精品解析：山西省太原市实验中学校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

太原市实验中学高一年级开学考试 数学试题 客观题部分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图，中，、是边上的点，，在边上，，交、于、，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知是的内接正三角形，的面积等于，是半圆的内接正方形，面积等于，的值为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在等边所在平面内有一点，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（ ） A. 1个 B. 7个 C. 10个 D. 无数个 5. 设，则的整数部分等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的1小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形的对角线相交于，，，则这个四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 若对任意实数不等式都成立，那么、的取值范围为__________. 10. 设，则的最大值与最小值之差为__________. 11. 对于任意不相等两个数，定义一种运算※如下：，如，那么______． 12. 一次函数与图象如图，则的解是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，过点作的平行线交双曲线于点，连接并延长与轴交于点，则的值为______． 主观题部分 三、解答题（共61分） 14. 第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级的学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级中各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：， C：，D：， E：，F：， 并绘制了七年级测试成绩的频数分布直方图和八年级测试成绩的扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩中D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．请根据以上信息，完成下列问题： （1）求n，a的值； （2）求八年级测试成绩的中位数； （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会的关注程度高，请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 15. 为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行”防控疫情知识竞赛活动，经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为的球有个，甲、乙两名同学需从6个球中随机摸取3个球，所取球的标号之和多者获胜. （Ⅰ）求甲所取球的标号之和为7的概率； （Ⅱ）求甲获胜的概率. 16. 如图，AB，CD为圆的直径，C为圆O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，，点E是弧BD的中点，弦CE，BD相交于点F． （1）求的度数； （2）若，求圆O直径的长． 17. 我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”.如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止.如：1131：，所以1131是“超越数”；又如：3292；，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”. （1）请判断42356是否为“超越数” （2）若（为整数），化简除以13的商（，用含字母的代数式表示）. 18. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商店每天有最大销售利润为多少元？ 19. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有根.现将它们堆放在一起. （1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层根数比上一层根数多根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢? （2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多根)，且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案? （Ⅱ）已知每根圆钢的直径为，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？ 20. 如图，已知和相交于、两点，过点作的切线交点，过点作两圆的割线分别交、于、，与相交于点， （1）求证：； （2）求证：； （3）当与为等圆时，且时，求与的面积的比值. 21. 如图，抛物线交x轴于点和B，交y轴于点，顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市实验中学高一年级开学考试 数学试题 客观题部分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图，中，、是边上的点，，在边上，，交、于、，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据已知可得，根据相似比从而不难得到答案． 【详解】连接， ， 平行于. . . ，， ， ， . 故选：D 2. 已知是的内接正三角形，的面积等于，是半圆的内接正方形，面积等于，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质分别用圆的半径表示出两图形面积，即可得出答案. 【详解】如图所示，连接，，过点作于点， 设的半径为， 是的内接正三角形， ， ，， 的高的长度为， 且， ， 设正方形的边长为， 则， ， 解得：， ， . 故选：D. 3. 抛物线与直线，，，围成正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答． 【详解】由下图可知：，再根据抛物线的性质，越大开口越小， 把点代入得，把点代入得， 则的范围介于两者之间，故 ． 故选：D. 4. 在等边所在平面内有一点，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（ ） A. 1个 B. 7个 C. 10个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】过点作的中垂线，可知在三角形内有一点满足、、都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆和圆，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足、、都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点. 