专题10 全等三角形证明题常用模型分类训练（8种类型80道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版）

专题10 全等三角形证明题常用模型分类训练 （8种类型79道） 专题目录 【类型1 半角模型】 1 【类型2 手拉手模型】 26 【类型3 一线三等角模型】 45 【类型4 角平分线性质运用】 63 【类型5垂直平分线性质运用】 74 【类型6 平移模型】 88 【类型7 轴对称模型】 95 【类型8 旋转模型】 102 【类型1 半角模型】 1．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）如图1，    ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2），理由如下：如图2， ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，    ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴， 即：， （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，．    ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条线段转化到一条直线上，希望多加体会． 3．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 4．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下： 如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°， ∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'， ∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，   ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键． 5．问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4） 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 6．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析． 【分析】（1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等，将EF转换为GE，证得EF=BE+DF， （2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形ABG和三角形ADF全等， （3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，用（1）中方法，可证得DF=BG，GE=EF，则EF=GE=BE-BG=BE-DF 【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG， 在与中， ； （2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下， 证明：如图，延长CB到M，使BM=DF， 在与中 即 在与中 即 ； （3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下， 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， 在与中 ． 【点睛】本题考查四边形综合题，三角形全等的判定与性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 7．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解． 【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案； （3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长CD，使DM=BE，连接AM， ∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°， ∴， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠MAF=45°， 又∵AF=AF，AE=AM， ∴， ∴EF=MF=MD+DF=BE+DF； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°， ∵BE＝DG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD， ∵， ∴∠EAF＝∠FAG， 又∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF； （3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF． ∵AE＝AE，AG＝AF． ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE−BG ∴EF＝BE−FD． 【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 8．问题背景 如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．    探究发现 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后再证明，从而得出结论：______； 拓展延伸 （2）如图②，在四边形中，，，点，分别是边，上的点，且，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接，已知，，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立．证明见解析；（3）正方形的边长为6． 【分析】（1）证明，可得，即可得出结论； （2）要探究，，之间的数量关系，方法同（1）即可得出结论； （3）根据（1）（2）的结论和勾股定理，即可求出正方形的边长. 【详解】（1）解：由旋转得：AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵， ∴∠EAG=120°， ∵, ∴∠GAF=, 又∵AF=AF， ∴， ∴EF=GF， ∵GF=DG+DF， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立. 证明：如解图，将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合.    则，，，， 又∵， ∴， ∴，，三点共线. ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：由（1）（2）可知． 设正方形的边长为， 则，， 在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 故正方形的边长为6. 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，正方形的性质，解题中注意类比方法的运用，同样的类型题可以运用同样的思路及方法进行证明. 9．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】（1）BM+NC＝MN，；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）NC﹣BM＝MN，详见解析 【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD＝BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，此时 ； （2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN． 【详解】（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN． 此时 ． 理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°， ∵DM＝DN，BD＝CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN， ∴DM＝2BM，DN＝2CN， ∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN； ∴AM＝AN， ∴△AMN是等边三角形， ∵AB＝AM+BM， ∴AM：AB＝2：3， ∴； （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC， ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC， ∴； （3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N． ∴NC﹣BM＝MN． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理． 【类型2 手拉手模型】 10．如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵，， ∴ （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，或 11．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容是解题关键．根据条件证即可求解． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质及角的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ， 在与中， ． （2），理由如下： 设交于点O， 由（1）得， ， ， ， ． 12．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 13．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证； （2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ， 即， ≌； （2）解：≌， ， ， ； （3）证明：如图，作于点于点， ， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 14．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出； （2）由得：，再根据，，得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键． 15．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)BD＝AC，BD⊥AC，理由见解析 (2)不发生变化．