专题11 全等三角形证明题刷题训练（不含辅助线共60道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版）

专题11 全等三角形证明题刷题训练 （不含辅助线共60道） 1．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 2．如图，在中，的平分线交于点，点为上一点，连接，． (1)试说明是线段的垂直平分线； (2)若点在延长线上，连接，且满足．求证：． 3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． (1)判断的形状； (2)求证：平分． 4．如图，A，D，E三点在同一条直线上，，．求证：． 5．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分平分，且，求的度数． 6．如图，已知．试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 7．如图，点A在的边上，，，，求证：． 8．已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 9．已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， (1)求证：； (2)求的周长． 10．已知，如圈，于于，连结交于点，猜想点为哪些线段的中点？选择一种结论证明． 11．如图，点D，E在的边BC上，．    (1)求证：； (2)若，求证：． 12．如图，在中，为的角平分线．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 13．如图，在中，，的角平分线相交于点，过点作交的延长线于点，交于点， (1)求的度数； (2)求证：． 14．如图所示，和都是等腰直角三角形，是斜边，点C是直线上的一动点，点C不与D、E重合，连接． (1)在图①中，当点C在D、E两点之间时，求证：； (2)在图②中，当点C在的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请你猜想此时的数量关系，并说明理由． 15．在中，分别延长中线至　，使，，连接．求证：　    16．如图，在中，平分交于点，过点作交的延长线于点．若是上的一点，且，求证：． 17．如图1，在中，，，点在边上，于点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：； (2)如图2，过点作交于点，连接交于点． 判断的形状，并说明理由． 18．如图，在和中，点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 19．如图，在与中，在边上，，，， (1)求证：． (2)若，求的度数． 20．如图，已知点在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 21．已知在中，，将绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到，连接与相交于点的延长线与相交于点G． (1)求证： (2)探究当与满足什么关系时，． 22．如图，在中，，，于，点在边上． (1)求证：； (2)若，，且的面积等于，求的长； (3)若，直接写出线段，，的数量关系： ． 23．如图，在中，在上取一点E，使，过点E作交的延长线于点F. (1)求证； (2)若，求的长. 24．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，，求的周长． 25．如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 26．如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E． (1)当时，______，______． (2)当线段DC的长度为何值时，？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 27．如图：在中，，在上截取，在的延长线上截取，连接．    (1)求证：； (2)与的位置关系如何，请说明理由． 28．如图，，点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)请判断的形状，并说明理由． 29．在中，，平分交于D，E、F分别在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 30．如图，为线段上一动点，（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若改变的位置，其余条件都不变，点恰好为的中点时，请问是否也为的中点，并说明理由． 31． 如图①，连接和的顶点A、B和C、D交于点P，和交于点E，其中，，． (1)求证：； (2)在（1）的条件下， 如图②，若A，O，D三点在同一条直线上，求证： 32．综合与实践 在和中，，，，． 操作发现： （1）如图1，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 特例分析： （2）如图2，，点，，在一条直线上，连接，求的度数． （3）如图3，，点，，在一条直线上，连接． ①求的度数； ②过点作于点，直接写出，，之间的数量关系． 33．如图，在中，． (1)求的度数； (2)过点Q作，交AP的延长线于点B，求证：． 34．如图所示，在图1、2中，． (1)在图1中证明：； (2)利用图2证明：； (3)拓展与应用：如图3，若，求证：． 35．已知，在等边中，点D为射线上一点（点D与点B不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图1，当点D是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，当动点D在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 36．如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． (1)求证：； (2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 37．已知，，．        (1)如图1，求证：； (2)如图2，与相交于点，若，，求的度数． 38．如图，在一块大三角形模板中镶嵌一个小三角形模板，已知，大三角形模板中有两条边相等，镶嵌后，小三角形模板的顶点D恰好是的中点，且于点E，于点F，求的度数． 39．如图，已知，以为边构造等边，连接，在上取一点，使，在上取一点，使，连接． (1)求证：； (2)，，三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由． 40．如图，，，，，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 41．如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 42．如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、，并延长交于点P； (1)求证：； (2)试说明； (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 43．如图，在中，， ，D是边上的一点，连接并延长到点E，连接、，平分交于点F． (1)若，，求； (2)已知，，求证：． 44．如图，，，，交于点E，．    (1)求的度数； (2)平行于吗？说明理由； (3)求∠BAC的度数． 45．如图，．求证：． 46．在中，是的中点，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 47．如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求． 48．在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 49．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：； (2)试判：与的关系？并说明理由． 50．如图，点E在上，．求证：． 51．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 52．已知图中和都是等边三角形，点可沿边翻折至边上的点． (1)求证：； (2)试用等式写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； 53．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 54．如图在中，平分，交边于点E，D是边上的一点，，连接． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 55．已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 56．如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 57．在中，，，过点作直线，分别过点，，作，，垂足分别为，（点，不重合）． (1)如图，当点，在直线的同侧时，求证； (2)当点A，B在直线的异侧时，其他条件不变，在备用图中画出图形，判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 58．如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，原题设其它条件不变．求证：． 59．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 60．如图，    (1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； (2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 全等三角形证明题刷题训练 （不含辅助线共60道） 1．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据证明即可； （2）根据，得出，，根据等腰三角形的性质求出，再求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴(垂直的定义)， ∴， ∴（同角的余角相等）， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，的平分线交于点，点为上一点，连接，． (1)试说明是线段的垂直平分线； (2)若点在延长线上，连接，且满足．求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）证明，则，根据等腰三角形的性质即可求证； （2）证明，则，即可求证． 【详解】（1）证明：平分， ． 在和中， ． ∴， ∵， ∴， 是线段的垂直平分线； （2）证明：在和中， ． ． ． 3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． (1)判断的形状； (2)求证：平分． 【答案】(1)等边三角形 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键． （1）依题意，将绕点逆时针旋转，得到，找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状； （2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分． 【详解】（1）解： 绕点逆时针旋转， ，， 为等边三角形； （2）证明： 绕点逆时针旋转， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 平分． 4．如图，A，D，E三点在同一条直线上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确理解全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，可得和，因此，再根据“角角边”定理即可证明结论． 【详解】证明：， ， 又， ， ， ∴在和中， ， ． 5．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线有关的计算．解题的关键是证明三角形全等． （1）先证明，得到，即可得证； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义，求出的度数，再根据角平分线定义，即可得解． 【详解】（1）证明：为中点， ， ． ， 在和中， ； （2）解：平分 ， ． 平分， ， ． 6．如图，已知．试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】解：结论：， 理由：如图，设与交于点O，Q， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．如图，点A在的边上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有，，，，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据平行线的性质得出，再根据证明，进而解答即可． 【详解】证明：， ． 在和中， ． ． 8．已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，即可； 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2）． 证明如下：由（1）知， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 9．已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， (1)求证：； (2)求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平分证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，由先求出的值，再求出的值，即得到的周长． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、根据转化思想求三角形的周长等知识与方法，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ． （2）解：∵， ， ， ， 的周长是． 10．已知，如圈，于于，连结交于点，猜想点为哪些线段的中点？选择一种结论证明． 【答案】点是的中点，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．先根据证明得，再根据证明即可得出结论． 【详解】解： 则在和中， 与于 在和中， ， ∴，即 ∴点是的中点． 11．如图，点D，E在的边BC上，．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等有，再根据等边对等角的性质即可证明． （2）利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得， ，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ， ． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由(1)知∶ ， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，为的角平分线．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由角平分线定义得出，由作图知由可证明； （2）由作图知：得出由等腰三角形的性质求出则可得出答案． 【详解】（1）证明： ∵是的角平分线， ∴， 由作图知：， 在和中， ∴． （2）∵为的角平分线， 由作图知 ∴ 为的角平分线， ． 13．如图，在中，，的角平分线相交于点，过点作交的延长线于点，交于点， (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定： （1）先根据三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得； （2）证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ ∴， ∴． 14．如图所示，和都是等腰直角三角形，是斜边，点C是直线上的一动点，点C不与D、E重合，连接． (1)在图①中，当点C在D、E两点之间时，求证：； (2)在图②中，当点C在的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请你猜想此时的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当点C在的延长线上时，结论不成立，，理由见解析． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的概念得到，证明，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当点C在的延长线上时，结论不成立，此时的数量关系为，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形 ∴， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．在中，分别延长中线至　，使，，连接．