第06讲 函数与方程(高考高频考点）(6大题型+1类方法）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第06讲 函数与方程 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查根判断函数零点区间 1 题型二：重点考查零点个数 2 题型三：重点考查零点中的参数问题 3 题型四：重点考查借助图象比较零点大小 4 题型五：重点考查借助图象求零点代数和 5 题型六：重点考查二分法 6 第二部分：方法篇 7 方法一：数形结合 7 第一部分：题型篇 题型一：重点考查根判断函数零点区间 典型例题 例题1．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数的零点在区间内，，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 例题3．（23-24高一上·安徽六安·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数的零点在区间内，则整数（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽安庆·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 题型二：重点考查零点个数 典型例题 例题1．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 例题2．（23-24高三·浙江台州·阶段练习）设函数，则函数的零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例题3．（23-24高一下·青海西宁·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 . 精练高频考点 1．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（多选）（23-24高二下·浙江·期末）已知函数，则关于的方程根的个数可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 题型三：重点考查零点中的参数问题 典型例题 例题1．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 例题2．（23-24高一上·江苏·期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是 . 例题3．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是 . 精练高频考点 1．（23-24高一上·湖南长沙·假期作业）方程有解，则的取值范围是 . 2．（23-24高一上·四川眉山·开学考试）二次函数只有一个零点，则不等式的解集为 . 3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的最小值为 . 题型四：重点考查借助图象比较零点大小 典型例题 例题1．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2024·海南·模拟预测）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型五：重点考查借助图象求零点代数和 典型例题 例题1．（2024高一·全国）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 例题2．（2024·陕西西安·一模）已知函数，若存在实数满足，则错误的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 . 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若函数在内只有一个零点，则的零点之和为 ． 3．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 题型六：重点考查二分法 典型例题 例题1．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ． 精练高频考点 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 2．（多选）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 第二部分：方法篇 方法一：数形结合 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数有一个零点，则实数b的取值集合是 例题2．（24-25高一·上海·随堂练习）若函数，的图像与直线有且只有两个不同的交点，则实数k的取值范围为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 2．（23-24高一下·四川成都·期末）若时，曲线与的交点个数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数与方程 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查根判断函数零点区间 1 题型二：重点考查零点个数 3 题型三：重点考查零点中的参数问题 7 题型四：重点考查借助图象比较零点大小 12 题型五：重点考查借助图象求零点代数和 16 题型六：重点考查二分法 21 第二部分：方法篇 24 方法一：数形结合 24 第一部分：题型篇 题型一：重点考查根判断函数零点区间 典型例题 例题1．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【详解】由函数可知单调递增， 因为，， ，， 所以零点所在区间是， 故选：B 例题2．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数的零点在区间内，，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得在上单调递增，且，即可得到结果. 【详解】因为函数定义域为，且在上单调递增， 且，，即， 由零点存在定理可得，的零点区间为，所以. 故选：B 例题3．（23-24高一上·安徽六安·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择. 【详解】在上都是单调增函数，故在上是单调增函数； 又，， ，； 故的零点所在区间为. 故选：C. 精练高频考点 1．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数的零点在区间内，则整数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【详解】易知函数为增函数，且， 观察可知，，则的零点在区间内， 故. 故选：B 3．（23-24高一上·安徽安庆·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理进行求解即可. 