第03讲 指数与指数函数 (高考高频考点）(8大题型+2类方法）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第03讲 指数与指数函数 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查指数和指数幂的运算 1 题型二：重点考查指数函数的定义 3 题型三：重点考查指数函数的图象过定点 4 题型四：重点考查指数函数的定义域 5 题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 5 题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 7 题型七：重点考查指数函数的综合性问题 8 题型八：重点考查指数函数模型的应用 10 第二部分：方法篇 12 方法一：可化为一元二次函数型 12 方法二：分类讨论 14 第一部分：题型篇 题型一：重点考查指数和指数幂的运算 典型例题 例题1．（2024高三下·全国·专题练习）化简计算：； 例题2．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）回答下面两题： (1)计算： (2)计算：已知，则 = 精练高频考点 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（1）； （2）已知，，求的值. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）（1）已知，求的值 （2）求值： 题型二：重点考查指数函数的定义 典型例题 例题1．（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是指数函数吗？ ①；②；③；④. 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 例题3．（23-24高一上·江西新余·期中）已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）设，若函数是指数函数，且，则的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数是指数函数，则 3．（23-24高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数是指数函数， (1)求的表达式； (2)解不等式：. 题型三：重点考查指数函数的图象过定点 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A． B．9 C． D．8 例题2．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 例题3．（23-24高一上·河南·期末）若函数，（，且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 . 精练高频考点 1．（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 2．（23-24高一上·宁夏银川·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·广东东莞·期中）函数（且）图象过定点，且满足方程，则最小值为 ． 题型四：重点考查指数函数的定义域 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围. 精练高频考点 1．（2024高一上·山东滨州）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）函数的定义域为 . 题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 典型例题 例题1．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 例题3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）求函数的值域和单调区间 例题4．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 精练高频考点 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的值域是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 3．（23-24高一上·河南开封·阶段练习）已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为 ． 4．（23-24高一上·广东东莞·期中）函数的值域为 . 题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题2．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在R上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数在上单调递增，则实数的值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 题型七：重点考查指数函数的综合性问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 例题2．（2024高一·全国·）已知函数，当时，. (1)求的值； (2)已知，求的解析式. 例题3．（23-24高一上·广东·期末）已知函数（且），且． (1)求的解析式： (2)若函数在上的最小值为0，求m的值． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (1)当时，证明：为奇函数； (2)当时，函数在上的值域为求a的取值范围. 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 题型八：重点考查指数函数模型的应用 典型例题 例题1．（23-24高三上·安徽池州·期末）某种化学物质的衰变满足指数函数模型，每周该化学物质衰减，则经过周后，该化学物质的存量低于该化学物质的，则的最小值为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 例题3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ (3)为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，） 精练高频考点 1．（23-24高一下·江苏·开学考试）牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，为常数，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在．经测量室温为，茶水降至大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（    ）分钟． （参考数据：，，，．） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·黑龙江·期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约（    ）（参考数据：，） A．9560年 B．9550年 C．8370年 D．8230年 3．（23-24高一·全国·单元测试）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 第二部分：方法篇 方法一：可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（2024高一·全国）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 例题2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 例题3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时x的取值； (2)若，求函数的最小值． 精练高频考点 1．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 方法二：分类讨论 典型例题 例题1．