专题12 全等三角形证明题刷题训练（含辅助线共60道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版）

专题12 全等三角形证明题刷题训练 （含辅助线共60道） 1．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：； (2)求证：． 2．（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 3．如图，AD是的中线，点E在BC的延长线上，，试说明：． 4．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 5．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，． (1)的度数为_______________； (2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由； (3)连接，若，求的长． 6．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明． 7．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：FA平分∠BFE． 8．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 9．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 11．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    12．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 14．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 15．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 17．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 18．如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题： （1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）； （2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论 19．如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证： （1）； （2）． 20．已知：如图，，，，求证：. 21．已知：如图所示，在中，平分，求证：． 22．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 23．如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证： 24．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 25．如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD． 27．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 28．如图，为中线，点在上，交于点，．求证：． 29．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 30．如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接） 31．如图，中，，E是的中点，求证：． 32．如图所示，，是的中点，，，求证． 33．如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥． 34．已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E． 求证：BE=CF． 35．如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：. 36．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 37．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 38．在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上． (1)如图1，若，请说明 (2)如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 39．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 40．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 41．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 42．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 43．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 44．如图所示，在中，是的平分线，，垂足为D．求证：．      45．如图，在四边形中，于M，，．求证： (1)； (2)． 46．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上． (1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______； (2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由． 47．如图，在中，，，为的中线，D在上，，垂足为H，连接．求证： (1)； (2)． 48．如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 49．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 50．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 51．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 52．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． (1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． (2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 53．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连结交于点． (1)请你找出一对全等的三角形，并加以证明； (2)直线是否互相垂直，请说明理由； (3)求证：； 54．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 55．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD． （1）求证：AD=AE； （2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数． 56．如图所示，是边长为1的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边交、于、，连结，求周长. 57．如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，． （1）如图，若点与点重合，求证：； （2）如图，请写出与之间的关系并证明． 58． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 59．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，△ABF、△ACE、△BCD均为等边三角形．求证：AD＝EF．    60．如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M． （1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由； （2）求证：BM＝DM+DC； （3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 全等三角形证明题刷题训练 （含辅助线共60道） 1．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）延长到点F，使得，连接，易证，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（AAS）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析 【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题； （2）由△ACE≌△BCD，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，CD=CE， ∴∠ACE=∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD， ∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠CBD=90°． ∴∠AHB=90°， ∴AE⊥BD． 