第01讲 函数的概念及其表示(高考高频考点）(8大题型+4类方法+1类易错）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第01讲 函数的概念及其表示 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 1 题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 3 题型三：重点考查求函数的解析式 4 题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 7 题型五：重点考查分段函数单调性问题 10 题型六：重点考查分段函数不等式问题 12 题型七：重点考查分段函数值域问题 15 题型八：重点考查分段函数零点问题 19 第二部分：方法篇 23 函数值域问题方法一：判别式法 23 函数值域问题方法二：分离常数法 25 函数值域问题方法三：基本不等式法 27 函数值域问题方法四：分类讨论法 30 第三部分：易错篇 34 易错一：换元必换范围 34 第一部分：题型篇 题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 例题2．（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数得到不等式，解得即可. 【详解】函数，令， 等价于，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 精练高频考点 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数特征得到不等式，求出且，得到定义域. 【详解】由题意得且，解得且， 故的定义域为. 故选：B 2．（23-24高二下·北京通州·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】根据给定的函数的定义域为，可得对一切实数恒成立，再分类讨论即可. 【详解】由题意可知，函数的定义域为, 则对一切实数恒成立. 当时，对成立； 当时，， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：ABC. 例题2．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案. 【详解】由题可知，且，即，所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4. 故选：C. 精练高频考点 1．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上所述：实数m的取值范围是. 故选：B. 2．（19-20高一上·广东阳江·阶段练习）如果的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可知，对任意的，，当时，直接验证即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：由题意可知，对任意的，， 当时，则有，解得，不合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型三：重点考查求函数的解析式 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可得答案. 【详解】令，则， 所以， 即. 故选：B. 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 【答案】（1）或；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）（3）利用换元法即可求解. （4）利用方程组法即可得到答案； 【详解】（1）设． ∵， ，解得或， ∴或． （2）令则． ∵， ∴． （3）令，，则，即． ∵， ∴， ∴． （4）∵，① ∴．② 得， ∴． 例题3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）已知为二次函数，且，，求函数解析式； 【答案】 【分析】由题意，设二次函数，利用待定系数法求解即可. 【详解】由题意知，设二次函数解析式为， 由，得， 由，得， 即，所以，解得， 所以函数的解析式为. 精练高频考点 1．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）若，，则等于（    ） A．1 B．2 C．15 D．30 【答案】C 【分析】方法一：采用换元法先求解出的解析式，然后可求的值； 方法二：令求得的值，再将其代入的表达式可求结果. 【详解】方法一：因为，令， 所以，所以， 所以， 方法二：因为，令，所以， 所以， 故选：C. 2．（23-24高一上·山东威海·阶段练习）已知，则的解析式为 . 【答案】 【分析】应用换元法求函数解析式. 【详解】令，则，所以， 故. 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）已知满足，求的解析式. 【答案】 【分析】列方程组法求函数的解析式. 【详解】对于任意的x都有， 所以将x替换为，得， 联立方程组：，消去，可得. 题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 典型例题 例题1．（2024·山西·三模）已知是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据奇函数定义可知，结合分段函数解析式运算求解. 【详解】因为是奇函数，则， 且， 所以. 故选：B. 例题2．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解. 【详解】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 例题3．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的特征可计算； （2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值. 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 精练高频考点 1．（2024·四川自贡·三模）函数，则 . 【答案】2 【分析】分和两种情况列方程求解即可. 【详解】，若， 则或，即或，解得. 故答案为：2. 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求，再求即可. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为： 3．（2024高二上·广东梅州）已知函数，设，则 . 【答案】 【分析】利用指数幂运算求得的值，进而利用对数运算求得结果. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：. 题型五：重点考查分段函数单调性问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在R上单调递增， 所以有，解得，即实数的取值范围是． 故选：C． 例题2．（23-24高三·全国·对口高考）对于函数①；②；③在上是减函数的所有函数的序号是 . 【答案】② 【分析】写出①分段函数形式判断单调性即可；由二次函数性质判断②的区间单调性；利用导数研究③函数的单调性. 【详解】①，显然在上不单调； ②的对称轴为，开口向上，故上是减函数； ③，存在，即上不是减函数； 故答案为：② 例题3．（23-24高一上·黑龙江·期中）已知函数是定义域上的减函数，求实数a的取值范围 【答案】 【分析】根据减函数定义可直接构造方程组求得结果. 【详解】是定义域上的减函数，， 即，解得：，实数的取值范围为. 故所求的答案为：. 精练高频考点 1（多选）．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由二次函数、反比例函数的性质及分段函数的单调性即可求解. 【详解】由题意，二次函数的图象开口向下，对称轴为， 因为函数是R上的增函数， 所以，解得． 所以实数a的取值可以是，. 故选：BC. 2．（多选）（23-24高一上·贵州铜仁·期中）若函数在R上单调递增，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件结合分段函数在R上单调递增的性质列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【详解】因为函数在R上单调递增， 所以，解得. 故选：BC. 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）若函数 (，且)在R上单调递减，则a的取值范围 . 