专题09 全等三角形证明题常用判定方法分类训练（6种类型60道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版）

专题09 全等三角形证明题常用判定方法分类训练 （6种类型60道） 专题目录 【类型1 利用“SSS”证全等】 1 【类型2 利用“SAS”证全等】 9 【类型3 利用“AAS”证全等】 17 【类型4 利用“ASA”证全等】 25 【类型5 利用“HL”证全等】 32 【类型6 灵活选用判定证全等】 39 【类型1 利用“SSS”证全等】 1．如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定方法解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 2．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，已知，又公共，根据即可证明． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 3．已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用即可证明； （）由可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 4．如图，点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定． （1）首先根据可得，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 5．如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）首先利用证明，根据性质可得，再由角度和差即可求证； （）根据全等三角形对应角相等求出，由三角形外角的性质可得； 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（）得：， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在中，，是边上的高，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)试说明：， (2)判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由题意易证是等腰三角形，根据是边上的高，推出是的垂直平分线，得到，，利用即可证明； （2）由（1）得到，再根据垂直平分线的性质得到，进而推出 【详解】（1）证明： ， 是等腰三角形， 是边上的高， 是的垂直平分线， ，， ， ； （2）证明：由（1）， 是的垂直平分线， ， ． 7．如图，在四边形中，．，，点E在边上，连接，相交于点F，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）证明，得．再结合平行线的性质，证得 ，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）解： ， 在和中， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，证明是解题的关键． 8．如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）根据直接证明； （2）根据，，即可得证垂直平分． 【详解】（1）证明：在与中， ∴； （2）∵，， ∴点、点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 9．如图，点在同一条直线上，，请你添加一个条件，使得，并说明理由． 【答案】添加条件或（任选一个即可），理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，可添加条件或，利用全等三角形的判定方法或即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件． 理由如下：∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴ 添加条件． ∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴． 10．如图，，，与相交于． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定． （1）直接根据“”即可证明； （2）由三角形全等的性质可得出，即可利用“”证明，得出，，即说明垂直平分． 【详解】（1）∵，，， ∴； （2）∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴垂直平分． 【类型2 利用“SAS”证全等】 11．如图，已知，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可； （2）由，得，进而可以判断与的位置关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 12．如图，，，三点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据平行线的性质得到，由即可得证．解题的关键是掌握：两组对应边相等且夹角相等的两个三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 13．如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出即可； （）根据平行线的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ∴． 14．如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 15．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据“”可判定全等； （2）根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 16．如图，在中，平分，，延长到点E，使得，连结． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质等知识点，结合图形分析清楚各边与各角之间的关系是解答的关键． （1）由角平分线的定义可得，利用即可判定结论； （2）由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，结合（1）可得，从而可求得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，即可证明结论； 【详解】证明：在和中， 18．如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定．利用证明三角形全等即可．掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：， ，即， 在和中 ， ． 19．如图，已知，E、F是上两点，且，求证：．（推理过程请注明理由） 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，，推出，，得到，利用证明即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（等式的性质） ∴ ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（）． 20．如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）由（1）的结论，再结合条件可证明平分，根据等边三角形的性质可证得． 【详解】（1）∵和为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵为等边三角形， ∴． 【类型3 利用“AAS”证全等】 21．如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 22．如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键． （1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论； （2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴ ． 23．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．首先根据“两直线平行，内错角相等”可得，再证明，然后利用“”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 24．如图，在四边形中，E是对角线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．