故答案为AE=BD，AE⊥BD； （2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD， 理由如下：如图2中， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴∠AEC=180°-∠CED=135°， 由（2）可知：△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°， ∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°； 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM=DM=ME， ∴DE=2CM， ∴AD=DE+AE=2CM+BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 3．如图，AD是的中线，点E在BC的延长线上，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】延长至，使得，证明（SAS），进而证明，证明（SAS）即可得证． 【详解】证明：如图，延长至，使得， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ， ， , 在与中， ， ∴（SAS）， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，三角形的外角的性质，倍长中线是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 【答案】见解析 【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论． 【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC， ∵AB=AC，∠A=100°， ∴∠ABC=∠ACB=40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC=20°， ∵BF=BC， ∴∠F=∠BCF=80°， ∴∠FCE=∠ACB=40°， 在BC上取CF′=CF，连接EF′， 在△FCE与△F′CE中，， ∴△FCE≌△F′CE（SAS）， ∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°， ∴∠BF′E=100°， ∴∠A=∠BF′E， 在△ABE与△F′BE中，， ∴△ABE≌△F′BE（AAS）， ∴AE=EF′， ∴AE=EF， ∴AE+BE=BE+EF=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 5．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，． (1)的度数为_______________； (2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)小明，理由见解析 (3)5 【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，可证明△ADB≌△ADC，继而推出∠ADB=∠ADC进行计算即可； （2）小明更准确，△ABE是等边三角形．只需证明△ABD≌△EBC即可； （3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ， ∴△DBC是等边三角形 ， ∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°． 在△ADB和△ADC中，  ， ∴△ADB≌△ADC（SSS）， ∴∠ADB=∠ADC  ， ∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°． （2）解：小明的说法更准确，理由如下： ∵∠ABE=∠DBC=60°， ∴∠ABD=∠EBC ， 在△ABD和△EBC中， ∴△ABD≌△EBC（ASA）， ∴AB=BE ． ∵∠ABE=60° ， ∴△ABE是等边三角形． （3）解：连接DE，如图所示， ∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ， ∴∠DCE=90°， ∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ， ∴∠EDC=30° ， ∴ ． ∵△ABD≌△EBC， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 6．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明． 【答案】AC+BD=AB，理由见见解析 【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得，可得AF=AC，即可求解． 【详解】解：AC+BD=AB，证明如下： 在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示： ∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD， ∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD， 在△BEF和△BED中， ， ∴（SAS）， ∴∠BFE=∠D， ∵AC∥BD， ∴∠C+∠D=180°， ∵∠AFE+∠BFE=180°， ∴∠AFE+∠D=180°， ∴∠AFE=∠C， 在△AEF和△AEC中， ， ∴（AAS）， ∴AF=AC， ∵AF+BF=AB， ∴AC+BD=AB． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 7．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：FA平分∠BFE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据SAS证明结论即可； （2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． 由△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFE平分线上， ∴FA平分∠BFE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明． 8．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，见解析 【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF； （2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD． 【详解】（1）EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF， 即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； （2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键． 9．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论． 【详解】在上取点F，使    ∵，分别是，的平分线 ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键． 12．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）证明△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论； （2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAE， ∵DE⊥BA， ∴∠DEA=∠DEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠C=∠DEA=90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC=AE； （2）在AB上截取AM=AF，连接MD， 在△FAD和△MAD中， ， ∴△FAD≌△MAD（SAS）， ∴FD=MD，∠ADF=∠ADM， ∵BD=DF， ∴BD=MD， 在Rt△MDE和Rt△BDE中， ， ∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL）， ∴ME=BE， ∵AF=AM，且AF=1.4， ∴AM=1.4， ∵AB=7.4， ∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6， ∴BE＝BM＝3， 即BE的长为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键． 14．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°． 