专题07 高一上学期重要函数类型及其应用（复合函数、对钩函数、分式函数等）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题07 高一上学期重要函数类型及其应用（原卷板） 目录 1 基本原理 2 1．复合函数的概念 2 2.复合函数的定义域 2 3．复合函数单调性 2 4.复合函数值域. 2 5.几个常用的复合函数模型 2 6.对钩函数 3 7．分式函数 4 6 题型1.复合函数的单调性 6 题型2.复合函数的奇偶性 6 题型3.复合函数的零点 7 题型4.分式函数 9 12 复合函数是高中阶段常见的构造新函数命制试题的手段，除此之外，一些由基本初等函数的四则运算构造的函数也经常出现.上面两种构造函数的方式均在必修教材第一册的例题与习题中出现，例如“双钩函数”：，“飘带函数”：等.命题人可以从定义域，值域，函数性质，图象，零点等多个角度考察学生的函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等关键能力，是我们在学习或者教学中应该重点关注的对象. 本节，先从复合函数的一般理论背景出发，弄清楚它们的基本原理，然后再系统介绍一些重要的函数构造，最后通过一些例题展示其常见的命题手法. 基本原理 1．复合函数的概念 如果是的函数，又是的函数，即，，那么关于的函数叫做函数和的复合函数，其中是中间变量，自变量为，函数值. 2.复合函数的定义域 （1）若复合函数有具体【解析】式，那便根据求定义域的基本原则来求. （2）若复合函数以抽象形式给出，那便遵循以下原则： ①.已知的定义域为，求的定义域. 方法：由求得的范围. ②.已知的定义域为，求的定义域. 方法：求出的范围. 3．复合函数单调性 一般地，设函数在区间上有意义，函数在区间上有意义，且当时，.那么判断复合函数单调性有两种常用方法：同增异减法则与导数法. 3.1 同增异减法则： 3.2链式法则：. 4.复合函数值域. 方法1.函数的值域可以先计算的值域，再根据的单调性求得复合函数值域. 方法2.先分析单调性再求值域. 5.几个常用的复合函数模型 （1）已知二次函数，可复合出 等常考模型. （2）二次函数，可复合出：等常见模型. （3）复合函数的奇偶性可以从具体【解析】式入手判断，此处需要注意的是几个常见的对数复合型函数的奇偶性： ①.都是奇函数. ②.是奇函数. ③.(且)是偶函数. 对数型奇偶性证明通常需从或来完成. （4） 与指数有关的复合函数：假设且. ①.为奇函数 ②.为奇函数 ③.可转化为②或③ 6.对钩函数 1 对勾函数的定义：形如的函数，叫做对勾函数． 2 对勾函数的图象与性质 （1）定义域 （2）值域 当时，（当且仅当，即时取等号）．[来源: 当时，（当且仅当，即时取等号）． 则：函数的值域为． （3）奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数． （4）单调性 函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数． 7．分式函数 1、的图像与性质. （1）定义域： ；（2）值域：； （3）单调性：当时，递减区间为和，无递增区间； 当时，递增区间为和，无递减区间； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线和，对称中心为点； （5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如下图所示 2、分式函数（“耐克函数”）的图像与性质： （1）定义域：； （2）值域：； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间上是增函数， 在区间上为减函数； （5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示. 3、分式函数的图像如下： （1） (2) (3) (4) 的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究. 题型1.复合函数的单调性 例1．（1）函数的单调递增区间为　　． （2）．函数在，单调递增，则的取值范围是 　　． 题型2.复合函数的奇偶性 例2.已知函数，，则________． 例3.若函数为偶函数，则_____． 例4．函数（）的最大值是__________． 例5.已知函数有唯一零点，则 例6．已知函数为奇函数，则______. 题型3.复合函数的零点 复合函数的零点这部分内容整体难度较大，多以压轴题出现，但其主要的处理手法就是换元. 例7．已知函数.有下列结论： ①若函数有零点，则的范围是； ②函数的零点个数可能为； ③若函数有四个零点，则，且； ④若函数有四个零点，且成等差数列，则为定值，且. 其中所有正确结论的编号为______. 例8.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 例9.已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是______． 例10.已知函数是定义在上的单调函数，且对都有 ，则_____． 