解答的关键是熟练掌握平行线性质，全等三角形的判定定理． 由平行线的性质可得，根据，，得到，再由，可判定． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中，， ∴． 25．如图，在中，，，点在线段上运动（与、不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，________°，_______°；点从向的运动过程中，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)当等于多少时，？ (3)在点的运动过程中，什么时候与的长度相等？求出此时的度数． 【答案】(1)20；120；小 (2)当时， (3)能； 【分析】（1）现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小； （2）利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案； （3）根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 点从向的运动过程中，逐渐增大， 逐渐变小； 故答案为：20；120；小； （2）解：当时，，理由如下： ， ， 又，， ， ， 当时， ， ， 在和中， ， ， 即当时，； （3）解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下： ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 26．如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过，，可得，即可通过证明． 【详解】证明：， ，即， ， ， 即， 在与中， ． 27．如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定方法．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法即可证明． 【详解】 ， ，， 点D是的中点， ， 在与中， ， ． 28．如图，点，在上，，，．试说明．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，再结合，，即可证明，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． 29．如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)∠D的度数是 【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明； （2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得． 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， ， 的度数是． 30．如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．证明，，根据即可证明． 【详解】证明：在中，． ， ． ． ， ． ， ． 【类型4 利用“ASA”证全等】 31．如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定； （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【详解】（1）解：． （2）证明：∵， ∴， 即． 在和中，， ，， ∴， ∴． 32．如图，点是线段的中点，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定等知识点，根据线段中点的定义得到，再根据全等三角形的判定定理即可得到结论，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】∵点B是线段的中点， ∴， 在和中， ∴． 33．已知：中，，于点，平分交于两点，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判断，等角对等边，平行线的性质与判定，先由角平分线的定义得到，再证明推出，则，再证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴． 34．已知：如图，点A，C，F，D在同一直线上，，，；证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键．可证，用即可求证． 【详解】证明： ， ， 在和中， ， ． 35．如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，即可解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 36．已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵，，， ∴， ， ∴． 37．如图，在四边形中，，在上取两点，使，连接．若，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由“”可证． 【详解】解：， ， ， ， 在和中， ， ． 38．如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定； 根据平行线的性质可得，求出，即可利用证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 39．在中，，平分交于D，E、F分别在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，得出，证出，得出，证明，得出，即可得出结论． 此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 40．如图，和均为等边三角形，，垂足为点，点分别在的延长线上，连接，使得．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)7． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，即，然后再说明，最后根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得点为的中点，可求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：和均为等边三角形． ． ∴, 又∵， ，即． 在和中， ． （2）解：∵， ∴． ， ． 为等边三角形，， 点为的中点． ． ． 【类型5 利用“HL”证全等】 41．求证：如果一个三角形一边上的中点到另外两边的距离相等，则该三角形为等腰三角形． 【答案】答案见解析 【分析】先证明，得，即可得答案． 【详解】如下图，在△中，E为BC的中点，，，． 求证：△为等腰三角形． 证明：∵E为BC中点， ∴BE= EC， ∵，， ∴与是直角三角形． ∵在与中， ∴， ∴， ∴， ∴△为等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是证明． 42．如图,已知,，与交于,.连接. 求证：是等腰三角形. 【答案】证明见解析 【分析】利用HL定理得出△ABD≌△BAC即可得出∠DBA=∠CAB，再利用等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：∵, ∴, 在和中, ∴, ∴, ∴, 即∆是等腰三角形. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出Rt△ABD≌Rt△BAC是解题关键． 43．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且EC⊥AC于点C，AE＝BF.试判断AE和BF的位置关系，并说明理由． 【答案】AE⊥BF，理由见解析 【分析】先利用HL定理证明△ABF与△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可以得到∠ABF=∠EAC，然后利用角度的转换即可得到∠ADB=90°，从而判断出AE和BF的位置关系是垂直． 【详解】AE⊥BF， 理由如下： ∵AE＝BF，AB＝AC， ∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL)，∴∠CAE＝∠ABF， ∵∠ABF＋∠AFB＝90°，∴∠CAE＋∠AFB＝90°， ∴∠ADF＝90°，即AE⊥BF. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明直角三角形全等除一般的三角形的全等判定方法外，还有特殊的“HL”判定方法． 44．如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD=AC．求证：△ABD≌△BAC； 【答案】详见解析. 