【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数， （2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案； （3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得． 【详解】解：（1）、分别是与的角平分线， ， ， ， （2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD， 由（1）得， ， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴， ∴， ∴， ∴ 在与中， ， ， ， ， ； ∵，， ∴ （3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 15．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 【答案】见解析 【分析】延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则． 【详解】证明：延长至点，使得，连接， 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°， ∵DB＝DC，∠DCB＝30°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°， 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD （SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°； （2）DE＝AD+CD， 理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM， ∵∠ADE＝60°，DM＝AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB＝∠AME＝120°． ∵AE＝AB， ∴∠ABD＝∠E， 在△ABD和△AEM中，， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD＝ME， ∵BD＝CD， ∴CD＝ME． ∵DE＝DM+ME， ∴DE＝AD+CD． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论， 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴ （2）如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形， ∴， ∵， 又∵，且， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴为等边三角形 ∴， 又∵，且， ∴， 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形． 18．如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题： （1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）； （2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论 【答案】（1）是（2）；见解析 【分析】（1）在BC上截取，根据，可得△ABE为等边三角形，，问题得解； （2）在△ABC中，在DC上截取，由AD是BC边上的高且，进而证明，△ABD≌△AED（SAS）就可以得到结论. 【详解】解：（1）如图，Rt△ABC中，，，， 在BC上截取，则△ABE为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，∴ ∵，且△ABE为等边三角形， ∴ ∴， ∴是高和三角形． （2）; 证明：如上图，在△ABC中，在DC上截取． ∵， ∴， ∵AD是BC边上的高且， ∴，△ABD≌△AED（SAS）， ∴，， ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形，理解“高和三角形”的定义是解题关键. 19．如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∠QBC＝40°，就有∠QBC＝∠C而得出结论； （2）延长AB至M，使得BM＝BP，连结MP，根据条件就可以得出∠M＝∠C，进而证明△AMP≌△ACP就可以得出结论． 【详解】（1）∵BQ是的角平分线， ∴． ∵，且，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长AB至M，使得，连结MP． ∴， ∵△ABC中，， ∴， ∵BQ平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AP平分， ∴， 在△AMP和△ACP中， ∵， ∴△AMP≌△ACP， ∴， ∵，， ∴ 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 20．已知：如图，，，，求证：. 【答案】详见解析 【分析】由于DA=DB，想到作DE⊥AB，构造直角∠AED，只需要证明∠ACD=∠AED，本题就得解．从而转化为说明△AED≌△ACD的问题． 【详解】如图所示，作DE⊥AB于E， ∵DA=DB，DE⊥AB， ∴AE=EB=AB，∠AED=90°， ∵AB=2AC， ∴AC=AB， ∴AC=AE， 在△ACD和△AED中， ∵AC=AE，∠2=∠1，AD=AD， ∴△ACD≌△AED(SAS)， ∴∠ACD=∠AED=90°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；解题时主要运用了全等三角形问题中常用辅助线-截长补短，通过辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解题，这是一种非常重要的方法，注意掌握． 21．已知：如图所示，在中，平分，求证：． 【答案】详见解析 【分析】在AB上截，连结DE，则可证得，可得∠AED=∠C=2∠B，ED=CD，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE=DE=CD，可得结论． 【详解】证明：在AB上截，连结DE， 在△ADE和△ACD中， ， ， ， ∵ ∴， 又， ， ， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是在AB上截构建全等三角形． 22．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 【答案】证明见解析． 【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答． 【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG． ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2．   ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 23．如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证： 【答案】见解析 【分析】首先延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，由BD＋DC＝AB，易得△ABE是等边三角形，继而证得△ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD＝∠E＝60°． 【详解】延长BD至E，使，连接AE，AD， ∵，， ∴， ∵， ∴△ABE是等边三角形， ∴，， 在△ACD和△ADE中， ， ∴△ACD≌△ADE（SSS）， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 24．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 【答案】（1）4；（2）见解析 【分析】（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解决问题； （2）延长至点，使得，连接，首先证明，再证明，得出，进而得出结果即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ， ∴是等边三角形，，则， ∵是顶角的等腰三角形， ， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴是等边三角形，， ，， ∴的周长． （2）如图，延长至点，使得，连接， ∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ∵， ， 在和中， ． ， 又∵， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键． 25．如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：． 【答案】见解析 【分析】在线段上取点，使得，连接，通过证明可得，即，可推出，再根据，即可得证． 【详解】证明：如图，在线段上取点，使得，连接， ， ，，， 在中，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD． 【答案】见解析 【分析】在线段BC上截取BE=BA，连接DE．则只需证明CD=CE即可．