【详解】作三边的中垂线，交点肯定是其中之一，以为圆心，为半径画圆，交的中垂线于、两点，作、、，如图， 则、、都是等腰三角形，同理具有题目所说的性质的点， 以为圆心，为半径画圆，交的中垂线于点，该点也必具有题目所说的性质. 依此类推，在的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：个. 故选：C 5. 设，则的整数部分等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，由此可以得到，然后即可求出的整数部分. 【详解】当， 因， 所以， 即， 故的整数部分等于 故选：A. 6. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数关系及，根据已知等量关系即可求值. 【详解】由题设， 又， 所以，可得. 故选：A 7. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的1小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出图中直角三角形的直角边长，即可求得答案. 【详解】由题意知图中四个直角三角形全等，设其较长直角边长为a，较短直角边长为b， 因为大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4， 所以大正方形边长为10，小正方形边长为2， 故，解得（负值舍去）， 故， 故选：A 8. 如图，四边形的对角线相交于，，，则这个四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，于，在和中，利用条件得到，，再根据条件即可求出结果. 【详解】如图分别过作于，于，则，又， 在中，， 在中，， 又四边形的面积 又，所以， 故选：C. 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 若对任意实数不等式都成立，那么、的取值范围为__________. 【答案】， 【解析】 【分析】分情况讨论不等式恒成立的条件. 【详解】当时，，； 当时，若，则； 若，则，不能恒成立； 若，则，不能恒成立； 即当时，若，可使不等式恒成立， 综上所述，若使不等式恒成立，则，. 10. 设，则的最大值与最小值之差为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据自变量的范围先去绝对值再求出最大值及最小值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以当时，取最大值为4， 当时，取最小值3， 所以的最大值与最小值之差为. 故答案为：1. 11. 对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】利用定义及根式的运算计算即可. 详解】由题意可知：. 故答案为： 12. 一次函数与的图象如图，则的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用图形直接计算即可. 【详解】由两个函数的图象可知，当时有，所以的解是. 故答案为：. 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，过点作的平行线交双曲线于点，连接并延长与轴交于点，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件先求的解析式，设点的坐标为，利用相似的性质求点的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】由已知直线的解析式为， 因为，点的坐标为， 所以的解析式为， 设点的坐标为， 因为， 所以， 所以点的坐标为， 因为点和点都在双曲线上， 所以，， 所以，， 所以， 故答案为：. 主观题部分 三、解答题（共61分） 14. 第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级的学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级中各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：， C：，D：， E：，F：， 并绘制了七年级测试成绩的频数分布直方图和八年级测试成绩的扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩中D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．请根据以上信息，完成下列问题： （1）求n，a的值； （2）求八年级测试成绩的中位数； （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会的关注程度高，请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）， （2）86.5分 （3）人，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据扇形图得D组占比，结合条件得，再由频数分布直方图可得； （2）先求出中位数所范围，再根据D组数据计算中位数即可； （3）根据两图计算出两个年级E、F组的人数占比估计总体即可. 【小问1详解】 由已知得八年级测试成绩D组：的频数为7， 又由扇形统计图知D组占35%， 所以进行冬奥会知识测试学生数， 所以． 【小问2详解】 A，B，C三组的频率之和为， A，B，C，D四组的频率之和为， 所以中位数在D组，将D组数据按从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89． 因为，第10个与第11个两个数据分别为86，87， 所以中位数为（分）． 故答案为86.5分． 【小问3详解】 八年级E：，F：两组占，共有（人）， 七年级E：，F：两组人数共有（人）， 两年级共有（人），占样本的， 所以该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）． 15. 为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行”防控疫情知识竞赛活动，经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为的球有个，甲、乙两名同学需从6个球中随机摸取3个球，所取球的标号之和多者获胜. （Ⅰ）求甲所取球的标号之和为7的概率； （Ⅱ）求甲获胜的概率. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）列出每位同学取球标号之和的所有情况，得出所取球的标号之和为7的情况，由古典概率公式得出答案. （Ⅱ）先分别求出每人得分5,6,7,8,9分的概率，甲要获胜分为：甲得6分乙得5分，甲得7分乙得5或6分；甲得8分乙得5或6或7分；甲得9分乙得5或6或7或8分，由互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得答案. 【详解】解：（Ⅰ）假设标号为1的球为，标号为2的球为，，标号为3的球为，，，则每位同学取球标号之和的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 共20种， 甲所取球的标号之和为7的情况为：，，，，，共6种， 所以甲所取球的标号之和为7的概率. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，每人标号之和为5的情况只有，故其概率， 标号之和为6的情况有，，，，，，故其概率， 标号之和为7的情况为：，，，，，，故其概率， 标号之和为8的情况有，，，，，，故其概率， 标号之和为9的情况有，故其概率为， 甲要获胜分为：甲得6分乙得5分， 甲得7分乙得5或6分； 甲得8分乙得5或6或7分 甲得9分乙得5或6或7或8分 所以甲获胜的概率为：. 16. 如图，AB，CD为圆的直径，C为圆O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，，点E是弧BD的中点，弦CE，BD相交于点F． （1）求度数； （2）若，求圆O直径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，可得，即可得到结果； （2）根据题意，连接DE，由条件可得，即可得到结果. 【小问1详解】 ∵PC与相切于点C，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴． 【小问2详解】 连接DE，∵CD是直径，∴， ∵点E是的中点，∴， ∴， ∵，，，∴， ∵，，∴， ∴的直径的长为． 17. 我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”.如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止.如：1131：，所以1131是“超越数”；又如：3292；，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”. （1）请判断42356是否为“超越数” （2）若（为整数），化简除以13的商（，用含字母的代数式表示）. 【答案】（1）42356不是“超越数”. （2） 【解析】 【分析】（1）根据“超越数”的定义即可求解， （2）根据所给定义即可化简求解. 【小问1详解】 由于， 因为50不能被13整除，所以42356不是“超越数”. 【小问2详解】 由于，又， 所以 故 18. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商店每天有最大销售利润为多少元？ 【答案】每件商品降价元时，该商店每天有最大销售利润，最大销售利润为元. 【解析】 【分析】先设每件商品降价元，每天获利元，得到，化简解析式，结合二次函数性质求最大值. 【详解】设每件商品降价元，每天获利元， 则每件盈利元，每天销量为件，且. ∴． ， ∴当时，元． 答：每件商品降价元时，该商店每天有最大销售利润，最大销售利润为元. 19. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有根.现将它们堆放在一起. （1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢? （2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多根)，且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案? （Ⅱ）已知每根圆钢的直径为，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？ 【答案】（1）当时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）共有4中方案；（Ⅱ）选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. 【解析】 【分析】（1）n层一共放了根圆钢，需满足条件，求解不等式使剩余圆钢尽可能少；（2）分析出从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，利用等差数列求和公式列出圆钢总数，根据与n的奇偶性不同来确定方案；（3）层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以讨论当与两种情况是否符合题意即可. 【详解】（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，，第n层放n根， 所以n层一共放了根圆钢，由题意可知， 因为当时，，当时，， 所以当时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢； （2）（Ⅰ）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而，即， 因与n的奇偶性不同，所以与n的奇偶性也不同，且， 从而由上述等式得： 或或或， 共有4中方案可供选择； （Ⅱ）因为层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知： 若，则，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形的高为， 且，所以符合条件； 若，则，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形的高为，显然大于4m，不合条件，舍去. 综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. 【点睛】本题考查数列的应用，属于中档题. 20. 如图，已知和相交于、两点，过点作的切线交点，过点作两圆的割线分别交、于、，与相交于点， （1）求证：； （2）求证：； （3）当与为等圆时，且时，求与的面积的比值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用切线角与同弧所对角的性质得到，从而得到，由此得证； （2）结合（1）中结论，利用切割线定理即可得证； （3）利用三角形相似与勾股定理证得，从而得到的比值，再利用面积比与相似比的关系即可得解. 【小问1详解】 连接， 切于，， 又，， ，， . 【小问2详解】 由（1）得，则， 再根据切割线定理，得，. 【小问3详解】 连接，由（1）知，易得， 而，， 不妨设，，则，， ，， 为的直径，为的直径， 因为与为等圆，， ，，， ，. 21. 如图，抛物线交x轴于点和B，交y轴于点，顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点G的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点和点代入抛物线的表达式求得，得解； （2）将四边形分割，，并利用，建立方程求得点坐标； （3）由图形分析，对，，，四个点按顺时针和逆时针排成菱形，分别求出直线的表达式与抛物线联立的点坐标. 【小问1详解】 抛物线过点和点， ，， 抛物线的表达式为：. 【小问2详解】 设抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，如图， 设，对称轴为，， ，， ， 四边形的面积为， ，解得， . 【小问3详解】 存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且， 满足条件点坐标为或，理由如下： 如图，当，，，按逆时针顺序构成的四边形是菱形时，连接，， 四边形是菱形，且， 是等边三角形，又是等边三角形， 易证， ， 直线的表达式为， 与抛物线表达式联立，解得； 如图，当，，，按顺时针顺序构成的四边形是菱形时，连接，，， 四边形是菱形，且， 是等边三角形，又是等边三角形， 易证， ，又，， ， ， ， 直线的表达式为， 与抛物线表达式联立，，解得； 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $