专题08 全等三角形证明题常考辅助线分类训练（5种类型48道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版）

专题08 全等三角形证明题常考辅助线分类训练 （5种类型48道） 专题目录 【类型1 连接】 1 【类型2 作垂直】 14 【类型3 作平行】 34 【类型4 倍长中线】 53 【类型5 截长补短】 72 【类型1 连接】 1．如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平分交于，可得；由交于可得；两者结合由三角形内角和定理可得，即可得，从而得到是等腰三角形； （2）连接，先证，得到，，从而可得，由此即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：， 理由如下：如图：连接， ∵和中： ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵中，， ∴， ∴， ∴． 2．如图是小勇制作的风筝，他根据，，不用度量就知道，小勇的判断正确吗？请说明理由． 【答案】正确，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的应用——证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，连接，是公共边，可根据证明三角形全等，从而推出相等． 【详解】正确，理由如下： 证明：连接， 在和中， ， ， ． 3．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形. (2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； (2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形. 【详解】解：（1）连结AD ,    ∵AB=AC ,∠BAC=90°  ,D为BC中点 , ∴AD⊥BC ,BD=AD , ∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°, 又∵BE=AF , ∴△BDE≌△ADF（SAS）, ∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF, ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°, ∴△DEF为等腰直角三角形. （2）连结AD      ∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 , ∴AD=BD ,AD⊥BC , ∴∠DAC=∠ABD=45° , ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE , ∴△DAF≌△DBE（SAS）, ∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB, ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF为等腰直角三角形. 【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定． 4．如图1，已知中，，，把一块含角的三角板的直角顶点D放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），点C在上点B在上． (1)求重叠部分的面积； (2)如图2，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转30度，交于点M，交于点N， ①请说明； ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，若不发生变化，请说明理由； (3)如图3，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转α度（），交于点M，交于点N，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由） 【答案】(1)的面积是 (2)①说明见解析；②在此条件下重叠部分的面积不发生变化，理由见解析 (3)的结论仍成立，重叠部分的面积不会变 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和三角形全等．熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转性质，作出辅助线，是解决本题的关键． （1）判断重叠部分是一个等腰直角三角形，求出其直角边，即可求解； （2）①连接，先证得，，进而求出，即可得到；②利用①中的结论即可得出答案； （3）证明过程类似（2），根据（2）中的结论，可以直接写出． 【详解】（1）∵中，，， D是的中点，， ∴，， 则； （2）①连接， ∵中，，， ∴， ∵D是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②面积不变．理由： ∵， ∴， ∴; （3）的结论仍成立，，重叠部分的面积不变．理由： 连接， ∵中，，， ∴， ∵D是的中点，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 5．在中，，D是边上一点，点E在的右侧，线段，且． (1)如图1，若，连接．则的度数为 ；与的数量关系是 ． (2)如图2，若，连接．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质． （1）根据题意证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质，即可得的度数．根据题意证明，即可得到． （2）连接，根据题意得出，是等腰直角三角形，证明，可得，即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：当时， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）是直角三角形，理由如下： 连接，如图所示： 当时，且，， ，是等腰直角三角形，有， ， 即， 在和中， ， ， ， 是直角三角形． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝45 º，点O是AB的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F. （1）如图①，求证：EF＝AE+CF. （2）如图②，图③，线段EF、AE、CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.    【答案】（1）见解析；（2）图②：EF＝AE+CF  图③：EF＝AE-CF，见解析 【分析】（1）连接OC，运用AAS证△AOE≌△OCF即可； （2）按（1）中的方法，连接OC，证明△AOE≌△OCF，即可得出结论 【详解】（1）连接OC，∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠AOC=90°，AO=CO， ∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°， ∴∠EAO=∠COF， 又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO， ∴△AOE≌△OCF（AAS） ∴OE＝CF，AE＝OF ∴EF＝AE+CF    （2）如图②，连接OC， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠AOC=90°，AO=CO， ∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°， ∴∠EAO=∠COF， 又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO， ∴△AOE≌△OCF（AAS） ∴OE＝CF，AE＝OF ∴EF＝AE+CF.      【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 7．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）求证：△EPF是等腰直角三角形； （3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°； （4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析． 【分析】（1）先证明 ，得，再由已知条件即可求证； （2）根据（1）的结论结合题意即可得证； （3）根据（1）的结论，进行角的等量代换，即可求证； （4）根据（1）的结论，利用全等的性质，可得，S△PFC－S△PBE＝S△PFC－ ，进而可求证． 