结合角度证明∠CDE=∠CED． 【详解】解：证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBD=∠ABC． 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD．（SAS） ∴∠BED=∠A=108°，∠ADB=∠EDB． 又∵AB=AC，∠A=108°，∠ACB=∠ABC=×（180°-108°）=36°， ∴∠ABD=∠EBD=18°． ∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°． ∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°． ∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°． ∴∠CDE=∠DEC． ∴CD=CE． ∴BC=BE+EC=AB+CD． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，综合性较强． 27．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】见解析. 【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可． 【详解】证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键． 28．如图，为中线，点在上，交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．延长至点，使，连接．结合题意可证明，得到，．由，可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中，， ， ，． ， ． ， ， ， ． 29．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 30．如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接） 【答案】见解析 【分析】延长至，使，连接．先证明．得到，，再利用外角性质及等式的性质得到，进而得到，最后即可得到． 【详解】证明：如图，延长至，使，连接． ∵是的中线， ∴． 在与中， ， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵，， ， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 31．如图，中，，E是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用中线加倍证（），可得，，由，可得进而可证.，再证（）即可． 【详解】证明：延长到F，使，连结 ， ∵E是中点， ∴ ， ∴在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴ ． 【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键． 32．如图所示，，是的中点，，，求证． 【答案】见解析 【分析】延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF＝∠ACD，再结合条件可得到∠ANC＝90°，可证得结论． 【详解】证明：延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N， ∵BM＝EM， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAD＋∠BAE＝180°， ∴∠ABF＝∠CAD， ∵BF＝AE，AD＝AE， ∴BF＝AD， 在△ABF和△CAD中，， ∴△ABF≌△CAD（SAS）， ∴∠BAF＝∠ACD， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAF＋∠CAF＝90°， ∴∠ACD＋∠CAF＝90°， ∴∠AHC＝90°， ∴AM⊥CD． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF＝∠ACD是解题的关键． 33．如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥． 【答案】见解析 【分析】延长到，使，连结，易证≌，可得，，然后根据及可得，问题得证. 【详解】延长到，使，连结，利用易证≌， ∴，． 又， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴∥． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理，通过作辅助线构造全等三角形是解题关键. 34．已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E． 求证：BE=CF． 【答案】见解析. 【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM＝∠N，所以BE＝BN＝CF. 【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点， ∵BN∥AC，BM＝CM， ∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F， ∴△BMN≌△CMF， ∴CF＝BN， 又∵MF//AD，AD平分∠BAC， ∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM， ∴∠BEM＝∠N， ∴BE＝BN＝CF. 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 35．如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：. 【答案】见解析 【分析】延长GE至Q，使EQ=EG，连接CQ，根据SAS证△BEG≌△CEQ，推出BG=CQ，∠BGE=∠Q，又由BG=CF得CQ=CF，所以得∠F=∠Q，则∠BGE=∠F，再根据平行线的性质得∠BGE=∠BAD，∠F=∠CAD，于是得∠BAD=∠CAD，所以结论得证. 【详解】证明：：延长GE至Q，使EQ=EG，连接CQ. ∵点E是BC中点， ∴BE=CE， 在△BEG和△CEQ中， ∵GE=QE，∠BEG=∠CEQ，BE=CE ∴△BEG≌△CEQ(SAS)， ∴BG=CQ，∠BGE=∠Q， 又∵BG=CF， ∴CQ=CF， ∴∠F=∠Q， ∴∠BGE=∠F， ∵EF∥AD， ∴∠BGE=∠BAD，∠F=∠CAD， ∴∠BAD=∠CAD， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和角平分线的判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力，正确作辅助线是解此题的关键. 36．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 37．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 【答案】(1)详见解析 (2)ED＝2 【分析】（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q， ∵△ABC为等边三角形， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF， 又∵AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△DPF和△DQC中，， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴DP=DQ； （2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC， 可得AE＝EF， 由（1）知，△DPF≌△DQC ∴FD＝CD， ∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD， ∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED， ∵AC＝BC＝4， ∴2ED＝4， ∴ED＝2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 38．在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上． (1)如图1，若，请说明 (2)如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由，，可得，结合，，可证，即可求解， （2）在上取点，使，通过证明，，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， （2）解：在上取点，使， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ，即， ， ，即：， ． 39．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 40．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DCF＝45°． 【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论； （2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°． 