【详解】由条件知函数在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理知该函数的零点所在区间为， 故选：B 题型二：重点考查零点个数 典型例题 例题1．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】将函数零点转化为函数与图象交点个数问题，分别对和进行讨论可得结论. 【详解】令，可得 当时，则有， 数形结合画出与在上的图象如下图所示： 可得在内两图象有三个交点； 当时，在内解得，不是方程的解，不合题意. 故选：C 例题2．（23-24高三·浙江台州·阶段练习）设函数，则函数的零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分别画出和的图象，利用数形结合即可求出零点个数. 【详解】由，可得 令可得，即， 在坐标系中分别作出函数和的图象，如图： 因为，，，所以在上两函数的图象有两个交点； 同理，，所以在上两函数的图象有两个交点； ，所以在上两函数的图象没有交点； 当时，恒有，所以两函数的图象无交点， 所以由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个， 故选：C 例题3．（23-24高一下·青海西宁·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 . 【答案】5 【分析】先由和函数奇偶性求得函数的周期，进而结合和作出函数在区间上的图象，再由周期性作出在上的函数，同时作出函数的图像，根据零点定义可将题目问题转化成两个函数和图像交点个数问题，则求出两函数图像交点个数即可得解. 【详解】因为， 所以，可得函数是周期为4的奇函数， 因为，可得的图象关于直线对称， 当时，，又易知，所以时，， 由对称性可先画出函数在区间上的图象， 根据函数为奇函数且周期为4，可以画出函数在上的图象， 由，得， 分别画出函数和的图象，如图，    由，又，，而， 可以得到函数和的图象有5个交点，所以函数零点的个数为5. 故答案为：5. 精练高频考点 1．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 2．（多选）（23-24高二下·浙江·期末）已知函数，则关于的方程根的个数可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：ABD． 3．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 【答案】5 【分析】将零点问题转化为函数交点问题，作出函数图像，求出交点个数即可. 【详解】方程的实数解的个数， 即为函数与图象交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数共有5个交点， 所以方程的实数解的个数为5. 故答案为：5. 题型三：重点考查零点中的参数问题 典型例题 例题1．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数在区间和上零点个数，然后根据在区间上有1个零点，函数在区间上有2个零点或根据在区间上有2个零点，函数在区间上有1个零点，即可得出结果. 【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根； 当时，令，得，该方程至多两个根， 因为函数恰有3个不同的零点， 所以函数在区间和上均有零点， 若函数在区间上有两个零点， 即直线与函数在区间上有两个交点， 当时，； 当时，，此时函数的值域为， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则或， 解得或， 若函数在区间上也有两个零点， 令，解得，， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则且， 解得； 所以当函数在区间上有1个零点，在区间上有两个零点时，需满足，解得， 当函数在区间上有2个零点，在区间上有1个零点时, 需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，其中分段函数中一段可以有2个交点也可有1个交点，据此结合总共有3个交点求解，考查分类讨论思想，是难题. 例题2．（23-24高一上·江苏·期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性，再由确定范围，即可确定实数的取值范围. 【详解】已知，， 函数的零点为， 函数的零点为， 则， 即， 即， 因为， 又因为，这两函数均单调递增函数， 当时，，解得. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是 . 【答案】或 【分析】将零点问题转化为方程的两个根，然后转化为函数图像的交点问题，结合图像即可得到结果. 【详解】 令，即有两个根， 即与有两个交点， 分别画出与的图像如图所示， 由图可知，直线与始终有一个交点， 当时，直线与相切时， 即， 由可得，； 当时，要使得与有一个交点，则，即 综上可得，或 故答案为：或 精练高频考点 1．（23-24高一上·湖南长沙·假期作业）方程有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，令，得，利用基本不等式即可求解. 【详解】方程有解等价于方程有解. 令，则. 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故时，方程有解. 故答案为：. 2．（23-24高一上·四川眉山·开学考试）二次函数只有一个零点，则不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】先根据函数只有一个零点求得，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为二次函数只有一个零点，所以， 解得或（舍去），所以不等式即， 解得或，所以不等式的解集为或. 故答案为：或 3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可. 【详解】设为在上的一个零点，则， 所以在直线上， 又为坐标原点， 易知. 令，则， 所以在上单调递增，所以. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键. 题型四：重点考查借助图象比较零点大小 典型例题 例题1．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 例题2．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 例题3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解. 【详解】由题意， 所以令， 所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系， 而均过点， 则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示： 则. 故选：A. 精练高频考点 1．