专题07 三角形和全等三角形压轴题动点问题分类训练（6种类型60道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版）

专题07 三角形和全等三角形压轴题动点问题分类训练 （6种类型60道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 动点最值问题】 6 【类型3 动点存在性问题】 10 【类型4 动点问题探究数量关系】 14 【类型5 已知动点速度的动点问题】 19 【类型6 动点求值问题】 22 【类型1 动点定值问题】 1．如图1，在四边形中，，连接，，作的平分线交于点E． (1)是否等于？为什么？ (2)如图2，作的平分线交的延长线于点H． ①若，求的度数； ②如图3，点P为上一动点（不与B、C重合）连接，交于点Q，作的平分线分别交于点M、N．试探究的值是否为定值﹖若不是，请说明理由，若是，请求出定值． 2．已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点． (1)设． ①当时，求的度数； ②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)； (2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：； ②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由． 3．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 4．如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则______°． (2)如图2，当时，，的平分线交于点，则______°（用含的式子表示）． (3)如图3，当（为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由． 5．（1）如图，在中，点为中点，证明：；    （2）如图，在中，点为中点，点为的三等分点且，若，请直接写出的面积；    （3）如图，点为上动点（不与，重合），，，，，于，请探究的值是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．    6．已知AD为等边的角平分线，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE．以BE为一边在BE的下方作等边，连接CF． (1)如图1，若点E在线段AD上，且DE=BD，则∠CBF=______度． (2)如图2，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE，CF交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线CF上的两个动点，且PQ=10．连接BP，BQ．判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 7．在中，，，点O是的中点，点P是直线上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点P的直线经过点A，过点C作于点E，过点B作于点F，连接．                【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G． （1）求证：； （2）线段与相等吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，通过分析发现的大小是一个定值，请直接写出的度数： （4）的延长线交直线于点G，若，，则的面积为__________． 8．如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 9．如图，是等腰三角形，，点D在边上运动（与B，C不重合），点E、F分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点G． (1)求证：； (2)若，随着点D的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由． 10．综合与探究： 如图在等边三角形ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE． （1）填空：∠CAM＝　 　； （2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC； （3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O， ①当点D在线段AM上时，求∠AOB的度数； ②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由． 【类型2 动点最值问题】 11．在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点，使与互为补角，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交于点，若，，点分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 12．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 13．如图，在中，，，，动点P 在射线 上，将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段，连接、．      (1)证明：； (2)面积的最小值为 ； (3)当为等腰三角形时，求的长． 14．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 15．如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点． (1)当时， ①若，则点到的距离为________； ②若，，求的周长； (2)若，且的面积为40，求周长的最小值． 16．等边中，于点，点为边上一动点，连接，点关于直线的对称点为点，连接． (1)如图1，点恰好落在的延长线上，则求______； (2)过点作交于点，连接交于点． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由： ②如图3，直线交于点，连接点运动的过程中．当取最小值时，请直接写出线段的长度． 17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．    (1)若，则的度数是________； (2)连接，若，的周长是14． ①求的周长； ②若是直线上一个动点，则的最小值是________． 18．如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点．    (1)若，，，且时，求的长： (2)在（1）的条件下，求的最小值． 19．如图，在中，，，，点是上一动点（不与点，）重合，，． (1)求的度数； (2)在点运动过程中，的值是否为定值？说明理由； (3)当时，连接，三边上分别有动点、、，（点在上），当的周长取最小值时，求的长． 20．已知为等边三角形．    (1)如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； (2)如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：； (3)如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 【类型3 动点存在性问题】 21．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 22．已知：，平分，点A、B、C分别是射线上的动点（A、B、C不与点O重合）连接交射线于点D．设．    (1)如图1，若，则 ①的度数是______； ②当时，______；当时，________． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在说明理由． 23．已知是等边三角形，于点D，点E是直线上的动点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接． (1)问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是______； (2)结论证明：如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：若点E在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数． 24．如图，是等边三角形，为上一动点（不与、重合），以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)是否存在点，使得？若存在，指出点的位置并证明你的结论，若不存在，请说明理由． 25．