求证：　    【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，根据中线得，再利用证明，，从而得到，，利用等量代换从而得到结论． 【详解】证明：是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在 与中， ， ， ， ． 16．如图，在中，平分交于点，过点作交的延长线于点．若是上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义综合判定，利用等角对等边得出，运用判定，即可得到结论． 【详解】解：证明：平分， ， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 17．如图1，在中，，，点在边上，于点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：； (2)如图2，过点作交于点，连接交于点． 判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定； （1）根据等角的余角相等得出，进而根据平行弦的性质得出，根据，即可证明； （2）先证明，由（1）知，，得出，可得，根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证． 【详解】（1）如图，    ， ． ， ， ． ， ． 又 ， （）． （2）如图4．2， 是等腰三角形，且．        ， ，． ， ． ． ， 又 ． （）． 由（1）知，， ，             ． ， ． ． ，即是等腰三角形． 18．如图，在和中，点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由可得，利用即可证明； （），可得，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴． 19．如图，在与中，在边上，，，， (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据即可证明． （2）先根据全等三角形的性质得到，则，根据平角的定义即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）， ，即， 在和中，， ， （2）， ， 又， ∴， 又， ， ． 20．如图，已知点在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（）根据等边三角形性质得到，，，进而推导出，根据可证明，即可求证； （）是等边三角形．由得到，由可得，进而得到，即可证明，得到，根据等边三角形的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在 和中， ， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴是等边三角形． 21．已知在中，，将绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到，连接与相交于点的延长线与相交于点G． (1)求证： (2)探究当与满足什么关系时，． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，根据等边对等角，进行求证即可； （2）根据旋转的性质，结合全等三角形的性质，倒推角的关系，再根据全等的判定方法，证明即可． 【详解】（1）证明：∵旋转， ，， ∴， ，， ∵， ． （2）当时，． 证明如下： ，而， ， ， 又，且由（1）知，即， ． 22．如图，在中，，，于，点在边上． (1)求证：； (2)若，，且的面积等于，求的长； (3)若，直接写出线段，，的数量关系： ． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由，那么，利用可证，由全等三角形的性质即可得出； （）求出的面积，由，证得，然后根据即可求得； （）由，，根据，即可得出结论； 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（）得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵，， ∴． 23．如图，在中，在上取一点E，使，过点E作交的延长线于点F. (1)求证； (2)若，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由，，得到，从而得到即可证明； （2）由，，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵ ∴ 在中，， 在中，， ∴ 在与中， ， ∴． （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴． 24．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形； （2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】（1）证明：， ，． 平分， ． ． ． 是等腰三角形． （2）是的中点， ． ， ． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ． ． ， ． ． ， 的周长． 25．如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再根据定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）已证：， ， ． 26．如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E． (1)当时，______，______． (2)当线段DC的长度为何值时，？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，，理由见解析； (3)或，理由见解析． 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，得到答案； （2）当时，利用，，得到，即可求证； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当时， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ①当时， ； ②当时， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， 综上所述，当的度数为 或时，的形状是等腰三角形． 27．如图：在中，，在上截取，在的延长线上截取，连接．    (1)求证：； (2)与的位置关系如何，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）利用垂线的定义得出，由对顶角相等得出，从而得出，证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）； （2）解：位置关系是， 理由为：， ， 又，， ， ． 28．如图，，点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（）直接利用证明即可； （）由得到，进而得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 29．在中，，平分交于D，E、F分别在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，得出，证出，得出，证明，得出，即可得出结论． 此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 30．如图，为线段上一动点，（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若改变的位置，其余条件都不变，点恰好为的中点时，请问是否也为的中点，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合等边三角形的性质，利用“”证明，即可证明结论； （2）首先证明，再利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （3）首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即，再结合全等三角形的性质可得，即，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证明为中点． 【详解】（1）证明：∵和是正三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （3）∵为中点，为等边三角形， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴为中点． 