（2024·海南·模拟预测）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合法，根据题意结合图象交点分析判断. 【详解】因为，即， 由题意可知：为与的交点横坐标； 为与的交点横坐标； 为与的交点横坐标； 在同一平面直角坐标系中作出的图象，    由图可得：. 故选：D. 2．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 3．（23-24高三上·广东·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，构造函数，利用导数求出函数的最值，作出函数的图象，结合图象即可得解. 【详解】由， 可得，所以，故， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 如图，作出函数的图象， 由图可知，可知. 故选：A. 题型五：重点考查借助图象求零点代数和 典型例题 例题1．（2024高一·全国）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，数形结合即可解答. 【详解】因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，图象关于直线对称； 函数在区间上单调递增， 画出函数的图象： 设， 则， 故选：C. 例题2．（2024·陕西西安·一模）已知函数，若存在实数满足，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误. 【详解】， 故的图象如图所示， 考虑直线与图象的交点， 则，且，，故BD正确. 由可得即， 整理得到，故C正确. 又， 由可得，但，故， 故，故A错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 例题3．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 . 【答案】 / 【分析】令，得到或，结合的图象求解计算即可. 【详解】令， 解得或. 作出的图象如图. 要使有3个不同的零点， 则的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当即时，的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合条件. 易得，所以，即， 不妨设，由，得， 由，得， 所以. 故答案为： 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可. 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 故选：CD 【点睛】关键点睛：求函数零点和的取值范围问题，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解. 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若函数在内只有一个零点，则的零点之和为 ． 【答案】 【分析】运用参变分离，转化为函数交点，借助导数和条件内只有一个零点，求出a,再根据零点概念求解零点，再求和. 【详解】，即在内有一个根． 即，与在内有一个交点. , 解得，单调递减；单调递增. 因此.当时，；当时，， 的图象与在内有一个交点.则，则. , 即， 令，解得，则的零点之和为 故答案为：. 3．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 【答案】 【分析】画出的大致图象，根据对称性以及对数运算等知识求得正确答案. 【详解】画出的大致图象如下图所示， 当时，，对称轴为， 所以. 当时，， 由，得， ， . 故答案为：    【点睛】对于二次函数，它的对称轴为直线，在求解对称问题的过程中尤为重要.对于含有绝对值的对数函数，要注意绝对值的位置，如与的图象有很大的区别. 题型六：重点考查二分法 典型例题 例题1．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又， 由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算， 又，所以零点在区间. 故选：B. 例题3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解. 【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点， 又由，则， 第一次用二分法，由， 因为，可得，即，可得，所以， 所以确定函数的零点所在区间为； 第二次用二分法，由， 因为，可得，即 所以，所以确定函数的零点所在区间为， 所以第二次求得的区间的中点值为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】借助二分法定义计算即可得. 【详解】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为. 故选：B. 2．（多选）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二分法的定义得到答案. 【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. 3．（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【答案】8 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 若，即，故最少为8次. 故答案为：8. 第二部分：方法篇 方法一：数形结合 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数有一个零点，则实数b的取值集合是 【答案】 【分析】的零点问题可转化为与的交点个数问题，画出相应图形即可得解. 【详解】函数有一个零点，即与的图象有1个交点， 作出与的大致图象如图所示： 由图可知实数b的取值集合是. 故答案为：. 例题2．（24-25高一·上海·随堂练习）若函数，的图像与直线有且只有两个不同的交点，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先去掉绝对值，分段画出图像，转化为两个图像交点问题即可 【详解】去函数绝对值，得， 由于，的图像与直线有且只有两个不同的交点， 如图所示． ∴． 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出在上的图像，由有两个零点，得与在上有两个交点，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围． 【详解】令得． 作出在上的图像， 如图所示． 要使函数在上有两个零点， 需满足，所以． 故答案为：． 2．（23-24高一下·四川成都·期末）若时，曲线与的交点个数为 ． 【答案】8 【分析】作出函数与的图象，即可得出答案． 【详解】作出函数与的图象： 所以曲线与的交点有8个． 故答案为：8． 学科网（北京）股份有限公司 $$