如图，在中，，，，点B在直线m上，点M是直线m上点B左边的一点，且，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C匀速运动；同时动点Q从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线沿向终点A匀速运动．分别过点P、点Q作于D，于E．设点P的运动时间为．    (1)用含t的代数式表示的长． (2)当点Q在边上时，求证：． (3)连接，在不添加辅助下和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求t的值． (4)当与全等时，直接写出t的值． 26．已知等边中，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为一边在的上方作等边． (1)如图1，在点运动的过程中，若，则______度；若，则______度： (2)如图2，取边的中点，连接． ①试判断与的位置关系，并予以证明； ②若连接，是否存在这样的点，使是等腰直角三角形，如果存在，请确定点的位置并加以证明：如果不存在，也请说明理由． 27．已知：，平分，点分别是射线、、上的动点（不与点重合），连接交射线于点.设．    (1)如图1，若，则： ①的度数是________； ②如图2，当时，试求的值（要说明理由）； (2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．（自己画图） 28．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒． (1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 29．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．    (1)线段的长度等于___________． (2)求证：． (3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 30．已知：，平分，点A在射线上，B、C分别是射线、上的动点（B、C不与点O重合），连接AC交射线于点D．设． (1)如图1，若，则： ① ； ②当时， °． (2)如图2，若，垂足为A，则是否存在这样的x的值，使得中存在两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【类型4 动点问题探究数量关系】 31．【问题情境】 （1）如图1，在与中，，，，连接，，且点E在线段上． 【问题解决】 ①求证：； ②连接，若，的面积为，求的长度； 【问题迁移】 （2）如图2，在中，，．D是内一动点，作射线，连接，作交射线于点E（点E在D右侧），在射线上截，连接．当时，用等式表示，，的数量关系，并说明理由． 32．如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 33．如图所示，和都是等腰直角三角形，是斜边，点C是直线上的一动点，点C不与D、E重合，连接． (1)在图①中，当点C在D、E两点之间时，求证：； (2)在图②中，当点C在的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请你猜想此时的数量关系，并说明理由． 34．在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 35．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 36．已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 37．如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． (1)当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； (2)当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 38．在中，平分，．    (1)如图1，若于点，，，则______； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是______； (3)如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论． 39．已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接，    (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 40．在中，点D，E分别为，上的动点．    (1)如图1，连接，点F在上，若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，，求证：； (3)如图2，，，已知，则当的值最小时，与之间的数量关系为__________． 【类型5 已知动点速度的动点问题】 41．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 42．如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与全等，此时吗？请说明理由． (2)将图（）中的“，”为改“”后得到如图（），其他条件不变．设点的运动速度为，当点、运动到某处时，有与全等，求出相应的、的值． (3)在（）成立的条件下且、两点的运动速度相同时，______．（直接写出结果） 43．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 44．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 45．如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为．    (1)用含的式子表示线段、的长； (2)当为何值时，是以为底边的等腰三角形？ (3)当为何值时，？ 46．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)______（用含的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 47．如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． (1)若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 48．如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 49．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 50．如图，，E为的中点，，点M从点B 向点A 以1个单位长度/秒的速度向左移动，同时点 N 从点C 出发，在上以2个单位长度/秒的速度往返移动．当点 M到点A 处时，点 M，N 同时停止移动． (1)当的面积是的面积的2倍时，求的长． (2)若移动时间为，当t为何值时，？ 【类型6 动点求值问题】 51．已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点； (1)如图，若点在线段上，且，求证：； (2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 52．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，．若，，当时，求的长． 53．如图，在中，，，平分，，点是从点沿向点运动的一动点，过点作于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的度数； (2)如图2，当点位于点，之间时，求的度数． 54．【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②直接写出与间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 55．如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数； (3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 56．【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 57．如图1，在中，，，于点D，点E在边上，连结交于点O，于点F，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，若点E是边的中点，连结，求证：； (3)如图3，若点E是边上的动点，连结．当点E在边上（不含端点）运动时，的大小是否改变，如果不变，请直接写出的度数；如果要变，请说明理由． 58．贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 59．如图，在中，于点，，，过点作于点，交于点． (1)求线段的长度； (2)连接，求证：； (3)如图，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 60．