【详解】（1）如图，连接，P是BC中点， AB＝AC，∠BAC＝90°, ，, ，, , , , , , , 在和中： （ASA）, , , , 即． （2）由（1）可知 ： ， ， 是直角， △EPF是等腰直角三角形． （3）如图，连接, 是等腰直角三角形， 即∠FEA＋∠PFC＝45°； （4） ， S△PFC－S△PBE＝S△PFC－ P是BC中点， S△ABC． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 8．在中，，D为的中点，动点E从点C开始沿射线方向以的速度运动． (1)如图1，当点E在边上运动时，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； (2)动点P也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，分别连接．设动点E的运动时间为，则当t为何值时，与全等？ 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）如图：连接，根据等腰直角三角形性质得，，在根据可得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出线段之间的数量关系； （2）设点M为延长线上以点，N为延长线上以点，先求出，再根据，点P在的延长线上，得与全等时，点E在的延长线上，此时，然后根据点E，P的运动速度和时间得，则，最后根据可求出t的值． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系是：，证明如下： 如图1所示：连接， 在中，，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2所示：设点M为延长线上以点，N为延长线上以点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，点P在的延长线上， ∴当与全等时，点E在的延长线上， 此时，根据点E，P的运动速度和时间得：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴当t为时，与全等． 【类型2 作垂直】 9．是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 10．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 11．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论； （2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案； （3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵FD⊥AC， ∴∠FDA=90°， ∴∠DFA+∠DAF=90°， 同理，∠CAE+∠DAF=90°， ∴∠DFA=∠CAE， 在△AFD和△EAC中， ， ∴△AFD≌△EAC（AAS）， ∴DF=AC， ∵AC=BC， ∴FD=BC； （2）作FD⊥AC于D， 由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE， 在△FDG和△BCG中， ， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴DG=CG=1， ∴AD=2， ∴CE=2， ∵BC=AC=AG+CG=4， ∴E点为BC中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D， BC=AC=4，CE=CB+BE=7， 由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB， ∴CG=GD，AD=CE=7， ∴CG=DG=1.5， ∴AG=CG+AC=5.5， ∴， 同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．（1）如图，，．求证：． （2）如图，，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）过点分别作，，垂足分别为、，通过三角形全等得到，即可求解； （2）过点分别作，，垂足分别为、，通过角之间的关系得到点在的平分线上，再通过三角形全等得到，即可求解； 【详解】（1）证明：过点分别作，，垂足分别为、 ． ，即点在的平分线上， ，，垂足分别为、，． 在和中， ． ． 在和中， ． （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为、 ． ，， ． 即点在的平分线上． ，，垂足分别为、， ． 在和中， ．． 在和中， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意构造全等的直角三角形． 13．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）由“AAS”可证，可得EH=AC，即可求证； （2）过点作，交延长线于，由“AAS”可证，可得AC=EN=BC，由“AAS”可证，可得BM=EM； （3），，分三种情况：当点D在线段BC上，点D在线段BC的延长线上，点D在线段CB的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再由三角形的面积公式可求解． 【详解】证明（1）∵，， ∴，， ， 在与中 ， ， ； （2）如图2，过点作，交延长线于， ∵，， ∴，， ， 在与中， ， ， 又∵， ， 又在与中， ， 则； （3）如图，当点在线段上时， ∵， ∴可设，， 由（1）得：， 则，， 由∵ ， ， ∴（AAS）， ∴， 即， ∴ ， ∴， ， ， ， ； 如图，点在延长线上时，过点作，交延长线于， ∵， ∴可设，， ∵，， ∴ ， ∴，， ， 在与中， ， ， ， 又∵， ， 又在与中， ， ∴， ， ∴ ， ， ， ∴， ， 点在延长线上 由图2得： ， ∴不可能，故舍去 综上：的值为 或 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 14．如图，等腰直角中，，为线段上一动点（不含、端点），连接，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由余角的性质可得，从而运用“角角边”证明即可； （2）作，同（1）证明过程可得，，从而证明，则可得为的中点，最终可得点为的中点． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ∴； （2）如图所示，作， 由（1）可知，则，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：点为的中点． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形中常考的证明模型是解题关键． 15．在直角三角形ABC中，，分别以AB、AC为边在外侧作等边和等边，DE交AB于点F，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】过点E作于点G，由等边三角的性质有AB=AE，，∠EGA=90°，∠DAC=60°，AC=AD，证明，继而可得，再由，继而可得，即可完成证明.. 【详解】过点E作于点G，连接DG， ∵、是等边三角形， ∴AB=AE，，∠EGA=90°，∠DAC=60°，AC=AD， 又∵中，∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∴， ∴AG=BC， 在Rt△ACB和Rt△EGA中 ∴， ∴， ∴AD=EG， ∵， ∴∠DAF=∠EGA， 在和中， ， ∴≌， ∴. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用. 16．已知，BF、CE交于点M，连接AM. （1）求证：. （2）求的度数. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）由已知可得得，从而得到.因此，，所以，所以，即. （2）作于点H，于点G.由（1）所得结论得到，所以，，因此. 【详解】（1）    证明：∵ ∴∠CAE=∠EAF+∠FAC=∠BAC+∠FAC， ∴ 在△ABF和△ACE中 ∴. ∴， ∵， ∴ ， ∴，即. （2）    作于点H，于点G.由（1）所得结论， ∴ ∴， ∴，因此. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，其中全等三角形的证明和作辅助线是解答本题的关键． 17．如图，，，，求的度数. 【答案】∠ACB=90°. 【分析】作AM⊥直线OC于M，BN⊥直线OC于N．通过AAS证明△AOM≌△OBN，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求得答案. 