31． 如图①，连接和的顶点A、B和C、D交于点P，和交于点E，其中，，． (1)求证：； (2)在（1）的条件下， 如图②，若A，O，D三点在同一条直线上，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质等知识． （1）由“”可证，可得； （2）由得，，从而得出，，根据和进一步得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ∴； （2）证明：由（1）知：， ，， ，， ，， ， ， ∴． 32．综合与实践 在和中，，，，． 操作发现： （1）如图1，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 特例分析： （2）如图2，，点，，在一条直线上，连接，求的度数． （3）如图3，，点，，在一条直线上，连接． ①求的度数； ②过点作于点，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）①，②，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握类比推理的方法是解题的关键． （1）可证，从而可证，即可求解； （2）可证，可求，即可求解； （3）①可证，从而可证，可求，即可求解；②由，可得，再结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1） ，，， ， ， 在和中 ， ()， ； （2）∵，，， ∴和是等边三角形， ∴， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ∴， ， （3）① ， ，， ∴， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ②∵， ∴， ， ． ∵，，， ∴，即， ∴． 33．如图，在中，． (1)求的度数； (2)过点Q作，交AP的延长线于点B，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内外角和关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证是等边三角形，得到，再证为等腰三角形，得到，即可得到答案； （2）先证是等边三角形，得到，根据角边角判定即可得到证明； 【详解】（1）解：， ∴是等边三角形， ， ， ， 为的外角 ， ， ； （2）证明：∵是等边三角形， ， ， ， 在和中， ∵， ∴． 34．如图所示，在图1、2中，． (1)在图1中证明：； (2)利用图2证明：； (3)拓展与应用：如图3，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先根据角的和差及等量代换可得，然后结合已知条件利用即可证明结论； （2）先证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质及角的和差可得，再证可得，最后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴, 即， 在和中， ，，， ∴． （2）证明：∵， ∴, 即， 在和中， ，，， ∴, ∴, ∴， 即：． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴, ∴, ∴， 即：． 35．已知，在等边中，点D为射线上一点（点D与点B不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图1，当点D是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，当动点D在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质； （1）根据等边中点D是边中点得到，根据是等边三角形得到，即可得到答案； （2）根据是等边三角形，得到，，根据是等边三角形得到，，即可得到，即可证明即可得到证明； （3）先证明，结合（2）即可得到答案； 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵当点D是边中点 ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （2）证明：①当点D在上时（点D与点B不重合） ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，，， ∴， 即， 在和中 ∵， ∴， ∴； ②当点D在的延长线上时，同理可证， 综上，； （3）解：∵， ， ∴ 在和中 ∵， ∴， 又由（2）知，， ∴， ∴． 36．如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． (1)求证：； (2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，利用五边形ABFDG的面积，求出，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵五边形的面积， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：3． 37．已知，，．        (1)如图1，求证：； (2)如图2，与相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）利用三角形全等判定与性质，证得，即可得证； （2）利用全等三角形性质得到，再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知，， 在中，是其外角，则， 在中，． 38．如图，在一块大三角形模板中镶嵌一个小三角形模板，已知，大三角形模板中有两条边相等，镶嵌后，小三角形模板的顶点D恰好是的中点，且于点E，于点F，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理求出，则由平角的定义得到，再证明，得到，据此可证明是等边三角形，则． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴ ∵D是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 39．如图，已知，以为边构造等边，连接，在上取一点，使，在上取一点，使，连接． (1)求证：； (2)，，三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）先证明是等边三角形，根据性质得，再通过证明三角形全等即可； （）由全等三角形的性质即可证明； 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：结论：． 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．如图，，，，，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，得到，继而得到，得证，证明即可得证． （2）根据得到，设与交于点G．利用对顶角相等，三角形内角和定理，邻补角的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）设与交于点G． ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形内角和定理，邻补角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，对顶角的性质是解题的关键． 41．如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． （1）根据等边三角形性质推出，求出，根据证即可； （2）根据等边三角形性质推出，根据三角形外角性质推出，求出的度数，根据对顶角相等求出即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ． （2）证明：如图，与交于点G， ， ， ， ， ， ， ． 42．如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、，并延长交于点P； (1)求证：； (2)试说明； (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 (3)不发生变化；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定定理内容是解题关键． （1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：不发生变化，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 43．