【答案】 【分析】分段函数单调递减，则要函数在每一段上单调递减，且分段处，左边函数的函数值大于等于右边函数的函数值，得到不等式组，求出答案. 【详解】由题意得：，且当时，， 故，且， 解得：，故的取值范围是. 故答案为： 题型六：重点考查分段函数不等式问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式. 【详解】由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示，    若，则，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：A 例题2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照分段函数解析式，分和两种情况分别代入解析式解不等式即可得解. 【详解】当时，， 所以； 当时，， 解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·天津河西·期中）已知函数，则 ；不等式的解集是 . 【答案】 15 【分析】根据函数的解析式求得的值，即可求得；判断的单调性，从而将转化为，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得，所以， 当时，在上单调递增，且； 当时，在上单调递增，且， 故在R上单调递增， 故由可得，即， 解得，即的解集是， 故答案为：15， 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，分类列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 当时，令，即，可得，解得，所以解集为； 当时，令，即，可得，所以解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 2．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出的图象，数形结合得到，求出x的取值范围. 【详解】画出的图象，数形结合可得解得． 故答案为：    3．（23-24高一上·浙江·期末）设函数则满足的x取值范围为 ． 【答案】. 【分析】解分段函数不等式，分类讨论，，时求解即可. 【详解】当时，，，则，矛盾； 当时，，，则，矛盾； 当时，，，则，所以. 综述：x取值范围为． 故答案为：. 题型七：重点考查分段函数值域问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南玉溪·期末）用函数表示函数和中的较大者，记为：.若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先得到和为偶函数，再得到在上单调递增，并得到，得到的解析式，画出其函数图象，求出最小值. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数，且在R上单调递增， 同理可得为偶函数， 当时，单调递减， 故在上单调递增， 且时，， 故， 画出函数图象如下： 故函数的最小值为. 故选：C. 例题2．（23-24高一下·北京·期中）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解. 【详解】当，在区间上单调递增，所以此时； 当，在区间上不单调，但是此时， 若函数存在最大值，则，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数. (1)求函数的零点； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给的函数解析式，结合零点的定义分情况运算求解； （2）分情况求得函数在相应区间上的值域，取并集得结果. 【详解】（1）当时，令，可得； 当时，可得，不合题意； 当时，令，可得或（舍去）； 综上可得，函数的零点为． （2）当时，，可得，即； 当时，； 当时，，可得，即； 综上可得，当时，求函数的值域为． 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】运用指数函数的单调性，求得的的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，可得的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围． 【详解】函数函数， 当时，的范围是； 时，，， 由题意存在最小值，， 故选：CD． 2．（23-24高二下·北京延庆·期末）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域. 【详解】若，则，可知在内单调递减， 当时，；当时，； 所以； 若，则， 对于，可知在内单调递增， 当时，；当时，； 所以当时，； 综上所述：函数的值域为. 故答案为：. 3．（2024·山东聊城·一模）若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 借助分段函数的性质，求出时值域，可得时，有恒成立，解出即可得. 【详解】当时，，此时， 故当时，有恒成立， 即在时恒成立，即，即. 故答案为：. 题型八：重点考查分段函数零点问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】解出方程的根，即可得出函数的零点个数. 【详解】当时，由，可得，解得，合乎题意； 当时，由于，由，可得，解得，合乎题意. 因此，函数的零点个数为. 故选：D. 例题2．（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出的大致图象，根据题意转化为与的图象有4个不同交点，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示， 要使得， 即函数与的图象有4个不同交点，则， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【答案】(1)－1和3； (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用函数零点的定义直接解方程求解即可； （2）将问题转化为与直线的交点个数，画出的图象，结合图象求解即可； （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称，从而可求得结果. 【详解】（1）解方程，即， 解得或， 所以，函数的零点为－1和3； （2）则函数的图象如下图所示： 方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示： 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称， 因此． 精练高频考点 1．（2024·四川成都·二模）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的性质，得到函数的单调性，求得函数的最值，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得函数在，上为增函数， 当时，，当时，， 若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只需， 解得或，所以t的取值范围为. 故选：B． 2．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．2 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】A 【分析】分段分析函数的取值集合，再分段确定的零点个数即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，，显然， 而，即恒有，函数在上无零点； 当时，，函数取值集合为， 由，，得，解得或，在上有2个零点， 所以函数的零点个数为2. 故选：A 3．（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为函数与函数的图象有2个交点，作出函数与函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数， 令，可得， 在同一坐标系下，作出函数与函数的图象，如图所示： 当时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 第二部分：方法篇 函数值域问题方法一：判别式法 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数. (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）满足对一切恒成立. （2）满足是函数的值域的子集. 