理由见解析 (3)①BD＝AC；②能，BD与AC所成的角的度数为60°或120° 【分析】（1）可以证明△BDE≅△ACE，推出BD=AC ，BD⊥AC； （2）如图2中，不发生变化，只要证明△BED ≅△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE ，由∠DEC＝90°，推出∠ACE+∠EOC＝90°，因为∠EOC＝∠DOF，则∠BDE+∠DOF＝90°，可知∠DFO＝180°-90°＝90°，即可証明 ； （3）①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明 △BED≅△AEC即可； ②能；由△BED≅△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，推出 ∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（60°+60°）＝60°， 即可解决问题． 【详解】（1）解：BD＝AC，BD⊥AC，理由如下， 延长BD交AC于F，如图所示， ∵AE⊥BC， ∴∠BED ＝∠AEC＝90°， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD+∠BDE＝90°， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF+∠CAE＝90°， ∴∠AFD＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （2）不发生变化，理由如下：如图所示，DE与AC交于点O，BD与AC交于点F， ， ∵∠BEA＝∠DEC＝90°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE， ∵∠DEC＝90°， ∴∠ACE+∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠BDE+∠DOF＝90°， ∴∠DFO＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （3）①如图3中，结论：BD＝AC， 理由如下： ∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC． ②能，∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴∠BDE＝∠ACE， ∴∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（60°+60°） ＝60°， 即BD与AC所成的角的度数为60°或120°． 【点睛】本题考查几何变换综合题，等腰直角三角形的性 质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和 性质，学会利用“8字型”证明角相等． 16．（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析 【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题； （2）由△ACE≌△BCD，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，CD=CE， ∴∠ACE=∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD， ∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠CBD=90°． ∴∠AHB=90°， ∴AE⊥BD． 故答案为AE=BD，AE⊥BD； （2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD， 理由如下：如图2中， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴∠AEC=180°-∠CED=135°， 由（2）可知：△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°， ∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°； 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM=DM=ME， ∴DE=2CM， ∴AD=DE+AE=2CM+BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 17．如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形． (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)求∠BOD的度数； (3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？　 　（填“改变”或“不改变”） 【答案】(1)证明见解析 (2)∠BOD＝120° (3)不改变，理由见解析 【分析】（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE即可； （2）由全等三角形的性质得∠ADC＝∠BEC，再由三角形的外角性质得∠AOB＝60°，即可求解； （3）同（1）得：△ACD≌△BCE，得出∠DAC＝∠EBC，根据三角形外角求出∠AOE=120°，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝60°，BC＝AC，EC＝CD， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中 ∵， ∴△BCE≌△ACD（SAS）． （2）解：∵△BCE≌△ACD， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC， ∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°， ∵∠AOB+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝120°． （3）解：不改变，理由如下： 同（1）得：△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠AOE＝∠ABO+∠OAB ＝∠ABO+∠DAC+∠BAC ＝∠ABO+∠EBC+∠BAC ＝∠ABC+∠BAC ＝120° ∴∠BOD＝∠AOE＝120°， 即∠BOD的度数不改变． 故答案为：不改变． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，对顶角性质，证明△ACD≌△BCE是解题的关键． 18．在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．    (1)求证：AC=BD； (2)求证：∠APB＝∠AEB． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证∠BED=∠AEC，再利用SAS证明三角形全等即可； （2）由全等可得∠EBD=∠EAC，根据三角形内角和和∠BOE=∠AOP即可证明． 【详解】（1）证明：∵∠AEB=∠DEC， ∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED， ∴∠BED=∠AEC， 在△BED与△AEC中， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴AC=BD． （2）证明∵△BED≌△AEC， ∴∠EBD=∠EAC， ∵ ∠EBD+∠BOE+∠AEB=∠AOP+∠APB+∠EAC=180°， 又∵∠BOE=∠AOP， ∴∠AEB=∠APB． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS，ASA，SAS，AAS和HL，熟练掌握判定方法是解题的关键． 19．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析 【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案； （3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）如图2， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC， 令AD与CE交于点G， ∵∠AGE=∠DGO， ∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE， ∴∠DOE=∠DAE=60°， ∴∠BOC=60°； （3）∠A+∠BCD=180°．理由： 如图3，延长DC至P，使DP=DB， ∵∠BDC=60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴BD=BP，∠DBP=60°， ∵∠ABC=60°=∠DBP， ∴∠ABD=∠CBP， ∵AB=CB， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP=∠A， ∵∠BCD+∠BCP=180°， ∴∠A+∠BCD=180°． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【类型3 一线三等角模型】 20．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 21．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． (1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 　 　； (2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)DE＝BD+CE． (2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析 【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE； （2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE． 【详解】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下， ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE． （2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下， ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 22．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解 【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断； （2）利用，则，得出，然后问题可求证； （3）由题意易得，由（1）（2）易证，则有，然后可得，进而可证，最后问题可得证． 【详解】 （1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 解：（2）成立，理由如下： ， ， ， 在和中， ，； （3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴， ∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴△DFE是等边三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 23．