题型4.分式函数 例11．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 　　． 例12．已知函数，则下列说法正确的是　　 A．的定义域为，， B．当函数的图象关于点成中心对称时， C．当时，在上单调递减 D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为，，2，，，则的值为0 例13．判断函数的单调性． 例14．已知函数，其中． （1）当函数的图象关于点成中心对称时，求的值； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围； （3）若，求函数在区间上的值域． 例15．某公司生产一种智能玩具，每个玩具的批发价格为50元，现在年产量为20万件，随着智能玩具市场的扩大，公司计划加大投入，增加玩具的供应量并降低产品的生产成本．从今年起工厂投50万科技成本，并计划每年比上一年多投入50万元．预期产量每年递增1万件，每件产品的固定成本元与科技成本投入次数的关系是，若产品售价不变，第次投入后的年销售额为万元，年利润为万元． （1）求出、的表达式 （2）求从今年起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【分析】（1）第次投入后，年产量为万件，批发价格为50元，每件产品的固定成本为元，科技成本投入为万元，即可得到，的表达式； （2）利用基本不等式，即可求得最高利润． 1.（2014陕西卷）下列函数中，满足“”的单调递增函数是 A. B. C. D. 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 　　． 3．关于函数，下列说法正确的是　　 A．函数的定义域为，， B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于点对称 D．把的图象向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度，可以得到函数的图象 4．函数是上的奇函数，且当时，函数的【解析】式为． （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）当时，求函数的【解析】式． 5．已知函数（其中，，，是实数常数， （1）若，函数的图象关于点成中心对称，求，的值； （2）若函数满足条件（1），且对任意，，总有，，求的取值范围； （3）若，函数是奇函数，（1），，且对任意，时，不等式恒成立，求负实数的取值范围． 6．函数的定义域为，为实数）． （Ⅰ）当时，求函数的值域； （Ⅱ）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围； （Ⅲ）求函数在，上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值． 7．已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点． （1）求实数，的值． （2）求函数在时的值域． 8．已知函数是定义域为上的奇函数，且． （1）求的【解析】式； （2）若实数满足，求实数的范围． 9．已知函数为实数． （1）当时，判断函数在上的单调性，并加以证明； （2）根据实数的不同取值，讨论函数的最小值． 10．已知函数为实数）． （1）当时，判断函数的单调性，并用定义证明； （2）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由． 11．已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当时，判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）当时，求函数在区间，上的最小值． 12．已知某公司某产品去年的年产量为50万件，每件产品的售价为10元，固定成本为6元，今年公司第一次投入50万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入50万元科技成本，预计年产量每年递增5万件，第次投入后，每件产品的固定成本为为常数，，若产品的售价保持不变，第次投入后的年利润为万元． （1）求的表达式； （2）从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 高一上学期重要函数类型及其应用 目录 1 基本原理 1 1．复合函数的概念 1 2.复合函数的定义域 1 3．复合函数单调性 1 4.复合函数值域. 2 5.几个常用的复合函数模型 2 6.对钩函数 3 7．分式函数 3 5 题型1.复合函数的单调性 5 题型2.复合函数的奇偶性 6 题型3.复合函数的零点 7 题型4.分式函数 9 12 复合函数是高中阶段常见的构造新函数命制试题的手段，除此之外，一些由基本初等函数的四则运算构造的函数也经常出现.上面两种构造函数的方式均在必修教材第一册的例题与习题中出现，例如“双钩函数”：，“飘带函数”：等.