【分析】通过HL即可得证. 【详解】证明：∵AD⊥BD，AC⊥CB， ∴∠ADB=∠BCA=90°， 在Rt△ADB和Rt△BCA中， AB=BA，BD=AC， ∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL） 【点睛】本题考点：全等直角三角形的判定. 45．如图，∠C=∠D=90°，AD=BC．试问：△ABC与△BAD全等吗？为什么？ 【答案】Rt△ABC≌Rt△BAD,理由见解析 【详解】试题分析：利用HL定理直接证明Rt△ACB≌Rt△BDA即可． 试题解析： 全等，理由如下： ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C=∠D=90°， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）． 46．如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质， （1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：∵是腰上的高，， ∴. 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 47．如图，在和中， (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)4cm． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，对于（1），先证明，可得，即可得出答案； 对于（2），先根据“全等三角形的对应边相等”得，再说明，然后根据全等三角形的性质可得答案. 【详解】（1）在和中 ∵ ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴. ∵， ∴， ∴ 48．如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查直角三角形全等的判定及性质及三角形内角和定理，熟知这些定理并能准确运用是正确解决本题的关键． （1）用证明即可证明； （2）利用三角形内角和定理即可求出。 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴。 （2）∵，，， ∴， 在中 ∴。 49．如图，在中，于点，点是上一点，连接并延长交于点，已知，． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质． （1）根据题意证明，从而得到，结合和即可求解； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质和题意，即可求解． 【详解】（1）证明：， 在和中，， ， ， 又， ， 即； （2）， 又， ， 50．如图，在中，，为上一点，，过点作，交于点，连接，试在图中找出另外一对相等的线段，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质可证明． 【详解】． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用“”证明是解题关键． 【类型6 灵活选用判定证全等】 51．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 52．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【答案】(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 53．如图所示，在和中，给出以下4个论断： （1）； （2）； （3）； （4）． 以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，另一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程． 已知：________； 求证：________．    【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意选出3个作为条件判定，再利用全等性质即可得到本题所证． 【详解】解：已知：，，， 求证：． 证明：在和中， ， ， 即， 则 54．如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 【答案】(1)②或③（任选一个填即可） (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；分析条件，可得一边与一角对应相等，若用判定，则选择②；若用判定，则选择③，从而可完成两问的解答． 【详解】（1）解：②或③（任选一个填即可） （2）选择② 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 选择③ 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 55．在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ．    【答案】①；②；（答案不唯一） 【分析】观察图形，对于和来说，是公共边，即，选①和②，可以通过来证明，即可作答． 【详解】解：已知：如图，、相交于点O．且，，求证． ∵，，， ∴．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、是解题的关键． 56．已知：如图，点、在的边上，①，②，③，④．在其中任选两个当作条件、一个作结论组成一个正确的命题（只写一组） .    【答案】①②为条件，③为结论（答案不唯一） 【分析】选取①②，通过证明．可得③． 【详解】解： 证明：，． 在和中， ．      ． 故答案为：①②为条件，③为结论（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 57．如图和中，，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：；；．    (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③） (2)选取（1）中一个正确的命题进行证明． 【答案】(1)正确的命题：如果①，③，那么②；如果②，③，那么① (2)见详解 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法来判断即可作答； （2）根据全等三角形的判定与性质，即可证明． 【详解】（1）正确的命题：如果①，③，那么②；如果②，③，那么①， （2）如果①，③，那么②， 证明如下：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即． 如果②，③，那么①，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法有，，，、等． 58．如图，在中，C，D是边上的两点，有下面四个关系式：（1），（2），（3），（4）请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】已知：，求证：；由“”可证，即可证明结论成立．也可以（1）（3）⇒（2）（4）或（2）（3）⇒（1）（4）或（1）（4）⇒（2）（3）或（3）（4）⇒（1）（2）．证明方法类似． 【详解】①已知：， 求证：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②已知：，， 求证：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； ③已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； ④已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； ⑤已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查证明的概念，根据题意写出已知、求证、证明过程，在证明时需要用到全等三角形的性质与判定，答案不唯一． 59．如图，四边形中，，点E在对角线上，且，如果___________，那么．请填上能使结论成立的一个条件，并证明你的结论．    【答案】，证明见解析 【分析】添加条件：，根据平行线的性质得，结合已知利用证明全等即可． 【详解】添加条件：， 证明如下：∵， ∴， 在和中， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 60．如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．    (1)你添加的条件是______（填序号）； (2)添加了条件后，请证明． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：可选取①或③（只选一个即可）， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：当选取①时， ， ， 在与中， ， ， ； 当选取③时， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 全等三角形证明题常用判定方法分类训练 （6种类型60道） 专题目录 【类型1 利用“SSS”证全等】 1 【类型2 利用“SAS”证全等】 3 【类型3 利用“AAS”证全等】 6 【类型4 利用“ASA”证全等】 8 【类型5 利用“HL”证全等】 11 【类型6 灵活选用判定证全等】 13 【类型1 利用“SSS”证全等】 1．如图，点在一条直线上，，求证：． 2．如图，，，求证：． 3．已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 4．如图，点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5．如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 6．如图，在中，，是边上的高，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)试说明：， (2)判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 7．如图，在四边形中，．，，点E在边上，连接，相交于点F，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 8．如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 9．如图，点在同一条直线上，，请你添加一个条件，使得，并说明理由． 10．如图，，，与相交于． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【类型2 利用“SAS”证全等】 11．如图，已知，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 12．如图，，，三点在同一直线上，，，． 求证：． 13．如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 14．如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 15．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 16．如图，在中，平分，，延长到点E，使得，连结． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，，求证： 18．如图，已知，，．求证：． 19．如图，已知，E、F是上两点，且，求证：．（推理过程请注明理由） 20．如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 【类型3 利用“AAS”证全等】 21．如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 22．如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 23．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 24．如图，在四边形中，E是对角线上一点，，，．求证：． 25．如图，在中，，，点在线段上运动（与、不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，________°，_______°；点从向的运动过程中，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)当等于多少时，？ (3)在点的运动过程中，什么时候与的长度相等？求出此时的度数． 26．如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ． 27．如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：． 28．如图，点，在上，，，．试说明．    29．如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 30．如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 【类型4 利用“ASA”证全等】 31．如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 32．如图，点是线段的中点，，，求证：． 33．已知：中，，于点，平分交于两点，交于点．求证：． 34．已知：如图，点A，C，F，D在同一直线上，，，；证明：． 35．如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 36．已知：如图，．求证：． 37．如图，在四边形中，，在上取两点，使，连接．若，试说明． 38．如图，已知，，．求证：． 39．在中，，平分交于D，E、F分别在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 40．如图，和均为等边三角形，，垂足为点，点分别在的延长线上，连接，使得．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【类型5 利用“HL”证全等】 41．求证：如果一个三角形一边上的中点到另外两边的距离相等，则该三角形为等腰三角形． 42．如图,已知,，与交于,.连接. 求证：是等腰三角形. 43．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且EC⊥AC于点C，AE＝BF.试判断AE和BF的位置关系，并说明理由． 44．如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD=AC．求证：△ABD≌△BAC； 45．如图，∠C=∠D=90°，AD=BC．试问：△ABC与△BAD全等吗？为什么？ 46．如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 47．如图，在和中， (1)求证：； (2)若，求的长度． 48．如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 49．如图，在中，于点，点是上一点，连接并延长交于点，已知，． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 50．如图，在中，，为上一点，，过点作，交于点，连接，试在图中找出另外一对相等的线段，并加以证明． 【类型6 灵活选用判定证全等】 51．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 52．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 53．如图所示，在和中，给出以下4个论断： （1）； （2）； （3）； （4）． 以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，另一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程． 已知：________； 求证：________．    54．如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 55．在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ．    56．已知：如图，点、在的边上，①，②，③，④．在其中任选两个当作条件、一个作结论组成一个正确的命题（只写一组） .    57．如图和中，，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：；；．    (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③） (2)选取（1）中一个正确的命题进行证明． 58．如图，在中，C，D是边上的两点，有下面四个关系式：（1），（2），（3），（4）请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明． 已知： 求证： 证明： 59．如图，四边形中，，点E在对角线上，且，如果___________，那么．请填上能使结论成立的一个条件，并证明你的结论．    60．如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．    (1)你添加的条件是______（填序号）； (2)添加了条件后，请证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$