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； 应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②BC=12，点P为BC中点， ∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC=AB=10， ∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． 【感知】 （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ． 【探究】 （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE． （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系． 【答案】（1）DE＝AD＋BE；（2）见解析；（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等） 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∵DC+CE=DE， ∴DE=AD+BE． （2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°． ∴∠CAD＝∠BCE． ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB． ∴CE＝AD， CD＝BE， ∴DE＝CE－ CD＝AD－BE； （3）DE=BE-AD， 理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）． 【点睛】本题考查了邻补角的意义，同角的余角相等，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 25．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 26．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见解析 【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC = 90°, ∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE = AF即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE = AF即可得出结论; （2）求出∠BEC =∠AFC，∠CBE= ∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE=AF即可得出结论． 【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF= BE-AF， 证明：当α =90°时，∠BEC = ∠CFA =90°， ∵∠BCA = 90°, ∴∠BCE＋∠ACF= 90°, ∵∠BCE＋∠CBE =90°， ∴∠ACF = ∠CBE， ∵AC = BC, ∴△BCE≌△CAF, ∴BE =CF,CE = AF, ∵CF =CE＋EF, ∴EF= CF -CE=BE-AF； ②∠α与∠BCA关系：∠α+ ∠BCA = 180° 当∠α+ ∠BCA = 180°时，①中结论仍然成立; 理由是：如题图2， ∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, ,∠α+∠ACB =180°, 又∵ ∴∠CBE= ∠ACF, 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF (AAS), ∴BE =CF,CE = AF， ∴EF= CF-CE= BE -AF; 故答案为: ∠α+ ∠BCA = 180° ； （2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下 ∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA, 又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° , ∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF ∴∠EBC = ∠ACF， 在△BEC和△CFA中 ∴△ABE≌△CFA(AAS) ∴AF = CE，BE = CF ∵EF= CE+CF, ∴EF= BE＋AF． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE≌△CAF是解题的关键． 27．已知：如图①，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）求证：； （2）当直线绕点C旋转到图②位置时，、、之间有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明， 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）由，得，而于，于，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到． （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以． 【详解】（1）证明：， ，而于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）， 在和中， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角． 28．（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据，得到，，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】解：（1）．理由：如图1， 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）（1）中结论成立， 理由如下：如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）结论：是等边三角形． 理由：如图3，由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 29．如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长． (2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)0.8cm (2)，证明见解析 (3)结论成立，证明见解析 【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）结论成立， 证明：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 即结论成立； 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【类型4 角平分线性质运用】 30．如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 【答案】4 【分析】过点P作于点E，得到，根据，计算即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，角的平分线的性质定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵P是平分线上一点，，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 32．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于点，于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为的平分线． 又∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分． 33．如图，点P是外的一点，平分，于D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质构造辅助线是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质即可证明； （2）过点P作，垂足为G，利用角平分线的性质得到，再证明，得到，证明，得到，所以，可得方程，解方程即得答案． 【详解】（1），， 垂直平分， ； （2）过点P作，垂足为G， 平分，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 34．如图，在中，是的平分线，于点H，． (1)在线段上找一点P，使，连接，求证：； (2)若的面积等于100，的面积等于80，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)10 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）求证，得，于是． （2）过点D作于E，由，得．进而，由等腰三角形三线合一，得，．求证，得． 【详解】（1）证明：如图，∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：过点D作于E， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． 35．如图，于，于，若，． 求证：平分． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，先判定，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 36．已知，如图，在中，，是的平分线，于点，在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，由角平分线的性质得出是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，再利用证得和全等，即可得出； （2）由已知条件可以得出、是等腰直角三角形，结合（1）得出，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，从而求出的长． 【详解】（1）解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； （2），， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ， 在中，由勾股定理得， ， ，， 是等腰直角三角形， ． 37．如图，和分别平分的内角和外角，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，请判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理与性质定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的性质定理得出，再由角平分线的判定定理即可得证； （2）由等边对等角结合角平分线的定义得出，推出，由平行线的性质得出，，由角平分线的定义得出，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，作于，于，于， ， ∵平分，，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴平分； （2）解：是等腰三角形，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 38．