【详解】作AM⊥直线OC于M，BN⊥直线OC于N． ∵∠ACO=135°， ∴∠ACM=45°， ∴AM=CM， 在△AOM与△OBN中， ， ∴△AOM≌△OBN(AAS)， ∴OM=BN，ON=AM=CM， ∴NC=OM=BN， 又∵BN⊥NS． ∴∠BCN=45°， ∴∠ACB=∠ACO-∠BCN=90°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，难点是作出辅助线． 18．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：. 【答案】详见解析 【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案. 【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F， 则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°， 又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC， ∴， ∴DF=CG，. 又， ∴≌， . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 【类型3 作平行】 19．如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF=BE,连接EF，交BC于点D． 求证：DE=DF． 【答案】证明见解析 【分析】作FHAB交BC延长线于H，构造全等三角形：△DBE和△DHF，由平行线得出两对内错角相等，只需要再证一组边对应相等，根据已知条件，以及所作平行线，可证出HF=BE，三角形全等可证． 【详解】证明：作FHAB交BC延长线于H， ∵FHAB， ∴∠FHC=∠B，∠BED=∠HFD． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． 又∠ACB=∠FCH， ∴∠FHC=∠FCH． ∴CF=HF． 又∵BE=CF， ∴HF=BE． 在△DBE和△DHF中， ∴△DBE≌△DHF（ASA）． ∴DE=DF． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．熟知这两个常考知识点并能正确做出辅助线构造出全等三角形是正确解题的关键． 20．如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值. 【答案】6 【分析】过点O作OC∥AB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论． 【详解】过点O作OD∥AB交AC于点D， ∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°， ∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°． ∴△CDO是等边三角形， ∴DO=CO， ∴DO=BO=AD． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°， ∴∠OBE=120°， ∴∠ODF=∠OBE． ∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120° ∴∠FOD=∠EOB． 在△DOF和△BOE中， ， ∴△DOF≌△BOE（ASA）． ∴FC=EB．OF=OE． ∵AE=AB+BE， ∴AE=AB+DF， ∴AE=AB+AD+AF， ∴AE-AF=AB+AD． ∵AB+AD=AB， ∴AE-AF=AB． ∵AB=4， ∴AE-AF=6. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键． 21．如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上． （1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由； （2）求证：； （3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证； （3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，据此根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）是等边三角形，理由如下： 如图，过点E作交AC于点G， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形； （2）和是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ； （3）由（2）知，，， ，， ， ， 由（2）已证：， ， 和是等边三角形， ， 在中，， 在中，， ， 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键． 22．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到， ，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 23． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 24．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 【答案】(1)DM=EM．理由见详解； (2)成立，理由见详解； (3)MD=ME． 【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论； 【详解】（1）解：DM=EM； 证明：过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ， ∴△DBM≌△EFM， ∴DM=EM． （2）解：成立； 证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ∴△DBM≌△EFM； ∴DM=EM； （3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF ∴△DBM∽△EFM， ∴BD：EF=DM：ME， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠F=∠ABC， ∴∠F=∠C， ∴EF=EC， ∴BD：EC=DM：ME=1：2， ∴MD=ME． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键． 25．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 【答案】(1)详见解析 (2)ED＝2 【分析】（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q， ∵△ABC为等边三角形， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF， 又∵AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△DPF和△DQC中，， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴DP=DQ； （2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC， 可得AE＝EF， 由（1）知，△DPF≌△DQC ∴FD＝CD， ∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD， ∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED， ∵AC＝BC＝4， ∴2ED＝4， ∴ED＝2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 26．如图，在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接． (1)如图1，过点E作交于点，延长交延长线于点，若，求的值； (2)如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接、，请猜想、、的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，，证明，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）过点作，交于点，由（1）可知是等边三角形，由旋转可知，，证明是等边三角形，再证明，，从而可得答案． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， ，，， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ， 设， ， ， ， ， 的值为； （2）解：，证明如下： 过点作，交于点， 由（1）可知是等边三角形， ，， 由旋转可知，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 27．是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（点不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)如图当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) (2)在运动过程中线段的长不变； 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据等边三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质确定，根据题意得出方程求解即可； （2）过点P作交于点F，根据等边三角形的性质及判定确定是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质结合图形求解即可 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 又 ， ， 两点同时出发且速度相同， ， 设，则， ， 解得：， ； （2）在运动过程中线段的长不变； 过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ． ， 是等边三角形， ， 于E， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ． 28．如图，在中，，点D，E分别在上，连结并延长交的延长线于点F，连结．已知E为中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，等量代换得到，求得，即，根据全等三角形的性质得到； （2）过点作，交于，根据平行线的性质得到，再利用直角三角形的性质及等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：过点作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【类型4 倍长中线】 29．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 延长至点，使，连接．结合题意可证明，得到，．由，可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． 30．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形． （1）①根据题意补全图形即可； ②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此； （2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意画出图形： ； ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 31．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形中的倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵点E是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为的角平分线 32．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 33．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 34．在和中，，，，，连接． (1)当、、在一条直线上时， ①如图1，当、、在同一直线上时，求； ②如图2，当、、不在同一直线上时，点是的中点，连接，求； (2)如图3，当、、不在一条直线上时，且，连接，点是的中点，连接，求． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质； （1）①根据邻补角可直接得出； ②延长至，使，证，再证，可推出是等边三角形，即可求解； （2）与②方法相同． 【详解】（1）解：①： ； ②如图2， ，， ， ，， 是等边三角形， ，， ， 延长至，使，连接，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ； （2）如图3，延长至，使，连接，， 设，， 由②得，，， ，， ，， ， ， ， ， 故由②得，． 35．八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围； (2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若． 求证：； (3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图2： 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3）解：，，理由如下： 延长至，使，连接，如图3， 同（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 延长交于， ， ， ， ， ， 即，． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长中线，构造三角形全等是解决问题的关键． 36．如图1，已知，连接． (1)求证：． (2)将绕点C旋转到如图2所示的位置，F为的中点，连接，． ①求证：． ②探究与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②，理由见解析 【分析】（1）根据条件证明即可； （2）①根据可得，进而证明即可得到结论； ②延长至点P，使，连接，延长交于点M，根据条件证明可得，进而得到，从而证明即可得到，从而得到． 【详解】（1）证明∵， ∴ ∴； （2）①证明:∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②， 理由:如图，延长至点P，使，连接，延长交于点M， ∵F为的中点, ∴ 在和中， , ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 综上所述，，. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 37．如图1，在 中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．    (1)求的长； (2)求长度的取值范围； (3)若，是的中点，如图，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，全等三角形的性质与判定； （1）根据三角形的中线的性质，得出，根据题意得出，即可求解； （2）倍长中线，延长至，使得，连接，证明，得出，，进而根据三角形的三边关系，即可求解． （3）根据三角形的面积公式求得，进而根据三角形的中线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵和的周长之差为， ∴， ∵的长是． ∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，连接，    ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴ ∴， 在中，，即 ∵， ∴ （3）解：∵， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． 38．如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 【类型5 截长补短】 39．在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 40．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 41．在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．    (1)如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见详解 (2)点F在线段的延长线上时：；点F在射线上：，图见详解 【分析】（1）由“”可证，可得，可得结论； （2），分类讨论：①点F在线段的延长线上时，由（1）可知，，，由“”可证，可得，即可求解；②点F在射线上，画出图形3，结论：． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分类讨论： ①如图，点F在线段的延长线上时，补全图形如图2所示； 理由如下：延长到点G，使．    由（1）可知：， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ②如图3，若点F在射线上时，在取点，使得    由（1）可知：， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 42．正三角形中，E在上，F在上，，请问现在又有什么数量关系？    【答案】 【分析】延长到点，使得，连接，证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：数量关系为：，理由如下： 延长到点，使得，连接，    ∵是正三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 43．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 44．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE得度数； (2)求证：AC=AE+CD． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． 45．在等腰中，于点D，以为边作等边，直线与直线交于点F，直线与直线交于点G． (1)如图1，当，且与在直线的异侧时， ①求证：； ②猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段、、之间的数量关系，并直接写出你的结论． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①由题意可得，即可求，由是的中垂线可得，可证，可得，则结论可得； ②先证是等边三角形，由AAS可证，可得，可得结论； （2）先证是等边三角形，由AAS可证，可得，可得结论． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．通过截长补短法构造三角形全等是解题的关键． 46．在等边的两边，所在直线上分别有两点、，点为外一点，且，， (1)如图1，点、在边、上，，，求的长； (2)如图2，点、在边、上，．试猜想，，之间的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)3 (2)CN+BM=MN，证明见解析 【分析】（1）由题目所给条件，可证得，则BM=CN=3． （2）延长AB至点P，使得BP=CN，连接PD，则可证得，由全等三角形性质得DP=DN，，可推导得，可证得MP=MN，即CN+BM=MN． 【详解】（1）由题意知，， 故 ∴ 由∵ ∴ 又∵为等边三角形 ∴ ∴ 即 在和中 ∴ ∴BM=CN=3 （2）如图所示，延长AB至点P，使得BP=CN，连接PD 在和中 ∴ ∴DP=DN， ∵ ∴ 即 ∴ 在和中 ∴ ∴MP=MN ∴CN+BM=MN 【点睛】本题考查了全等三角形的判断及性质，全等三角形的判定方法的合理选择从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．“截长法”和“补短法”是证明线段和差关系的重要方法.无论用哪一种方法都是要将证明线段的和差关系问题转化为证明线段相等的问题，而添加辅助线，构造全等三角形是通向结论的桥梁． 47．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP． （1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP； （2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明． 【答案】（1）见解析；（2）AM+AN=AP，理由见解析 【分析】（1）在AB上取点C，使得AC=AM，则△ACM为等边三角形，结合“手拉手”模型证明△CMN≌△AMP，得到CN=AP，即可得证； （2）在射线AO上取点D，使得AN=AD，仿照（1）的过程证明△DNM≌△ANP，即可得到AP=DM，从而得出结论． 【详解】证：（1）由题意可知，∠BAO=60°， 如图所示，在AB上取点C，使得AC=AM， 则△ACM为等边三角形，MC=MA，∠CMA=60°， ∵△NMP为等边三角形， ∴MN=MP，∠NMP=60°， ∴∠CMA=∠NMP， ∴∠CMA-∠NMA=∠NMP-∠NMA， ∴∠CMN=∠AMP， 在△CMN和△AMP中， ∴△CMN≌△AMP(SAS)， ∴CN=AP， ∴CN+AN=AP+AN=AC， ∵AC=AM， ∴AP+AN=AM， ∴AM-AN=AP； （2）AM+AN=AP，理由如下： 如图所示，在射线AO上取点D，使得AN=AD， ∵∠BAO=60°， ∴△AND为等边三角形，ND=NA，∠DNA=60°， ∵△NMP为等边三角形， ∴NM=NP，∠MNP=60°， ∴∠DNA=∠MNP， ∴∠DNA+∠ANM=∠MNP+∠ANM， ∴∠DNM=∠ANP， 在△DNM和△ANP中， ∴△DNM≌△ANP(SAS)， ∴AP=DM， ∵AN=AD，DA+AM=DM， ∴AN+AM=AP． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，掌握双等边三角形中“手拉手”模型是解题关键． 48．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点． （1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形； （2）连CE，求证：BE＝AE+CE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论； （2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可． 【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵线段AC与AD关于直线AP对称， ∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝AC＝AD， ∴△ABD是等腰直角三角形； （2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF， ∵线段AC与AD关于直线AP对称， ∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC， ∵AD＝AC＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE， 在△ABF与△ACE中， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴AF＝AE， ∵AD＝AB， ∴∠D＝∠ABD， 又∠CAE＝∠DAE， ∴， ∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°， ∴△AFE是等边三角形， ∴AF＝FE， ∴BE＝BF+FE＝CE+AE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 全等三角形证明题常考辅助线分类训练 （5种类型48道） 专题目录 【类型1 连接】 1 【类型2 作垂直】 3 【类型3 作平行】 7 【类型4 倍长中线】 11 【类型5 截长补短】 14 【类型1 连接】 1．如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 2．如图是小勇制作的风筝，他根据，，不用度量就知道，小勇的判断正确吗？请说明理由． 3．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形. (2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.    4．如图1，已知中，，，把一块含角的三角板的直角顶点D放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），点C在上点B在上． (1)求重叠部分的面积； (2)如图2，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转30度，交于点M，交于点N， ①请说明； ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，若不发生变化，请说明理由； (3)如图3，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转α度（），交于点M，交于点N，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由） 5．在中，，D是边上一点，点E在的右侧，线段，且． (1)如图1，若，连接．则的度数为 ；与的数量关系是 ． (2)如图2，若，连接．