无奇”函数，求实数的取值范围． 2．（23-24高二下·福建三明·期末）若对定义域内任意，都有，则称函数为“距”增函数. (1)已知，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)已知是“距”增函数，求的最小值； (3)已知是“2距”增函数，求的最小值. 3．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”． (1)求证；若为的“不动点”，则为的“稳定点”； (2)若，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，且，求实数的取值范围． 4．（23-24高二下·浙江舟山·期末）已知函数的定义域为D.若，对于，都，使得，则称函数与具有“和缘”，a叫做函数与的“和缘”值. (1)已知，，，，，，若0是函数与的“和缘”值，请写出所有符合题意的函数与的组合（不用说明理由）； (2)已知且，，，. （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若存在唯一实数a，使函数与具有“和缘”，求m的值. 5．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 6．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”． (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上是“和一函数”． ①求的值； ②求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 第二章 函数与基本初等函数 新定义题 目录 函数与基本初等函数新定义题（小题） 1 函数与基本初等函数新定义题（解答题） 11 函数与基本初等函数新定义题（小题） 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，例如，，，定义：若在上恒成立，则称为函数在上的“面积”.函数在上的“面积”之和与下面哪个数最接近（    ） （注①：“面积不重复计算”；②） A．7.3 B．7.7 C．8.7 D．9.3 【答案】C 【分析】 分段求出时的函数值，然后根据“面积”的定义得出S，根据对数的运算化简，结合已知数值，即可得出答案. 【详解】 因为，所以， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 根据“面积”的定义可知，函数在上的“面积”之和为： ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据范围求出，再 “面积”的定义得出S，结合对数运算可得结果. 2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，借助图象证得当时，，从而判断得；构造单位圆A，利用三角函数线证得，从而判断得，由此得解. 【详解】，， 令，两函数图象如图所示， 因为均单调递增，且， 结合图象可知当时，，即， 故，故； 如图，单位圆A中，于，设，， 则的长度，，， 则由图易得，，即， 所以，故； 综上，. 故选：B. 【点睛】方法点睛： （1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小； （2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度. 3．（23-24高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的值域 C．，恒成立 D．方程有且只有一个实根 【答案】C 【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数的值域，故B正确； 对于C，因为， 即，故C错误； 对于D，， 令，函数为增函数，且， 而函数在上为增函数， 所以函数是增函数， 令， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又， 所以函数有唯一零点，且在上， 即方程有且只有一个实根，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 4．（多选）（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（   ） A．函数 不是周期函数； B．函数 的值域是 C．函数 的图象关于 对称： D．方程 只有一个实数根； 【答案】ABD 【分析】利用偶函数性质，只需要研究部分，再利用数形结合，就可以对各选项判断. 【详解】函数 的定义域为 ， 因为 ，所以 为偶函数， 当 时，， 则 当时，， 当时，， 所以函数 的图象如图所示 由 可知，在 内，， 当 时，， 当 ，且 时，， 当或，时，， 因为 ，所以 为偶函数， 则函数 的图象如图所示： 由函数 的图象得到 不是周期函数，故选项 正确； 所以函数 的值域是 ，故选项 正确； 由 ， 所以函数 的图象不关于 对称，故选项 不正确； 对于方程 ，当 时，方程有一个实数根， 当 时，，此时 ，方程没有实数根， 当 时，，此时 ，方程没有实数根， 所以方程 只有一个实数根，故 正确. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：就是利用对函数的的图象研究，可得到的图象，然后通过数形结合来对各选项判断. 5．（多选）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【答案】BCD 【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，设，则，，则，所以，故C正确； 对于D，时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由， 可得时，成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解. 6．