如图，中，平分，且，于，于， (1)求证：与互补； (2)如果，，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据角平分线的性质及已知条件可得、、，再证明可得，最后结合即可证明结论； （2）再证明可得，再根据等量代换及已知条件即可解答． 【详解】（1）证明：平分，于，于， ，，， 在和中， ， ； ，， ， ，即与互补． （2）解：在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ，解得：， ． 39．已知：点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线、上的点，且． (1)当点M在线段上，点N在线段的延长线上时（如图1）．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当点M在线段的延长线上时（如图2），若，，则四边形的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为32． 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． （1）由点为平分线上一点，于于，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论； （2）由角平分线的性质易证得，又由，即可证得结论； （3）由，即可求得的长，又由，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：点为平分线上一点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据解析（1）可知：，， ∵， ∴， ∴， ； （3）解：， ， ， ． 【类型5垂直平分线性质运用】 40．如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的中点，得到是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到由是的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到． （2）由得到，由得到 根据三角形外角性质得到 则 由此根据外角的性质来求的度数． 【详解】（1）连接． ∵是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是高，是中线， ∴是的斜边上的中线， ∴． ∴； （2）， ，， ， ． 是高， ，即． ， ． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确的连接辅助线是解题关键． 41．如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，原题设其它条件不变．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得； （2）判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 42．如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由题意可得，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是垂直平分线上的点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中 ∴ ∴； （2）在和中 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 43．在中，和的角平分线相交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，H是边上一点，连接恰好是的垂直平分线，延长至点N，过点N作的平行线交于于点M，且，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义： （1）先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义可得，则； （2）连接，证明，得到，则，再证明，得到．可得．由，的． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 44．如图，在中，，是边上的高，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)试说明：， (2)判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由题意易证是等腰三角形，根据是边上的高，推出是的垂直平分线，得到，，利用即可证明； （2）由（1）得到，再根据垂直平分线的性质得到，进而推出 【详解】（1）证明： ， 是等腰三角形， 是边上的高， 是的垂直平分线， ，， ， ； （2）证明：由（1）， 是的垂直平分线， ， ． 45．在中，点D、点E分别为边上的点， (1)如图1，平分，的垂直平分线经过点E与延长线交于F点，连接，若，求的大小； (2)如图2，D为边中点，连接，过点B作的平行线交延长线于点F．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得到，由垂直平分线得到，又由角之间的和差关系即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明，则，进一步证明，则，根据线段的关系即可得到结论． 此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵的垂直平分线经过点E与延长线交于F点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵D为边中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．如图，的边的垂直平分线与的平分线相交于，于点，于，连接、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明： 垂直平分， ， ，，， ， 在与中， ， ； （2）证明：， 在与中， ， ， ， 又， ， ． 47．如图①，在与中，，，，易证：（不需要证明） (1)如图②，在等边中，点、分别在边、上，且，与交于点，求证：； (2)如图③，在等腰三角形中，，点是边的垂直平分线与的交点，点、分别在、的延长线上．若，，，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形得，再结合已知条件用证明 即可； （2）先用用证明 得，再根据即可． 【详解】（1）证明：在等边中，，， 在与中， ， ； （2）解：点在的垂直平分线上， ， ， 在与中， ， ， ， ． 48．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 49．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线和角平分线的性质分别得到，证明，从而证得； （2）证明，得到，从而可以得到． 【详解】（1）证明：连接，    垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ∴， ； （2）证明：在和中， ， ∴， ， ， ， ． 【类型6 平移模型】 50．如图，点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定． （1）首先根据可得，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 51．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 由知，结合、，利用“”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 52．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．欲证，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而可以得出，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得，都减去一段即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即． 53．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据“”可判定全等； （2）根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 54．如图，点E，C在上，．写出与的关系并证明． 【答案】与的数量关系相等，位置关系是平行．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也考查了平行线的判定，有一点的综合性，难度不大．根据题意证明即可求解． 【详解】解：与的数量关系相等，位置关系是平行．证明如下： ∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴， 综上所述，与的数量关系是相等，位置关系是平行． 55．如图，点、、、在同一直线上，，于点，于点，，求证：. 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直可得出，结合、，即可证出． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ． 56．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意证明，然后选择边角边证明三角形全等即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中， ， ∴， ∴． 57．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角的判定，由，可证，再利用“”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 58．如图，点在的边上，延长至点，使得，过点作交于点，且满足，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线性质，全等三角形的性质和判定，利用平行线性质得到，证明，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在与中，，，， ， ． 59．如图，和中，点在一条直线上，． (1)给出以下3个条件：①，②，③从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）． (2)请证明你的结论． 【答案】(1)①②，③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行线的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②； （2）根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； 或利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②； 故答案为：①②，③；①③，②； （2）证明：若选择的条件是①②，结论是③， ∵， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； 若选择的条件是①③，结论是②， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ∴． 