试判断的形状，并说明理由． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝45 º，点O是AB的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F. （1）如图①，求证：EF＝AE+CF. （2）如图②，图③，线段EF、AE、CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.    7．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）求证：△EPF是等腰直角三角形； （3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°； （4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC． 8．在中，，D为的中点，动点E从点C开始沿射线方向以的速度运动． (1)如图1，当点E在边上运动时，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； (2)动点P也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，分别连接．设动点E的运动时间为，则当t为何值时，与全等？ 【类型2 作垂直】 9．是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 10．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 11．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 12．（1）如图，，．求证：． （2）如图，，．求证：． 13．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值． 14．如图，等腰直角中，，为线段上一动点（不含、端点），连接，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为的中点． 15．在直角三角形ABC中，，分别以AB、AC为边在外侧作等边和等边，DE交AB于点F，求证：. 16．已知，BF、CE交于点M，连接AM. （1）求证：. （2）求的度数. 17．如图，，，，求的度数. 18．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：. 【类型3 作平行】 19．如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF=BE,连接EF，交BC于点D． 求证：DE=DF． 20．如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值. 21．如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上． （1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由； （2）求证：； （3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：． 22．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 23． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 24．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 25．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 26．如图，在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接． (1)如图1，过点E作交于点，延长交延长线于点，若，求的值； (2)如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接、，请猜想、、的数量关系并证明． 27．是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（点不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)如图当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 28．如图，在中，，点D，E分别在上，连结并延长交的延长线于点F，连结．已知E为中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【类型4 倍长中线】 29．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 30．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 31．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 32．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 33．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 34．在和中，，，，，连接． (1)当、、在一条直线上时， ①如图1，当、、在同一直线上时，求； ②如图2，当、、不在同一直线上时，点是的中点，连接，求； (2)如图3，当、、不在一条直线上时，且，连接，点是的中点，连接，求． 35．八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围； (2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若． 求证：； (3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系． 36．如图1，已知，连接． (1)求证：． (2)将绕点C旋转到如图2所示的位置，F为的中点，连接，． ①求证：． ②探究与的数量关系和位置关系，并说明理由． 37．如图1，在 中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．    (1)求的长； (2)求长度的取值范围； (3)若，是的中点，如图，直接写出的面积． 38．如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【类型5 截长补短】 39．在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 40．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 41．在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．    (1)如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明． 42．正三角形中，E在上，F在上，，请问现在又有什么数量关系？    43．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    44．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE得度数； (2)求证：AC=AE+CD． 45．在等腰中，于点D，以为边作等边，直线与直线交于点F，直线与直线交于点G． (1)如图1，当，且与在直线的异侧时， ①求证：； ②猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段、、之间的数量关系，并直接写出你的结论． 46．在等边的两边，所在直线上分别有两点、，点为外一点，且，， (1)如图1，点、在边、上，，，求的长； (2)如图2，点、在边、上，．试猜想，，之间的数量关系，并加以证明； 47．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP． （1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP； （2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明． 48．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点． （1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形； （2）连CE，求证：BE＝AE+CE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$