命题人可以从定义域，值域，函数性质，图象，零点等多个角度考察学生的函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等关键能力，是我们在学习或者教学中应该重点关注的对象. 本节，先从复合函数的一般理论背景出发，弄清楚它们的基本原理，然后再系统介绍一些重要的函数构造，最后通过一些例题展示其常见的命题手法. 基本原理 1．复合函数的概念 如果是的函数，又是的函数，即，，那么关于的函数叫做函数和的复合函数，其中是中间变量，自变量为，函数值. 2.复合函数的定义域 （1）若复合函数有具体【解析】式，那便根据求定义域的基本原则来求. （2）若复合函数以抽象形式给出，那便遵循以下原则： ①.已知的定义域为，求的定义域. 方法：由求得的范围. ②.已知的定义域为，求的定义域. 方法：求出的范围. 3．复合函数单调性 一般地，设函数在区间上有意义，函数在区间上有意义，且当时，.那么判断复合函数单调性有两种常用方法：同增异减法则与导数法. 3.1 同增异减法则： 3.2链式法则：. 4.复合函数值域. 方法1.函数的值域可以先计算的值域，再根据的单调性求得复合函数值域. 方法2.先分析单调性再求值域. 5.几个常用的复合函数模型 （1）已知二次函数，可复合出 等常考模型. （2）二次函数，可复合出：等常见模型. （3）复合函数的奇偶性可以从具体【解析】式入手判断，此处需要注意的是几个常见的对数复合型函数的奇偶性： ①.都是奇函数. ②.是奇函数. ③.(且)是偶函数. 对数型奇偶性证明通常需从或来完成. （4） 与指数有关的复合函数：假设且. ①.为奇函数 ②.为奇函数 ③.可转化为②或③ 6.对钩函数 1 对勾函数的定义：形如的函数，叫做对勾函数． 2 对勾函数的图象与性质 （1）定义域 （2）值域 当时，（当且仅当，即时取等号）．[来源: 当时，（当且仅当，即时取等号）． 则：函数的值域为． （3）奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数． （4）单调性 函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数． 7．分式函数 1、的图像与性质. （1）定义域： ；（2）值域：； （3）单调性：当时，递减区间为和，无递增区间； 当时，递增区间为和，无递减区间； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线和，对称中心为点； （5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如下图所示 2、分式函数（“耐克函数”）的图像与性质： （1）定义域：； （2）值域：； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间上是增函数， 在区间上为减函数； （5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示. 3、分式函数的图像如下： （1） (2) (3) (4) 的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究. 题型1.复合函数的单调性 例1（1）．函数的单调递增区间为　　． 【分析】求出原函数的定义域，求出内函数的增区间，结合复合函数的单调性得答案． 【解析】解：由，得或． 内层函数在上为增函数， 外层函数为增函数， 函数的单调递增区间为． 故答案为：． 【点评】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是基础题． （2）函数在，单调递增，则的取值范围是 　　． 【分析】由复合函数的单调及对数函数的性质可得关于的不等式组，即可求解． 【解析】解：函数在，单调递增， 由复合函数的性质可得在，单调递增，且函数值为正， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题． 题型2.复合函数的奇偶性 例2.已知函数，，则________． 【解析】：考察对数型复合函数的奇偶性，基础题. 注意到前文6的相关结论，可得答案为-2. 例3.若函数为偶函数，则_____． 【解析】：同例2做法，或者利用特值完成都可，考生要注意到对数型奇偶性问题在高考中考频较高，要注意对6中三个常见模型的识记. 上面是三个高考题目的命题手法，下列再列举一些经典题目及命题手法，进一步丰富大家对于复合函数命题的整体认知. 例4．函数（）的最大值是__________． 【解析】：化简三角函数的【解析】式，可得：，由，由于，当时，函数取得最大值1． 例5.已知函数有唯一零点，则 【解析】：此题若懂得前面的常见函数及性质就很容易下手，若不懂，借助导数与零点来实现，可能就做不出来！注意到的构造，跟偶函数长得很像，所以我们会发现 是关于直线对称的，而也是关于直线对称的，这样的话， ，如此的唯一零点便在处取得，代入可得：. 下面是一道易错题目，读者要细心体会. 例6．已知函数为奇函数，则______. 【解析】：由于函数为奇函数，则，， ，整理得，解得.当时，真数，不合乎题意. 当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域关于原点对称，合乎题意. 综上所述，. 题型3.复合函数的零点 复合函数的零点这部分内容整体难度较大，多以压轴题出现，但其主要的处理手法就是换元. 例7．已知函数.有下列结论： ①若函数有零点，则的范围是； ②函数的零点个数可能为； ③若函数有四个零点，则，且； ④若函数有四个零点，且成等差数列，则为定值，且. 其中所有正确结论的编号为______. 答案为：②③④. 例8.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【解析】：令，则，作的图象如图， 设的零点为、，由图可知，要满足题意，则需在上有两不等的零点，则，解得．因此，实数的取值范围是. 故选：D. 小结：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 例9.已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是______． 【解析】：函数在上单调递增，，在上单调递增，， 当，即时，，且， 当，即时，，且， 当，即时，，且， 因此，在坐标系内作出函数的图象，如图， 再作出直线，则方程有两个不等实根，当且仅当直线与函数的图象有两个不同交点， 观察图象知方程有两个不等实根，当且仅当， 此时，且，即，且，则有， 令，求导得，令， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即，因此函数在上单调递增， ，而，于是当时，，有， 所以的取值范围是. 例10.已知函数是定义在上的单调函数，且对都有 ，则_____． 【解析】：因为函数是定义在上的单调函数，所以为一个常数. 令则，且 所以，即，解得：． 故答案为． 题型4.分式函数 例11．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 　　． 【分析】根据对数函数以及一次函数的性质，结合复合函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可． 【解析】解：根据对数函数的定义得且， 令，则函数在，上单调递减， 函数在上单调递减， 且在，单调递增，且在，上恒成立， ，解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了对数函数，一次函数的性质，考查复合函数的单调性问题，是基础题． 例12．已知函数，则下列说法正确的是　　 A．的定义域为，， B．当函数的图象关于点成中心对称时， C．当时，在上单调递减 D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为，，2，，，则的值为0 【分析】根据函数与的图像关系，判断函数的对称中心，单调区间． 【解析】解：选项，函数的定义域，，的定义域为，，，选项正确， 选项，，的图像关于对称，选项错误， 选项，，当即时，在区间上递减，在上单调递减，选项正确， 选项，当时，，关于中心对称，又函数关于中心对称， 两图像的交点，，2，，满足，，， ，选项正确， 故选：． 【点评】本题考查了形如的函数的性质，是基础题． 例13．判断函数的单调性． 【分析】先将原函数分离常数，可见函数时由一次函数，与反比例函数复合而成，由复合函数单调性的性质可判断此函数的单调性 【解析】解： 由复合函数的单调性可得函数 在，为减函数． 【点评】本题考查了函数单调性的判断方法，解题时要注意判断和证明的区别，要能熟练运用复合函数法判断函数单调性 例14．已知函数，其中． （1）当函数的图象关于点成中心对称时，求的值； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围； （3）若，求函数在区间上的值域． 【分析】（1）根据函数的图象关于点成中心对称，是奇函数，求出的值； （2）化简函数，根据在上的单调性，求出的取值范围； （3）根据时的单调性，求出在区间上的值域． 【解析】解：（1） “函数的图象关于点成中心对称”的充要条件为： “函数是奇函数”， 当的图象关于点成中心对称时， 是奇函数， ，解得； （2）函数 ， 当在上单调递减时， ， 解得， 的取值范围是； （3）当时，， 函数在区间上是单调减函数， ， 即， 函数的值域是． 【点评】本题考查了函数的单调性与对称性的应用问题，也考查了求函数在某一区间上的值域的应用问题，是基础题目． 例15．某公司生产一种智能玩具，每个玩具的批发价格为50元，现在年产量为20万件，随着智能玩具市场的扩大，公司计划加大投入，增加玩具的供应量并降低产品的生产成本．从今年起工厂投50万科技成本，并计划每年比上一年多投入50万元．预期产量每年递增1万件，每件产品的固定成本元与科技成本投入次数的关系是，若产品售价不变，第次投入后的年销售额为万元，年利润为万元． （1）求出、的表达式 （2）求从今年起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【分析】（1）第次投入后，年产量为万件，批发价格为50元，每件产品的固定成本为元，科技成本投入为万元，即可得到，的表达式； （2）利用基本不等式，即可求得最高利润． 【解析】解：（1）第次投入后，年产量为万件，批发价格为50元， 每件产品的固定成本为元，科技成本投入为万元， 由题意得，，为正整数）． ，为正整数）． （2） ， 当且仅当取等号，即时， 答：从今年起第18年利润最高，最高利润为万元． 【点评】本题考查数列、函数、均值不等式以及实际应用题的建模、用模能力，属于中档题． 1.（2014陕西卷）下列函数中，满足“”的单调递增函数是 A. B. C. D. 【解析】：由指数运算性质可知，此题选D. 习题2.（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则. 【解析】：由于为奇函数，故要使得为偶，只需另一部分为奇函数即可，根据第一部分基本原理可知：. 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 　　． 【分析】由题意可得，在上单调递增，且大于0恒成立，转化为关于的不等式组求解． 【解析】解：函数在上单调递增， 在上单调递增，且大于0恒成立， 则，解得． 的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题． 3．关于函数，下列说法正确的是　　 A．函数的定义域为，， B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于点对称 D．把的图象向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度，可以得到函数的图象 【分析】选项，由可得定义域； 选项，先利用分离常数法将化简为，再结合反比例函数的图象与性质，得解； 选项，证明是否成立，即可； 选项，由函数图象的平移法则可判断． 【解析】解：因为，所以，所以定义域为，，，即选项正确； ，所以在上单调递减，即选项错误； 因为，所以的图象关于点对称，即选项正确； 的图象向左平移一个单位长度得到，在向上平移两个单位长度得到，即选项正确． 故选：． 【点评】本题考查函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移法则，单调性和对称性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 4．函数是上的奇函数，且当时，函数的【解析】式为． （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）当时，求函数的【解析】式． 【分析】（1）先求（2），然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）先设时，，根据已知函数【解析】式及奇函数定义可求． 【解析】解：（1）因为时，函数的【解析】式为， 所以（2）， 因为为上奇函数， 所以； （2）证明：设，则， 所以， 因为时，， 则， 所以， 所以在上是减函数； （3）解：当时，， 则， 所以． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的定义及单调性定义的应用，属于中档题． 5．已知函数（其中，，，是实数常数， （1）若，函数的图象关于点成中心对称，求，的值； （2）若函数满足条件（1），且对任意，，总有，，求的取值范围； （3）若，函数是奇函数，（1），，且对任意，时，不等式恒成立，求负实数的取值范围． 【分析】（1）利用反比例函数的对称性类比即可； （2）分情况讨论的范围； （3）先根据条件确定的【解析】式，再利用不等式和函数单调性求出的取值范围． 【解析】解（1）， ． 类比函数的图象，可知函数的图象的对称中心是． 又函数的图象的对称中心，． （2）由（1）知，． 依据题意，对任，，恒，． ①，，符合题意． ②，时，对任，，恒，不符合题意． 所，函数，上是单调递减函数，且满． 因此，当且仅（3）， 即时符合题意． 综上，所实数的范围． （3）依据题设，解 于是． 由，得， ． 因此，． 函数在，是增函数， （1）． 所求负实数的取值范围． 故答案为． 【点评】本题主要考查利用函数奇偶性，对称性求【解析】式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解 6．函数的定义域为，为实数）． （Ⅰ）当时，求函数的值域； （Ⅱ）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围； （Ⅲ）求函数在，上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值． 【分析】将的值代入函数【解析】式，利用基本不等式求出函数的值域． 求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出，构造函数，通过求函数的最小值，求出的范围． 通过对的讨论，判断出函数在上的单调性，求出函数的最值． 【解析】解：（Ⅰ）函数的值域为； （Ⅱ）在定义域上恒成立， 函数的定义域为，为实数）． ，， ，的取值范围为，． 当时，函数在上单调增，无最小值， 当时取得最大值； 由（2）得当时，函数在上单调减，无最大值， 当时取得最小值； 当时，函数在上单调减， 在上单调增，无最大值， 当时取得最小值． 