（多选）（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，假如存在实数，使得对任意的实数恒成立，称满足性质，则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则不满足性质 C．若满足性质，则 D．若满足性质，且时，，则当时， 【答案】ACD 【分析】利用定义直接计算可判定A，利用诱导公式可判定B，利用指数运算法则结合指数函数单调性可判定C，利用定义递推函数关系可判定D. 【详解】对于A，若满足性质，且，则恒成立， 所以，故A正确； 对于B，若，显然， 即，此时满足性质，故B错误； 对于C，若满足性质， 即， 易知，所以，故C正确； 对于D，若满足性质，且时，， 由题意 ， 则当时，，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题首先审清题意，然后根据定义结合三角函数、指数函数的性质以及函数的递推关系计算即可. 7．（多选）（23-24高一上·重庆·期末）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】由题意可知，即为满足的整数的个数，数形结合可判断A选项；当时，解不等式，可判断BC选项；数形结合可得出满足不等式的等价条件，求出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】根据题意，即为满足的整数的个数． 当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A错误； 当时，，数形结合（如图）， 由，可得，解得， 所以在内有个整数解，为、、，故B对和C错； 当时，作出函数和的图象，如图所示， 若，即的整数解只有一个， 只需满足，即，解得， 所以时，实数的取值范围是，故D正确； 故选：BD． 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数不等式解集中整数解的个数求参数，对于这类问题，一般考虑作出函数的图象，数形结合得出关于参数的不等式组求解. 8．（23-24高一下·湖北·期末）设，，若，则称为离实数最近的整数，记作，即，如．另外，定义表示不超过的最大整数，如．令，，当时，如果存在（）满足，那么 ． 【答案】2024 【分析】由函数与为偶函数，只需考虑的情形，然后设，，，分类讨论确定的值，再求和． 【详解】由题意与为偶函数，只需考虑的情形， 设， 时，由定义知，， 时，，，， 时，，，，， 所以（）， 由偶函数对称性可知，． 故答案为：2024. 【点睛】方法点睛：本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据新定义对的值进行分类讨论，从而确定函数值并判断是否有． 9．（23-24高一上·广西玉林·期末）若函数在其定义域内的给定区间上存在实数，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，则所有满足条件的实数对为 ． 【答案】 【分析】根据条件表示出，化简整理可得，结合k的范围可求出t的范围. 【详解】由题意的，则，且， 由题意可知， 即，所以， 因为，所以，则， 又因为，且，则， 则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 函数类新定义的题型，要紧紧围绕新定义的规则解题，由，代入函数解析化简，结合，且，求值即可. 函数与基本初等函数新定义题（解答题） 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是“无奇”函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)①不是，②是，理由见解析； (2) 【分析】（1）由，结合“无奇”函数的定义即可判断①；由恒成立，即可判断②； （2）若函数不是“无奇”函数，将其转化为方程有解，参变分离并换元后，可求得实数的取值范围，最后求其补集即得. 【详解】（1）对于函数①，因，符合，故不是“无奇”函数； 对于②，由 因，故恒成立，即是“无奇”函数. （2）假设不是“无奇”函数，则方程有解， 即，即有解. 令，则，当且仅当时取等号， 则，因，则，， 从而，，即需使，得， 因函数是“无奇”函数，故或. 即实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数新定义的应用，属于较难题. 解题思路主要有二，判断函数是否为“无奇”函数，只需要检测是否恒成立即可；要由函数为“无奇”函数求参问题，一般采用从对立面考虑，将问题转化成方程有解问题，通过参变分离法，又进一步变成求相应函数的值域问题. 2．（23-24高二下·福建三明·期末）若对定义域内任意，都有，则称函数为“距”增函数. (1)已知，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)已知是“距”增函数，求的最小值； (3)已知是“2距”增函数，求的最小值. 【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由，因为，所以，可得函数是“1距”增函数. （2）由恒成立，可得恒成立，则由，得或，又，所以. （3）由已知，讨论当时，时，恒成立的条件，得到，所以，讨论得当时，；当时，. 【详解】（1）函数是“1距”增函数. 理由如下： 因为，所以， 由 因为， 所以， 即恒成立，所以是“1距”增函数. （2）因为是“距”增函数， 所以恒成立， 所以 恒成立， 即恒成立， 由，解得或， 因为，所以. （3）由， 因为函数是“2距”增的数，所以当时，恒成立， 又因为为增函数，所以， 当时，，即恒成立， 所以，解得； 当时，，即恒成立， 所以，解得， 综上可得，， 所以， 令，则， ①当时，即时，当时， ②当时，即时，当时，， 综上可得，当时，；当时，. 【点睛】关键点点睛：（1）令，验证满足定义；（2）由恒成立，可得恒成立，则由，解出的范围，由，取的最小值；（3）因为为增函数，讨论恒成立的条件，求出的范围，再利用换元法，讨论出的最小值. 3．