（23-24高一上·辽宁·期末）已知且是偶函数. (1)求的值. (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 例题2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 精练高频考点 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 指数与指数函数 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查指数和指数幂的运算 1 题型二：重点考查指数函数的定义 3 题型三：重点考查指数函数的图象过定点 5 题型四：重点考查指数函数的定义域 8 题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 9 题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 12 题型七：重点考查指数函数的综合性问题 15 题型八：重点考查指数函数模型的应用 21 第二部分：方法篇 25 方法一：可化为一元二次函数型 25 方法二：分类讨论 29 第一部分：题型篇 题型一：重点考查指数和指数幂的运算 典型例题 例题1．（2024高三下·全国·专题练习）化简计算：； 【答案】 【分析】根据指数幂的性质公式计算即可． 【详解】解：原式＝ 故答案为：． 例题2．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）回答下面两题： (1)计算： (2)计算：已知，则 = 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式指数幂的运算公式，化简求值； （2）首先求，即可化简求值. 【详解】（1）原式； （2）， 所以. 精练高频考点 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（1）； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据分数指数幂的运算进行化简即可； (2)根据完全平方分别求出分子、分母即可求解. 【详解】（1）原式 （2）因为，， 所以，， 所以. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）（1）已知，求的值 （2）求值： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据题意结合指数运算性质分析求解. 【详解】（1）由题意可得：； （2）由题意可得：原式. 题型二：重点考查指数函数的定义 典型例题 例题1．（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是指数函数吗？ ①；②；③；④. 【答案】答案见解析． 【分析】利用指数函数的定义判断. 【详解】因为形如（且）的函数为指数函数， 所以它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数． 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·江西新余·期中）已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即可； （2）根据指数函数的单调性求解集. 【详解】（1）指数函数经过点，则且，得， 故，则. （2）因为，即， 又函数在R上是增函数，有，解得， 所以x取值范围为. 精练高频考点 1．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）设，若函数是指数函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用指数函数单调性解题. 【详解】函数是指数函数, ,则单调递增． 故，解得. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数是指数函数，则 【答案】3 【分析】根据指数函数的定义得到方程和不等式，求出答案. 【详解】由指数函数定义知，解得． 故答案为：3 3．（23-24高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数是指数函数， (1)求的表达式； (2)解不等式：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的定义求解即可； （2）利用指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）函数是指数函数， 解得或2， . （2），即, 在R上为增函数， . 故解集为：. 题型三：重点考查指数函数的图象过定点 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】先利用指数函数的性质求得定点，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】对于函数，令，得，， 所以函数的图象恒过定点， 又定点的坐标满足方程，所以，即， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为. 故选：B. 例题2．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【详解】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 例题3．（23-24高一上·河南·期末）若函数，（，且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 . 【答案】1 【分析】由可得，点.根据幂函数的定义，得出，.代入A点坐标，整理即可得出，求解即可得出答案. 【详解】由可得，，， 所以函数过定点. 因为函数为幂函数， 所以，解得，. 又点A在函数上，所以，. 因为，所以. 故答案为：1. 精练高频考点 1．（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一上·宁夏银川·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质可得定点的坐标，从而可得，再利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】函数（且）的图象恒过定点A，则， 又点A在一次函数的图象上，所以，故， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·广东东莞·期中）函数（且）图象过定点，且满足方程，则最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出定点，代入方程得到的等式，再根据基本不等式可求得答案. 【详解】由，（且），令，得，所以定点的坐标为， 代入方程得，即，， ，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型四：重点考查指数函数的定义域 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 例题2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围. 【答案】. 【分析】将问题转化为不等式在区间上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上有意义， 所以，不等式在区间上恒成立， ∵，∴，∴. 记， ∵与是上的减函数， ∴函数在上的单调递增. ∴时，恒成立. ∴，即的取值范围是. 精练高频考点 1．（2024高一上·山东滨州）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数有意义，得出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则满足， 解得，即函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及指数函数与对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 典型例题 例题1．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质，求得，即可得到的值域. 【详解】由指数函数的性质，可得，所以，即的值域是. 故选：A． 例题2．