如图，在中，， ，D是边上的一点，连接并延长到点E，连接、，平分交于点F． (1)若，，求； (2)已知，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质， （1）根据角平分线的定义得，等腰三角形的性质，结合三角形外角解答即可； （2）根据全等三角形的性质判定与性质先证明，然后证明即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 44．如图，，，，交于点E，．    (1)求的度数； (2)平行于吗？说明理由； (3)求∠BAC的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质得到，进而可证明； （2）先由平行线的性质得到，由全等三角形的性质得到，则，即可证明； （3）由，可知，然后由可求得，从而可求得的度数． 【详解】（1）解：， ． ． ． （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ． ． （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 45．如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得到即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 46．在中，是的中点，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等 （1）证明，得出； （2）由平行线的性质得出，，由角平分线的定义可得出答案． 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）， ，， ， ， 平分， ． 47．如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、同角的余角相等、三角形内角和定理，熟练掌握并应用上述知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，再加上两组边对应相等即可证明； （2）由全等三角形的性质可得对应的边、角相等，再加上由等腰三角形求出的底角度数即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ，， 又， ， ． 48．在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （2）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （3）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 49．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：； (2)试判：与的关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）易证，又，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先证，得出，，再由，，则，即可得出结论 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ； （2）解：与的关系为：，，理由如下： ， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ，， 又，， ， ． 50．如图，点E在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用及公共边证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ． 51．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）是边上的中线， ， ∵， ， 在和中， ， ∴； （2），， ， ∵， ， ， ． 52．已知图中和都是等边三角形，点可沿边翻折至边上的点． (1)求证：； (2)试用等式写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质： （1）根据和都是等边三角形推出和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段，，的数量关系． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵点C与点F关于对称， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴． 53．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故． ②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证． （2）题干已知条件可证，故，，从而可证明． 【详解】（1）解：① 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴，即． 54．如图在中，平分，交边于点E，D是边上的一点，，连接． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 55．已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 56．如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键． （1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论； （2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴ ． 57．在中，，，过点作直线，分别过点，，作，，垂足分别为，（点，不重合）． (1)如图，当点，在直线的同侧时，求证； (2)当点A，B在直线的异侧时，其他条件不变，在备用图中画出图形，判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中结论不成立，结论应该是，理由见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． （1）证明，得，，根据线段的和差即可解决问题； （2）根据题意画出图形，同（1）的方法证明，得，，根据线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）（1）中结论不成立，结论应该是，理由如下： 如图所示，当点，在直线的异侧时， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 58．如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，原题设其它条件不变．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得； （2）判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 59．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）①由已知推出，因为，，推出，根据“”即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）； ②由（1）知：， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）；， ，， ． 60．如图，    (1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； (2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②相等 (2)；，理由见详解； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得到的度数；由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，即可得到线段、、之间的数量关系； （3）证明，得到，推出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：① 和都是等边三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ② ， ， 故答案为：； （2）解： 和都是等腰直角三角形，， ，， ，   在与中，， ， ， ，点B、D、E在同一条直线上， ， ， ， 都是等腰直角三角形，， ， ， ， 的度数为，线段之间的数量关系为：； （3）解：根据（1）（2）中结论可知：，得， 和都是等腰三角形，， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$