【详解】证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 41．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 【答案】见解析 【详解】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可． 试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD （SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD． 点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度． 42．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【答案】（1）见详解；（2）图2：，图3： 【分析】（1）在线段上截取，连接，，证明，可得到，即可求解． （2）当点在线段延长线上时，在的延长线上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得；当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得． 【详解】解：（1）证明：在线段上截取，连接，    ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）当点在线段延长线上时， 如图2：在的延长线上截取，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 当点在线段延长线上时， 如图3：当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴，，且 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键． 43．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【详解】（1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键． 44．如图所示，在中，是的平分线，，垂足为D．求证：．    【答案】详见解析 【分析】延长交于点F，是的角平分线且，得到，则，由三角形外角的性质得到，即可得到结论． 【详解】证明：如图所示，延长交于点F．    ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 45．如图，在四边形中，于M，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先作辅助线，证明，再证明，最后用邻补角的定义和等量代换即可证明； （2）利用（1）中三角形全等，得出相等线段，再等量代换即可． 【详解】（1）证明：如图，过C点作，交的延长线于E点． ∵，， ∴， 在和中， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． （2）由(1)知， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，通过添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 46．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上． (1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______； (2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】（1）延长与交于点G，先证明，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，再根据，可得，据此判断即可． （2）过点D作，与交于H，与的延长线交于G，根据，，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；最后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，所以，据此判断即可． 【详解】（1）如图1，延长与交于点G， ， ， ， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）结论：， 理由如下：如图2，过点D作，与交于H，与的延长线交于G， ， ，， ， ， 又， 同理（1）可得，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 47．如图，在中，，，为的中线，D在上，，垂足为H，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证，又得，从而即可证明； （2）作交延长线于点F，先证得，再证得，从而即可得证． 【详解】（1）证明：∵，垂足为H， ∴， ∴， 又 ∴， ∴． （2）证明：作交延长线于点F， ∴， 又 ∴ 在和中，    ∴， ∴， 又为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、中线定义以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 48．如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】如图所示（见详解），过点作的延长线于，平分，于点，可证，，可求出，可证，则有，，由此即可求证． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线于， ∵平分，， ∴，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴在，中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明． 49．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的可求得，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论； （2）利用证明即可证明结论； （3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴平分，平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵，   ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键． 50．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）且 【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围； （2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系． 【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，可得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴边上的中线的取值范围为：； （2）且，证明如下： 如下图，延长，使得，延长与交于点H， 由（1）可易证， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，且． 【点睛】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 51．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）结论：． 理由：如图2中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 52．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． (1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． (2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数． 【详解】（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为AB的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴DE与DC之间的数量关系是． （3）如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ED⊥DC， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． 53．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连结交于点． (1)请你找出一对全等的三角形，并加以证明； (2)直线是否互相垂直，请说明理由； (3)求证：； 【答案】(1)≌，证明见解析； (2)，理由见解析； (3)见解析 【分析】（1）根据条件可证得，又，，所以由SAS可证≌； （2），由（1）≌可得，然后根据互余可证，从而得； （3）作于，于，根据可证，从而可得． 