（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 例题3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）求函数的值域和单调区间 【答案】答案见解析 【分析】利用换元法，结合指数函数、二次函数与复合函数的单调性即可得解. 【详解】令，则在上单调递增，且恒成立， 则， 对于，其开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，则的值域为， 又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 例题4．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法结合单调性求二次函数的值域； （2）利用换元法结合二次函数的性质与指数函数性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，函数的定义域为, 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又因为，， 所以. 所以的值域为. （2），令， 则， 在上单调递减，所以， 所以， 所以的值域为. 精练高频考点 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域. 【详解】函数单调递减，所以函数的最大值为， 最小值为，所以函数的值域为. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据结合指数函数性质分析求解即可. 【详解】因为，且在单调递减， 则，且， 所以的值域为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河南开封·阶段练习）已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据可得，再根据指数函数的值域分析的值域即可. 【详解】由题意，解得， 故，经检验，符合题意， 又，故，，故. 故答案为： 4．（23-24高一上·广东东莞·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，因为指数函数在R上单调递增， 所以有，而， 因此函数的值域为. 故答案为： 题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的大小关系可以直接根据分段函数的单调性求解，亦可画出分段函数的图像，利用数形结合求解. 【详解】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当时，单调递减； 而当时，（为常数）， 故分以下两种情况：或， 解得或， 综上可得. （数形结合法）作出的图像，如图： 结合图像可知或， 解得或， 综上可得. 故选：D 例题2．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在R上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】因为指数函数在R上是严格增函数， 所以，即，解得或， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，判断每段的单调性，继而列出满足题意的不等式，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知时，，在上单调递增，最小值为， 时，，单调递减，在上无最小值． 则由已知需满足，即， 设，易知该函数为R上的增函数，且，从而． 故选：A． 2．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数在上单调递增，则实数的值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】根据复合函数单调性法则知在上单调递增，利用绝对值函数单调性列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，且在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则知，在上单调递增，所以，所以， 则实数的取值范围为，故实数的值可以是8. 故答案为：8（答案不唯一） 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数是增函数，转化为每段函数在对应区间单调递增，且在分界点处满足单调函数的定义，列式求解. 【详解】在上是严格增函数， ,解得． 故答案为： 题型七：重点考查指数函数的综合性问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 例题2．（2024高一·全国·）已知函数，当时，. (1)求的值； (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据，且代入求解即可 （2）利用，且，利用倒序相加法求解即可 【详解】（1）， 即 ， ， ，当且仅当，即取等号， 又，. （2）由， 得 ， 又当时， 所以两式相加可得 ， 所以 例题3．（23-24高一上·广东·期末）已知函数（且），且． (1)求的解析式： (2)若函数在上的最小值为0，求m的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）代入条件，即可求解； （2）首先根据（1）的结果，换元，利用二次函数的单调性，求最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得或， 所以． （2）． 令 ，设， 则 因为，所以,, 则 ，所以在单调递增，                  所以， 因为函数在上单调递增，所以．         因为在上的最小值为0，所以，解得． 综上，m的值为6． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解； （2）根据（1）的结果，解指数不等式； （3）首先判断函数的单调性，再根据函数是奇函数，化简不等式，再根据单调性转化为，再讨论得到取值，求解的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以， ， 则，则； （2），即， 整理得，则， 所以． （3），所以在上是严格减函数． 由可得：，所以， 当时，，，所以，又，所以； 由可知：当时，，所以；当时，，所以； 当时，，则，而，，则满足题意， 函数的定义域，则时不符，舍去． 综上． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (1)当时，证明：为奇函数； (2)当时，函数在上的值域为求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据奇函数的定义证明即可； （2）对函数化简变形后得在上递增，则由题意可得是方程的两个根，令，则转化为有两个不同的正根，然后结合别判式和根与系数的关系列不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 由，得函数的定义域为， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）当时，， 因为在上递增，所以在上递减， 因为，所以在上递增， 因为函数在上的值域为 所以，， 所以是方程的两个根， 令，则， 即有两个不同的正根， 所以，即， 解得 即a的取值范围为. 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）当时，将不等式转化为，并用指数函数的单调性求解； （2）先使用换元法，将函数转化为，并分3类讨论函数的最小值即可. 【详解】（1）当时，不等式即为， 所以， 则有，则， 故不等式的解集为． （2）令，，则， 开口向上，对称轴方程为， ①当，即时，，则，不符合题意； ②当，即时，，则； ③当，即时，，则，不满足条件． 综上所述，的值为． 题型八：重点考查指数函数模型的应用 典型例题 例题1．（23-24高三上·安徽池州·期末）某种化学物质的衰变满足指数函数模型，每周该化学物质衰减，则经过周后，该化学物质的存量低于该化学物质的，则的最小值为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该化学物质最初的质量为，经过周后，该化学物质的存量为，根据题意可得出，结合指数函数的单调性、换底公式可求得的最小值. 【详解】设该化学物质最初的质量为，经过周后，该化学物质的存量为， 由题意可得，即，可得， 所以，， 故正整数的最小值为. 