3.1概率的进一步认识 学案 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

（一）用树状图或表格求概率（1） 学习目标 i. 理解事件发生的频率与概率的关系，加深对概率的理解； ii. 会用列表或画树状图等方法计算简单事件发生的概率； iii. 经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等活动过程，进一步体验数据的随机性，发展合作交流的意识和发现问题、提出问题的能力． 课堂探究 一、用树状图或表格求概率 小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票.三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下： 连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜. 你认为上面游戏公平吗？ 抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ 抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ 在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？ 可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果. 总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同 小明获胜的结果有 1 种：（正，正）， 所以小明获胜的概率是 ; 小颖获胜的结果有 1 种：（反，反）， 所以小颖获胜的概率是 ； 小凡获胜的结果有 2 种：（正，反）（反，正）， 所以小凡获胜的概率是 ． 因此，这个游戏对三人是不公平的. 利用树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能性相同的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率. 注意：用画树状图或列表的方法求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同； 例1 某班有1名男生、2名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有2名男生、2名女生获演奏奖；从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率. 计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果总数n和求出事件A发生的结果总数m，“树状图”能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地得出n和m. 例2 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球三次. (1)写出三次传球的所有可能结果(即传球的方式)；(2)指定事件A：“传球三次后，球又回到甲的手中”，写出A发生的所有可能结果；(3)求P(A). 当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树形图法； 当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率. 例3 同时抛掷2枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是1，2，···.试分别计算如下各随机事件的概率.(1)抛出的点数之和等于8；(2)抛出的点数之和等于12. 例4 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行；（2）两车向右，一车向左；（3）至少两车向左. 《概率的进一步认识》（一）用树状图或表格求概率（1）思考 总结 例5 现在学校决定由甲同学代表学校参加全县的诗歌朗诵比赛，甲同学有3件上衣，分别为红色(R)、黄色(Y)、蓝色(B)，有2条裤子，分别为蓝色(B)和棕色(b)。甲同学想要穿蓝色上衣和蓝色裤子参加比赛，你知道甲同学任意拿出1件上衣和1条裤子，恰好是蓝色上衣和蓝色裤子的概率是多少吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 （二）用树状图或表格求概率（2） 学习目标 i. 进一步经历用树状图、列表法计算两步随机实验的概率； ii. 经历计算理论概率的过程，在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯； iii. 鼓励学生思维的多样性，发展学生的创新意识． 课堂探究 一、用树状图和表格求概率 例1 小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下： 由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者. 假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？ 例2 小明和小军两人一起做游戏。游戏规则如下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数字等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负。如果你是游戏者，你会选择哪个数？ 例3 一只箱子里共有3个球，其中有2个白球，1个红球，它们除了颜色外均相同.（1）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率；（2）从箱子中任意摸出一个球，将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率. 例4 一个布袋里装有4个大小、质地均匀相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4，先从布袋中随机抽取一个球(不放回)，再随机抽取第二个球． (1)请你列出所有可能的结果； (2)求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率． 当一次试验涉及两个因素时，用列表法较简便；当一次试验涉及3个或更多的因素时，用画树状图法较简便 在求概率时要正确区分“放回”和“不放回”事件. 《概率的进一步认识》（二）用树状图或表格求概率（2）思考 总结 （三）用树状图或表格求概率（3） 学习目标 i. 能判断某事件的每个结果出现的可能性是否相等； ii. 能将不等可能随机事件转化为等可能随机事件；求其发生的概率.（重点、难点） 课堂探究 一、用表格或树状图求“配紫色”概率 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏： 下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色. 利用画树状图或列表的方法表示游戏所以可能出现的结果. 想一想：如果用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 游戏者获胜的概率是多少? 因为转盘A中红色部分和蓝色部分的面积不同，因而指针落在两个区域的可能性也不同. 而把转盘A中的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，保证了转盘A中指针落在“蓝色区域”“红色1”“红色2”三个区域的等可能性。 用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同. 例1 如图所示，两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则可配成紫色的概率是多少？ 例2 一个盒子中装有2个红球、1个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，则两次摸到的球的颜色能配成紫色(红色与蓝色能配成紫色)的概率是多少？ 例3 如图，袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者每次从袋中随机摸出一个球，并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2，那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率. 课后练习 1. 从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（ ）． A． B． C． D． 2. 在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是（　　） A．1 B． C． D． 3. 同时抛掷两枚均匀的硬币，落地后两枚硬币都是正面朝上的概率是（ ） A． B． C． D． 4. 布袋中有除颜色外完全相同的5个红球，2个黄球，3个白球，从布袋中同时随机摸出两个球都是红球的概率为（　　　） A． B． C． D． 5. 为了了解景德镇市中学生本学期学习成绩的整体情况，市教育局准备在初一年级中的语文、数学、英语三个学科和初二年级中的语文、数学、英语、物理四个学科中各抽取一个学科作为调研考试来考察，那么初一、初二年级都抽中数学的概率是（　　　） A． B． C． D． 6. 用三种不同的颜色，将如图所示的四个区域涂色，每种颜色至少用1次，则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为（　　　） A． B． C． D． 7. 某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（ ） A． B． C． D． 8. 由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（ ） A．两个转盘转出蓝色的概率一样大 B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了 C．游戏者配成紫色的概率为 D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同 9. 喜羊羊走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同．第一道关口有三个门，只有其中一个门有开关；第二道关口有两个门，也只有其中一个门有开关．喜羊羊一次就能走出迷宫的概率是__________． 10. 某教室有男生22人，女生18人，用随机抽签来抽取1名学生： （1）抽到女生的可能性大小是________； （2）每个学生被抽到的可能性大小是________． 11. 把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在偶数区域的概率是_____． 12. 随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡发光的概率是（ ） A. 　 B． C. 　D． 列表如下： S1 S2 S3 S1 (S2，S1) (S3，S1) S2 (S1，S2) (S3，S2) S3 (S1，S3) (S2，S3) 共有_____种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是_________＝． $$