【详解】（1）≌， 理由是： ∵ ∴ 即 又∵， ∴≌ （2）， 理由是： ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （3）作于，于 ∵≌ ∴， ∴ ∴ ∴是的平分线 即． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键． 54．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【答案】见解析 【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可； 方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可． 【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G． ∴∠F=∠CGE=90°， 在△BFE和△CGE中，， ∴△BFE≌△CGE（AAS）， ∴BF=CG， 在△ABF和△DCG中，， ∴△ABF≌△DCG（AAS）， ∴AB=CD； 方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F． ∴∠F=∠BAE． 又∵∠BAE=∠D， ∴∠F=∠D， ∴CF=CD， 在△ABE和△FCE中，， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB=CF， ∴AB=CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 55．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD． （1）求证：AD=AE； （2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°． 【分析】（1）根据∠BAC=90°，EA⊥AD，可得∠BAD=∠CAE，然后根据AB=AC，∠ACE=∠ABD，可证明△ABD≌△ACE，继而可得出AD=AE； （2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，易证△ADF≌△MCF，可得出AD=AE=CM，易证∠BAE=∠ACM，从而证得△ABE≌△CAM，通过∠ABG=∠CAF，得到∠AGE=90°． 【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，EA⊥AD， ∴∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴AD=AE； （2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC， 在△ADF与△MCF中， ， ∴△ADF≌△MCF（SAS）， ∴AD=CM，∠DAF=∠M， ∴AD∥CM， ∴∠ACM+∠DAC=180°， ∵△ABD≌△ACE， ∴AD=AE， ∴AD=AE=CM， ∵∠BAC+∠DAE=180°， ∴∠BAC+∠DAC+∠CAE=180°， ∴∠BAE+∠DAC=180°， ∴∠BAE=∠ACM， 在△ABE和△CAM中， ， ∴△ABE≌△CAM（SAS）， ∴∠ABG=∠CAF， ∵∠CAF+∠BAG=90°， ∴∠ABG+∠BAG=90°， ∴∠AGB=∠AGE=90°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键． 56．如图所示，是边长为1的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边交、于、，连结，求周长. 【答案】△AMN的周长为2． 【分析】根据已知条件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，证明△DMN≌△DEN，得到对应边相等即可解题. 【详解】如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，   ∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°， ∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°， 又∵BM=CE，BD=CD， ∴△CDE≌△BDM， ∴∠CDE=∠BDM，DE=DM， ∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°， ∵在△DMN和△DEN中， ， ∴△DMN≌△DEN， ∴MN=NE=CE+CN=BM+CN， ∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与应用,截长补短的数学方法,中等难度,作辅助线证明全等是解题关键. 57．如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，． （1）如图，若点与点重合，求证：； （2）如图，请写出与之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF⊥DG,证明详见解析. 【分析】(1) 利用条件先△DAE≌△DBF,从而得出△FDE是等腰直角三角形,再证明△AEF是等腰直角三角形,即可. (2) 延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM, 先证明△BGM≌△EGD,再证明△BDM≌△DAF即可推出. 【详解】解:（1）证明:设BE与AD交于点H..如图， ∵AD,BE分别为BC,AC边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE≌△DBF. ∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G为BE中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF⊥DF. （2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM, ∵点G为BE的中点,BG=GE. ∵∠BGM∠EGD, ∴△BGM≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF⊥DG. ∴AF=2DG,且AF⊥DG 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质. 58． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 59．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，△ABF、△ACE、△BCD均为等边三角形．求证：AD＝EF．    【答案】见解析． 【分析】如图（见解析），连接CF，先根据等边三角形的性质、角的和差得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，同理根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等量代换即可得证． 【详解】如图，连接CF 、、均为等边三角形 又 ，即 又 ．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 60．如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M． （1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由； （2）求证：BM＝DM+DC； （3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）∠BDC＝∠CAB，见解析；（2）见解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理得出，，又∠ABE＝∠ACF，则进行计算即可得解； （2）作AN⊥CF于N，连接AD，易证，由AAS证得△AMB≌△ANC得出BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，由HL证得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出结论； （3）作AN⊥CF于N，连接AD，易证，由AAS证得△AMB≌△ANC得出，AM＝AN，由HL证得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出结论． 【详解】（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下： ∵， ， ∠ABE＝∠ACF， ∴ ＝ ＝ ∴； （2）证明：作AN⊥CF于N，连接AD，如图1所示： ∵AM⊥BD， ∴， 在△AMB和△ANC中， ， ∴△AMB≌△ANC， ∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN， 在Rt△AMD和Rt△AND中， ， ∴Rt△AMD≌Rt△AND， ∴DM＝DN， ∴BM＝DM+DC； （3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下： 作AN⊥CF于N，连接AD，如图2所示： ∵AM⊥BD， ∴， 在△AMB和△ANC中， ， ∴△AMB≌△ANC， ∴，AM＝AN， 在Rt△AMD与Rt△AND中， ， ∴Rt△AMD≌Rt△AND， ∴DM＝DN， ∴． 【点睛】本题主要考查了角的和差倍分及三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$