【类型7 轴对称模型】 60．已知：如图，，，是上的一点． 求证：（利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理及其逆定理，熟练掌握线段垂直平分线定理及其逆定理是解题的关键，证点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，得垂直平分，从而． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 61．如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和菱形的性质．由菱形的性质，可用证明，所以，所以，即，则结论得证． 【详解】证明：四边形为菱形， ，． 在和中， ， ． ， ， 即． 62．如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上． 【答案】见解析 【分析】证明得到，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质． 【详解】解：点是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 而，， 在的角平分线上． 63．如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由，得，即可用证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 64．在中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用．根据中点的定义可得到，再根据即可判定，从而可得到，根据等角对等边可得到，即是等腰三角形． 【详解】证明：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 65．如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，结合，，即可证明； （2）根据可得，，结合，即可证明，由此可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ． 66．如图，在中，，，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明． 根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 67．如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理得到； （2）由全等三角形的性质得到，，又，即可证明，得到，于是． 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由推出，，由证明，得到． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ，， ， ∴， ， ． 68．如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 【答案】见详解 【分析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 69．已知：如图，和是的高线，，是、的交点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．先证，从而得出，结论显然． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ． 【类型8 旋转模型】 70．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．    (1)判断的形状； (2)求证：平分． 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键． （1）找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状； （2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分． 【详解】（1）解： 绕点A逆时针旋转， ，， 为等边三角形； （2）证明： 绕点A逆时针旋转， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 平分． 71．如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）首先利用证明，根据性质可得，再由角度和差即可求证； （）根据全等三角形对应角相等求出，由三角形外角的性质可得； 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（）得：， ∴， ∵， ∴． 72．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案； （2）根据（1），得出是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理，求出度数即可． 【详解】（1）证明：将绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 是等腰三角形， ∴， ， 即的度数为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 73．如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角的和差求出，根据平行线的性质可得，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数． 【详解】（1）； 理由：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 74．已知：如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识．由，推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，于是得． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 75．如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边交于E（不与A，B重合），与边交于点F．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得可得，由三角形的面积公式可求解. 【详解】（1）证明: 中，，点为中点， ∴,， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴ , ∵, ∴, ∴四边形的面积． 76．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 77．如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转性质，等腰三角形等边对等角等知识点． （1）证明，从而可证明； （2）由可知：，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可知：，， ∵， ∴， 在与中，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 78．如图，在等腰直角三角形中，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接． (1)若，求旋转角的度数和的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转性质和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定， （1）根据旋转性质可得，，由，即可求出答案； （2）根据旋转性质和等腰直角三角形的性质，证明，即可得出结论； 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由：∵是由旋转得到的， ∴，，， ∴， ∴． 79．以点A为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接．      (1)试判断的数量关系，并说明理由； (2)延长交于点F，求的度数； (3)如图2将绕着点A旋转一定的角度，那么和有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可； （2）利用全等三角形的性质得出，进而解答即可； （3）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵等腰，等腰， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ； （3）解：，， 理由如下： ∵等腰，等腰， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ，，    ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定及其性质知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 全等三角形证明题常用模型分类训练 （8种类型80道） 专题目录 【类型1 半角模型】 1 【类型2 手拉手模型】 6 【类型3 一线三等角模型】 10 【类型4 角平分线性质运用】 15 【类型5垂直平分线性质运用】 17 【类型6 平移模型】 21 【类型7 轴对称模型】 23 【类型8 旋转模型】 26 【类型1 半角模型】 1．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 2．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    3．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 4．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 5．问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 6．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 7．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 8．问题背景 如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．    探究发现 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后再证明，从而得出结论：______； 拓展延伸 （2）如图②，在四边形中，，，点，分别是边，上的点，且，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接，已知，，求正方形的边长． 9．