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”． (1)求证；若为的“不动点”，则为的“稳定点”； (2)若，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助“不动点”和“稳定点”的定义代入计算即可得； （2）分与进行讨论，当时结合一元二次方程的根的判别式与“不动点”和“稳定点”的定义可得要么没有实根，要么实根是方程的根，计算即可得. 【详解】（1）由为的“不动点”，则有， 则，即为的“稳定点”； （2）由题意可知，有实根，即有实根， 当时，有，即有是函数的“不动点”， 令，即，故是函数的“稳定点”， 故，符合要求， 当时，则，解得，即， 由（1）知，所以，即， 即有， ，要么没有实根，要么实根是方程的根， 若没有实根，则，解得； 若有实根且实根是方程的根， 则由方程，得，代入， 有．由此解得，再代入得，由此， 综上所述，的取值范围是． 4．（23-24高二下·浙江舟山·期末）已知函数的定义域为D.若，对于，都，使得，则称函数与具有“和缘”，a叫做函数与的“和缘”值. (1)已知，，，，，，若0是函数与的“和缘”值，请写出所有符合题意的函数与的组合（不用说明理由）； (2)已知且，，，. （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若存在唯一实数a，使函数与具有“和缘”，求m的值. 【答案】(1)，；； (2)（ⅰ）；（ⅱ）或 【分析】（1）根据已知可写出结论； （2）（ⅰ）分类去绝对值符号，可求值域； （ⅱ）法一：令，可得，，由存在唯一的实数a，对任意，都存在由题意可得，利用分类讨得出与的关系，利用唯一可求的值. 法二：由（ⅰ）可得的值域等于，换无得进而，据此计算可求的值. 【详解】（1）有两组符合，第一组：，；第二组：与； 由已知条件，由，， 可知对，，又0是函数与的“和缘”值， 故时，，由， 可知，具有“和缘”，； 可知对，，又0是函数与的“和缘”值， 故时，，由， 可知，具有“和缘”； （2）（ⅰ）设，， ∵在递减，递增， ∴，， 即在上的值域为 （ⅱ）法一：∵ 令，，，，， 则， 令， 依题意，即存在唯一的实数a，对任意，都存在满足， 即， 因为，则，故， 记的值域为H，则，， 的对称轴为， 当，则时，在上递增， 所以，，即， 所以，得， 由于a唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，在上递增， 所以，，， 所以则，得， 由于a唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，，，， 所以，得， 由于a唯一，所以，解得，符合题意： 当，即时， ，，， 所以，得， 由于a唯一，所以，解得（舍），满足题意； 综上，m的值为或 法二：依题意，即存在唯一的实数a，对任意，都存在满足 ，即，因为，则， 故的值域等于， 所以， 由法一有，，， 的对称轴， 当，则时，在上递增， 所以，， 所以，解得，不符合题意； 当，即时，在上递增， 所以，， 所以，解得，不符合题意 当，即时，，， 所以，解得，符合题意； 当，即时，，， 所以，解得，（舍去），满足题意； 综上，m的值为或 5．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 【答案】(1)与是“利普希兹条件函数”，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义推导的正负，即可判断； （2）首先证明对任意的，都有，再由周期性，即可证明对定义域内任意的，均有. 【详解】（1）由题知，函数的定义域为， 所以， 即， 所以函数是“利普希兹条件函数”； 函数的定义域为， 所以，， 所以， 所以函数是“利普希兹条件函数”； （2）若， 当，则； 若，设， 则 ， 所以对任意的，都有， 因为函数是周期为的周期函数， 所以对任意的，都存在，使得，， 所以， 综上可得对定义域内任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义. 6．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上“友好” (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断； （2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， ， 所以， 即，有， 所以当时，函数在上是 “友好”的. （2）依题意可得在上单调递减， 则，， 则有， 即， 即，可得，即， 令，因为，则且， 则， 令，， 令， 令任意的且， 则， 即，所以函数在上单调递减， 同理可得在上单调递增， 又，， 当或时，取最大值，此时， 于是当或时，取最大值， 依题意， 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以，此时， 综上可得的取值范围是. 7．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”． (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上是“和一函数”． ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】(1)不是“和一函数”；理由见解析 (2)①；②． 【分析】（1）举出反例即可； （2）①根据函数单调性得到，对任意，，存在，使成立，则，根据集合包含关系得到，则，②表达出，，由对勾函数单调性得到取值范围. 【详解】（1）在区间上的函数不是“和一函数”，理由如下： 在上是减函数， ， 当时，对任意，，不符合“和一函数”的定义， 故在区间上的函数不是“和一函数”； （2）①在上是增函数， ， ∴值域， 又在定义域上是“和一函数”， 对任意，，存在，使成立， 则， ，， 则，即， ，则， ②，即， ， ，解得， 则， 令，， 在上是减函数，在上是减函数， ∴在上是减函数，则， ， 故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 学科网（北京）股份有限公司 $$