【点评】求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论． 7．已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点． （1）求实数，的值． （2）求函数在时的值域． 【分析】（1）根据题意和奇函数的性质可得：（1）、，列出关于、的方程组，求出、的值； （2）由（1）求出的【解析】式，由和指数函数的单调性得：，再求出函数的值域． 【解析】解：（1）因为函数的图象经过点， 所以（1），即，① 因为是奇函数， 所以，即，② 由①②解得，， 所以实数，的值为1、； （2）由（1）得，， 又，则，， 所以，即， 故函数在时的值域为． 【点评】本题考查奇函数的性质，指数函数的性质的综合应用，考查待定系数法求函数的【解析】式． 8．已知函数是定义域为上的奇函数，且． （1）求的【解析】式； （2）若实数满足，求实数的范围． 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，所以，再据（1）可求出的值． （2）利用函数是奇函数及在上是增函数，可求出实数的范围 【解析】解：（1）函数是定义域为上的奇函数， ，；（3分） 又（1），；（5分） （5分） （2）在上恒成立， 函数在上是增函数； 又， ；（6分） 又由已知函数是上的奇函数，（8分） （3分） 由（2）可知：是上的增函数，（10分） ，， 又由和得 综上得：（13分） 【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，充分理解以上性质是解决问题的关键．利用已证结论解决问题是常用的方法，注意体会和使用 9．已知函数为实数． （1）当时，判断函数在上的单调性，并加以证明； （2）根据实数的不同取值，讨论函数的最小值． 【分析】（1）在上单调递增，利用可得； （2）时，时，函数取得最小值0；时，时，利用基本不等式求出的最小值为． 【解析】解：（1）在上单调递增． ， 在上在上单调递增； （2）时，时，函数取得最小值0；时函数无最小值； 时，，当且仅当时，的最小值为． 【点评】本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题． 10．已知函数为实数）． （1）当时，判断函数的单调性，并用定义证明； （2）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由． 【分析】（1）时，，设，进而判断与的关系求解； （2），分类讨论与的关系，进而求解． 【解析】解：（1）时，，设， ，，， ， 在定义域单调递增； （2）， ①若，即为偶函数，则； ②若，即为奇函数，则； ③若且，即非奇非偶函数，则且． 【点评】考查定义法求函数的单调性，奇偶函数的定义及应用． 11．已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当时，判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）当时，求函数在区间，上的最小值． 【分析】（1）求出函数定义域，若定义域关于原点对称，再判断与的关系即得； （2）先由函数式组成判断函数的单调性，再运用函数单调性定义进行证明； （3）根据给定区间及双勾函数的图象进行分类讨论，再进行合并表述即得． 【解析】解：（1）函数有意义，需使，函数定义域显然关于原点对称， 又由，故为奇函数． （2）当时，在上为增函数； 证明：任取，有， 由，可得，， 故成立， 所以函数在区间上为增函数． （3）易知当时，函数在上单调递减，在上单调递增； ①当即时，在，上单调递增， 则； ②当即时，在，上单调递减， 则； ③当，即时，． 综上，． 【点评】本题考查了判断函数的奇偶性及单调性，考查了对勾函数的性质及分类讨论思想，属于中档题． 12．已知某公司某产品去年的年产量为50万件，每件产品的售价为10元，固定成本为6元，今年公司第一次投入50万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入50万元科技成本，预计年产量每年递增5万件，第次投入后，每件产品的固定成本为为常数，，若产品的售价保持不变，第次投入后的年利润为万元． （1）求的表达式； （2）从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？ 【分析】（1）根据每只产品的固定成本为6元及关系式为，可求的值，利用第次投入后的年利润为万元，可建立函数关系式； （2）先由（1）可得利润函数，再用基本不等式求最大利润． 【解析】解：（1）由，当时，有，得， 则． 第次投入后，年产量为万件，销售价格为10元， 每件产品的固定成本为元，科技成本投入为万元， ； （2）由 ． 当且仅当，即时取等号， 故第6年利润最大，最大利润为260万元． 【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查利用基本不等式求最值，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$