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 【类型2 手拉手模型】 10．如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 11．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 12．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 13．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 14．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 16．（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 17．如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形． (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)求∠BOD的度数； (3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？　 　（填“改变”或“不改变”） 18．在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．    (1)求证：AC=BD； (2)求证：∠APB＝∠AEB． 19．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【类型3 一线三等角模型】 20．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 21．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． (1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 　 　； (2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 22．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 23．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． 【感知】 （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ． 【探究】 （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE． （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系． 25．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 26．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 27．已知：如图①，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）求证：； （2）当直线绕点C旋转到图②位置时，、、之间有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明， 28．（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由． 29．如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长． (2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【类型4 角平分线性质运用】 30．如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 31．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 32．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 33．如图，点P是外的一点，平分，于D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 34．如图，在中，是的平分线，于点H，． (1)在线段上找一点P，使，连接，求证：； (2)若的面积等于100，的面积等于80，求的面积． 35．如图，于，于，若，． 求证：平分． 36．已知，如图，在中，，是的平分线，于点，在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 37．如图，和分别平分的内角和外角，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，请判断的形状，并证明你的结论． 38．如图，中，平分，且，于，于， (1)求证：与互补； (2)如果，，求、的长． 39．已知：点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线、上的点，且． (1)当点M在线段上，点N在线段的延长线上时（如图1）．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当点M在线段的延长线上时（如图2），若，，则四边形的面积为_______． 【类型5垂直平分线性质运用】 40．如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)求证：； (2)若，求的度数． 41．如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，原题设其它条件不变．求证：． 42．如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 43．在中，和的角平分线相交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，H是边上一点，连接恰好是的垂直平分线，延长至点N，过点N作的平行线交于于点M，且，若，求的值． 44．如图，在中，，是边上的高，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)试说明：， (2)判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 45．在中，点D、点E分别为边上的点， (1)如图1，平分，的垂直平分线经过点E与延长线交于F点，连接，若，求的大小； (2)如图2，D为边中点，连接，过点B作的平行线交延长线于点F．若，求证：． 46．如图，的边的垂直平分线与的平分线相交于，于点，于，连接、．求证： (1)； (2)． 47．如图①，在与中，，，，易证：（不需要证明） (1)如图②，在等边中，点、分别在边、上，且，与交于点，求证：； (2)如图③，在等腰三角形中，，点是边的垂直平分线与的交点，点、分别在、的延长线上．若，，，则的度数为______． 48．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 49．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．    (1)求证：； (2)求证：． 【类型6 平移模型】 50．如图，点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 51．如图，，，，求证：． 52．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．试说明：． 53．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 54．如图，点E，C在上，．写出与的关系并证明． 55．如图，点、、、在同一直线上，，于点，于点，，求证：. 56．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，求的度数． 57．如图，，，，求证：． 58．如图，点在的边上，延长至点，使得，过点作交于点，且满足，连接．求证：． 59．如图，和中，点在一条直线上，． (1)给出以下3个条件：①，②，③从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）． (2)请证明你的结论． 【类型7 轴对称模型】 60．已知：如图，，，是上的一点． 求证：（利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明） 61．如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：． 62．如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上． 63．如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．求证：． 64．在中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：是等腰三角形． 65．如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 66．如图，在中，，，，，垂足分别为E、F．求证：． 67．如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 68．如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 69．已知：如图，和是的高线，，是、的交点．求证：． 【类型8 旋转模型】 70．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．    (1)判断的形状； (2)求证：平分． 71．如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 72．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 73．如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 74．已知：如图，，，．求证：． 75．如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边交于E（不与A，B重合），与边交于点F．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 76．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 77．如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 78．如图，在等腰直角三角形中，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接． (1)若，求旋转角的度数和的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 79．以点A为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接．      (1)试判断的数量关系，并说明理由； (2)延长交于点F，求的度数； (3)如图2将绕着点A旋转一定的角度，那么和有怎样的关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$