故选：C. 例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 例题3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ (3)为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，） 【答案】(1)； (2)5年； (3)17年. 【分析】（1）设森林面积的年增长率为，则，解出，即可求解； （2）设该地已经植树造林年，则，解出的值，即可求解； （3）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，再结合对数函数的公式，即可求解. 【详解】（1）解：设森林面积的年增长率为，则，解得． （2）解：设该地已经植树造林年，则， ，解得， 故该地已经植树造林5年． （3）解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年， 则，， ， ，即取17， 故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林17年． 精练高频考点 1．（23-24高一下·江苏·开学考试）牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，为常数，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在．经测量室温为，茶水降至大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（    ）分钟． （参考数据：，，，．） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果． 【详解】根据题意可知， 环境温度，初始温度， 经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足， 因为茶水降至大约用时一分钟，即，， 所以，解得，则， 所以要使得该茶降至，即，则有， 得， 故． 所以大约需要等待分钟． 故选：A． 2．（23-24高一上·黑龙江·期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约（    ）（参考数据：，） A．9560年 B．9550年 C．8370年 D．8230年 【答案】B 【分析】由题意得，再结合指对互化的知识以及对数的运算性质可得答案. 【详解】由题意，，即，所以， 所以. 故选：B. 3．（23-24高一·全国·单元测试）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】（1）；（2）5；（3）15． 【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解； （2）由求解可得； （3）由求解可得． 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则， ，，； （3）设今后最多还能砍伐年， 则， ，，． 答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得． 第二部分：方法篇 方法一：可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（2024高一·全国）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 例题2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解； （2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为上的偶函数，则， 即， 即，即恒成立， 所以. （2）解：由（1）知， 可得， 令，因为函数在都是增函数， 所以函数在上为递增函数，则， 所以， 因为函数的对称轴为，所以函数在递增， 所以，当时，， 要使得，都有成立，则，即实数的取值范围. 例题3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时x的取值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1)最小值为1，此时； (2)答案见解析； 【分析】（1）将代入解析式可得，利用换元法根据二次函数性质即可求得函数的最小值为1，此时； （2）对参数进行分类讨论，利用二次函数性质即可得出最小值. 【详解】（1）若，则， 令，则， 由二次函数性质可知，当时，， 即时，函数的最小值为1，此时； （2）若，则， 所以， 当时，可知在上单调递增，此时函数的最小值为； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增，此时函数的最小值为； 综上可知，当时函数的最小值为；当时，函数的最小值为； 精练高频考点 1．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【答案】或 【分析】 设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可. 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可； （2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得． 【详解】（1）设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. （2）由（1）知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 综上，. 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，最大值为8 (2)6 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 方法二：分类讨论 典型例题 例题1．（23-24高一上·辽宁·期末）已知且是偶函数. (1)求的值. (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0 (2)或. 【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由指数函数的单调性，分与讨论，即可得到结果. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得且. 当时，在上单调递增，，解得 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 例题2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 【答案】(1)；在R上单调递增； (2) 【分析】（1）将代入即可求解，则解析式和单调性可求； （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，， 由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数； （2），令，因为，则， 令，， 关于对称， 当时，函数在上单调递增，此时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 当时，函数在上单调递减，此时，， 综上：. 精练高频考点 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）当时，将不等式转化为，并用指数函数的单调性求解； （2）先使用换元法，将函数转化为，并分3类讨论函数的最小值即可. 【详解】（1）当时，不等式即为， 所以， 则有，则， 故不等式的解集为． （2）令，，则， 开口向上，对称轴方程为， ①当，即时，，则，不符合题意； ②当，即时，，则； ③当，即时，，则，不满足条件． 综上所述，的值为． 2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）利用的图象过坐标原点得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用指数函数的单调性，分类讨论的取值范围，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 学科网（北京）股份有限公司 $$