【详解】（1）依题意得，对一切恒成立，当时，其充要条件是即 ∴或 ∴又时，，满足题意. 综上：的取值范围为 （2）当时，得或，检验得满足. 当时，若的值域为. 须满足即 综上所述的取值范围为：. 例题2．（21-22高一·全国·单元测试）求函数的值域 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 精练高频考点 1．（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【分析】由已知函数可知定义域为，转换成二次方程有根问题，利用判别式法求解即可. 【详解】解：由函数可知 所以，整理得： 当时，，符合； 当时，则关于的一元二次方程在有根 所以 整理得：且 解得：， 综上得：. 故答案为：. 2．（23-24高三·全国·对口高考）已知函数的值域是，求函数的定义域和值域． 【答案】函数的定义域为R，值域是． 【分析】先将函数变形，利用判别式法可得，再与等价，比较系数得的值，从而可得函数的解析式，再求定义域和值域即可. 【详解】的定义域为R，令，有，由，得，即，它与等价，比较系数得． 由此得． 根据，解得，又，所以函数的定义域为R，值域是． 函数值域问题方法二：分离常数法 典型例题 例题1．（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，结合图象的平移得到其对称中心；又，结合不等式的性质求出函数的值域. 【详解】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以. 故答案为：； 例题2．（2024高二下·浙江·竞赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 【答案】/0.75 【分析】利用换元法可得，求得，即可求解最值求解. 【详解】解  令，， 当时，原式变形， 由于或，当且仅当时取等号，故或 故或， ． 当时，． 综上可得， 所以的最大、最小值分别为，其积为． 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可. 【详解】， 当时，. 则. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域 【答案】且 【分析】利用分离常数得到函数的值域. 【详解】， 故值域为且 函数值域问题方法三：基本不等式法 典型例题 例题1．（23-24高一下·北京·期末）函数在上的最大值为 ． 【答案】1 【分析】合理换元，后讨论参数范围，利用基本不等式和对钩函数性质求解即可. 【详解】令，所以， 则可化为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)， 故此时，则此时最大值为1， 当时， 因为函数在上单调递减， 得到，所以 故，即， 综上函数在上的最大值为1. 故答案为：1 例题2．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)2 (2)4 (3) 【分析】（1）由基本不等式得，从而得到，求出； （2）由基本不等式得，从而得到，求出； （3）表达出，并求出，故，由基本不等式求出最小值. 【详解】（1）， ，，由基本不等式得， 故，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为2； （2）， ，，由基本不等式得，故， 所以，解得，负值舍去， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. （3），，，故， 由得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 2．（23-24高三下·贵州毕节·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．6 【答案】A 【分析】先分离常数，再配凑积为定值形式，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】， 由 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 函数值域问题方法四：分类讨论法 典型例题 例题1．（23-24高二下·重庆·期末）已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)设，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，根据题目条件得到方程，求出，得到函数方程； （2）根据对称轴进行分类讨论，得到的最小值. 【详解】（1）设，， 则， 即， 故，解得， 故， 又，故，解得， 所以； （2）,, 对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 故时，取得最小值，故， 当，即时，当时，取得最小值， 故， 当，即时，在上单调递减， 当时，取得最小值，故 综上，. 例题2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数且． (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，设，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断函数的奇偶性与单调性，依题意可得，参变分离可得在上恒成立，再由基本不等式求出即可得解； （2）首先求出解析式，依题意在上的值域是在上值域的子集，设在上的值域为集合，结合（1）求出的值域，再分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出的最值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由题知：，，所以为奇函数． 设，， 因为，所以，所以，因为，所以． 所以在上单调递增． 所以， 因为在上单调递增，所以，因为，所以在上恒成立， 因为，当且仅当时，即时，． 所以，解得，所以． （2）因为，即，解得或（舍去）， 所以， 因为对任意的，总存在，使得， 所以在上的值域是在上值域的子集． 设在上的值域为集合， 由（1）知在上单调递增，，值域为， 所以． 函数的对称轴为， 当时，，，即 所以，解得． 当时，，，，因为， 所以，解得． 当时，，，， 所以，解得． 综上所述：． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数在上是严格减函数，求函数在上的最值． 【答案】答案见解析 【分析】由对数函数为减函数可得，然后求出二次函数的对称轴，分和两种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】∵函数在上是严格减函数，故． 又函数的对称轴为． 当时，函数在上是严格减函数，在上是严格增函数， 所以的最大值为，的最小值为． 当时，函数在上是严格减函数， 此时，的最大值为，的最小值为． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数定义在区间上，求的最值． 【答案】答案见解析 【分析】先求出二次函数的对称轴，然后分，，，和五种情况讨论求解即可. 【详解】解：函数的图像开口向上，对称轴为． ①当时，函数在上递增， 则当时，函数取最小值为； 当时，函数取最大值为． ②当，即时，函数在上递减， ∴当时，函数取最大值为； 当时，函数取最小值为． ③当时，当时，函数取最小值为； 当时，函数取最大值为． ④当时，当时，函数取最小值为； 当时，函数取最大值为． ⑤当时，当时，函数取最小值为； 当或时，函数取最大值为． 第三部分：易错篇 易错一：换元必换范围 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的解析式 【答案】， 【分析】用换元法求解析式，设，则，代入已知条件求，进而求得的解析式. 【详解】设，，则， 因为， 所以，， 即，. 例题2．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）（1）已知函数，求； 【答案】（1），； 【分析】（1）利用换元法即可； 【详解】（1）设，则，， 则，， 所以，. 精练高频考点 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】因为，令，则，， 所以， 所以， 故答案为：， 2．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知函数，求函数的解析式； 【答案】（1）； 【分析】（1）令，得到，求得，进而得到函数的解析式； 【详解】解：（1）令，则， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数的概念及其表示 目录 第一部分：题型篇 2 题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 2 题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 2 题型三：重点考查求函数的解析式 3 题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 4 题型五：重点考查分段函数单调性问题 5 题型六：重点考查分段函数不等式问题 6 题型七：重点考查分段函数值域问题 7 题型八：重点考查分段函数零点问题 8 第二部分：方法篇 10 函数值域问题方法一：判别式法 10 函数值域问题方法二：分离常数法 11 函数值域问题方法三：基本不等式法 12 函数值域问题方法四：分类讨论法 13 第三部分：易错篇 14 易错一：换元必换范围 14 第一部分：题型篇 题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京通州·期末）函数的定义域是 ． 题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 精练高频考点 1．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20高一上·广东阳江·阶段练习）如果的定义域为，求实数的取值范围. 题型三：重点考查求函数的解析式 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 例题3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）已知为二次函数，且，，求函数解析式； 精练高频考点 1．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）若，，则等于（    ） A．1 B．2 C．15 D．30 2．（23-24高一上·山东威海·阶段练习）已知，则的解析式为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知满足，求的解析式. 题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 典型例题 例题1．（2024·山西·三模）已知是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 精练高频考点 1．（2024·四川自贡·三模）函数，则 . 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的值为 ． 3．（2024高二上·广东梅州）已知函数，设，则 . 题型五：重点考查分段函数单调性问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三·全国·对口高考）对于函数①；②；③在上是减函数的所有函数的序号是 . 例题3．（23-24高一上·黑龙江·期中）已知函数是定义域上的减函数，求实数a的取值范围 精练高频考点 1（多选）．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·贵州铜仁·期中）若函数在R上单调递增，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）若函数 (，且)在R上单调递减，则a的取值范围 . 题型六：重点考查分段函数不等式问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数，若，则的取值范围是 ． 例题3．（23-24高一上·天津河西·期中）已知函数，则 ；不等式的解集是 . 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数则满足的的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·浙江·期末）设函数则满足的x取值范围为 ． 题型七：重点考查分段函数值域问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南玉溪·期末）用函数表示函数和中的较大者，记为：.若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 例题2．（23-24高一下·北京·期中）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围为 ． 例题3．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数. (1)求函数的零点； (2)当时，求的值域. 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高二下·北京延庆·期末）函数的值域为 ． 3．（2024·山东聊城·一模）若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 题型八：重点考查分段函数零点问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 例题2．（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 精练高频考点 1．（2024·四川成都·二模）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．2 B．1或2 C．3 D．1或3 3．（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围是 . 第二部分：方法篇 函数值域问题方法一：判别式法 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数. (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围. 例题2．（21-22高一·全国·单元测试）求函数的值域 精练高频考点 1．（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数的值域是 . 2．（23-24高三·全国·对口高考）已知函数的值域是，求函数的定义域和值域． 函数值域问题方法二：分离常数法 典型例题 例题1．（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 例题2．（2024高二下·浙江）函数的最大值与最小值之积为 ． 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域 函数值域问题方法三：基本不等式法 典型例题 例题1．（23-24高一下·北京·期末）函数在上的最大值为 ． 例题2．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高三下·贵州毕节·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．6 函数值域问题方法四：分类讨论法 典型例题 例题1．（23-24高二下·重庆·期末）已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)设，，求函数的最小值. 例题2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数且． (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，设，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数在上是严格减函数，求函数在上的最值． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数定义在区间上，求的最值． 第三部分：易错篇 易错一：换元必换范围 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的解析式 例题2．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）（1）已知函数，求； 精练高频考点 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则 ， ． 2．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知函数，求函数的解析式； 学科网（北京）股份有限公司 $$