已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧，且．    (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H， ①找出始终与相等的角　　，与相等的线段　　； ②直接写出，，的关系　　； (2)如图2，连接，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在射线上时，连接交直线于M，若，则的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形和全等三角形压轴题动点问题分类训练 （6种类型60道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 动点最值问题】 23 【类型3 动点存在性问题】 46 【类型4 动点问题探究数量关系】 67 【类型5 已知动点速度的动点问题】 89 【类型6 动点求值问题】 108 【类型1 动点定值问题】 1．如图1，在四边形中，，连接，，作的平分线交于点E． (1)是否等于？为什么？ (2)如图2，作的平分线交的延长线于点H． ①若，求的度数； ②如图3，点P为上一动点（不与B、C重合）连接，交于点Q，作的平分线分别交于点M、N．试探究的值是否为定值﹖若不是，请说明理由，若是，请求出定值． 【答案】(1) (2)①②的值是定值 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理： （1）设，则，，，根据得，由此得，据此可得的度数； （2）①设，则，，由（1）可知，则，由三角形内角和定理得，，进而得，则，再根据可得出∠D的度数； ②设，则，，，，由（1）可知，则，由三角形的外角定理得：，，据此可得的值． 【详解】（1）解：，理由如下： 设， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵是的平分线， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴； ②为定值， 设， ∵是的平分线，平分， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， 由三角形的外角定理得：，， ∴， ∴． 2．已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点． (1)设． ①当时，求的度数； ②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)； (2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：； ②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①见解析；②是定值， 【分析】（1）①利用三角形内角和定理即可解答；②分别以点为圆心，小于的长为半径画弧与点，连接，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，即作，连接，点E即为所求； （2）①利用三角形内角和定理及邻补角的定义结合角平分线的定义即可证明；②如图，利用三角形外角的性质及三角形内角和定理得到，，由折叠的性质得到，即可求出，由①得，即可得出结论． 【详解】（1）①解： ，， ， ，， ； ②解：如图，作，点E即为所求， 由①可得， ， ， ， ， 与β互补； （2）①证明：如图3， 根据题意得：平分，平分， ， ， ， ， ， ； ②是定值， 如图， ，， 由折叠的性质得到， ，即， ， 由①得． 【点睛】本题考查尺规作图-作角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 3．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴（四边形内角和可以看做两个三角形内角度数之和）， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是180°． 4．如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则______°． (2)如图2，当时，，的平分线交于点，则______°（用含的式子表示）． (3)如图3，当（为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的大小不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵分别为的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，，的平分线交于点，则 ∵， ∴， ∵分别为的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）的大小不变； 理由如下：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴，即的大小不变． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理和三角形的外角性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 5．（1）如图，在中，点为中点，证明：；    （2）如图，在中，点为中点，点为的三等分点且，若，请直接写出的面积；    （3）如图，点为上动点（不与，重合），，，，，于，请探究的值是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．    【答案】（1）证明见解析；（2）12；（3）的值为定值，理由见解析 【分析】（1）延长到，使，连接，证≌，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （2）取的中点，连接，，，证是的中位线，则，,再证，得，然后由三角形面积得，即可解决问题； （3）过点作于点，证≌，得，同理≌，得，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，延长到，使，连接，    则， 点为中点， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， ， ； （2）解：如图，取的中点，连接，，，    ，， 是的中位线， 为三等分点且， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：的值为定值，理由如下： 如图，过点作于点，    ，， ， 在和中， ， ≌， ， 同理：≌， ， ， 即， ，， ， ， ， ，为定值． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，采用数形结合的方法巧妙做辅助线是解题的关键． 6．已知AD为等边的角平分线，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE．以BE为一边在BE的下方作等边，连接CF． (1)如图1，若点E在线段AD上，且DE=BD，则∠CBF=______度． (2)如图2，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE，CF交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线CF上的两个动点，且PQ=10．连接BP，BQ．判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)15 (2)①60°；②是；20 【分析】（1）已知等边三角形，推论出等腰直角三角形，直接计算即可． （2）①通过手拉手模型证明全等推出等角即可；②已知底边求面积，推出高的值即可，联系第①问中的角度，直接推理出的直角三角形，代值计算即可． 【详解】（1）AD为等边的角平分线 DE=BD 是等边三角形 （2）① 和均为等边三角形， AB=CB，EB=FB，∠EBF=∠ABC=60°， ∠EBA=∠FBC． 在和中， （SAS）∴∠AEB=∠CFB． 又∠AEB＋∠EBF=∠CFB＋∠AMC ∠AMC=∠EBF=60° ②过B作于N， 由①可知， 在Rt中， 的面积为定值，． 【点睛】此题考查手拉手全等模型，和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． 7．在中，，，点O是的中点，点P是直线上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点P的直线经过点A，过点C作于点E，过点B作于点F，连接．                【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G． （1）求证：； （2）线段与相等吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，通过分析发现的大小是一个定值，请直接写出的度数： （4）的延长线交直线于点G，若，，则的面积为__________． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）9或25 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）结论：，证明，推出，利用全等三角形的性质证明即可； （3）结论．证明是等腰直角三角形，可得结论； （4）分两种情形分别求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：， 理由：，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （3）解：①同（1）可证，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即， ， ； ②当P点在线段上运动时，延长交于点G． ∵由（1）知，， ∴，， ∴ 由（2）知， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 当P点在线段的延长线上运动时，延长交于点G． 同理可得，， 则的面积为9或25． 8．如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，线段DE的长度为 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质： （1）由题意，得，，根据为等腰三角形可得，进而列方程求解即可； （2）线段的长度是定值，过点M作交于点F，证明，得到，从而求出 【详解】（1）解：由题意，得．                 等边的边长为4， ． 当为等腰三角形时，， ． ．                   ． 即．                解得． （2）解：线段的长度为定值．如图，过点M作交于点F．        ． ， 为等边三角形．      ． ， ．              在和中，， ．          ．                    ．即线段的长度为． 9．如图，是等腰三角形，，点D在边上运动（与B，C不重合），点E、F分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点G． (1)求证：； (2)若，随着点D的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)，是定值，理由见详解； 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理， （1）根据等腰三角形性质得到，证明即可得到答案； （2）根据得到，结合内外角关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：，是定值，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．综合与探究： 如图在等边三角形ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE． （1）填空：∠CAM＝　 　； （2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC； （3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O， ①当点D在线段AM上时，求∠AOB的度数； ②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由． 【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）①60°；②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由详见解析． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论； （2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC； （3）①由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，由等边三角形的性质得出AM⊥BC，即可得出答案； ②分情况讨论，当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB＝60°； 当点D在线段AM的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠CAD＝30°即可得出答案； 当点D在线段MA的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠CAD，同理得出∠CAM＝30°，求出∠CBE＝∠CAD＝150°，得出∠CBO＝30°，即可得出答案． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵线段AM为BC边上的中线， ∴∠CAM＝∠BAC， ∴∠CAM＝30°， 故答案为30°； （2）证明：∵△ABC与△DEC都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ADC和△BEC中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （3）①当点D在线段AM上时，如图1所示： 由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°， ∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线 ∴AM⊥BC， ∴∠BMO＝90°， ∴∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°； ②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下： 当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB＝60°； 当点D在线段AM的延长线上时，如图2所示： ∵△ABC与△DEC都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴∠CBE＝∠CAD＝30°， ∴∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°； 当点D在线段MA的延长线上时，如图3所示： ∵△ABC与△DEC都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAD， 同理可得：∠CAM＝30° ∴∠CBE＝∠CAD＝150° ∴∠CBO＝30°， ∴∠AOB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣30°＝60°； 综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键． 【类型2 动点最值问题】 11．在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点，使与互为补角，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交于点，若，，点分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出答案； （2）是等边三角形，得出，证明得出，从而推出，即可得证； （3）将沿对称至，沿对称至，且、分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时的周长最小，且、两点重合，此时的周长的最小值即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及轴对称的性质证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∵，，平分， ∴垂直平分，， 如图，将沿对称至，沿对称至，且、分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时的周长最小，且、两点重合，此时的周长的最小值即为的长度， 由对称的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 此时，过点作交于， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， 由（2）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 12．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，的最小值是 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②过点作于点，交于点，由垂直平分线的性质可得出，再利用垂线段最短可得出，再利用三角形面积即可得出 【详解】（1）解：若， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线交与点N， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图：连接， ①垂直平分． ， 又的周长是， ， ． ②过点作于点，交于点， 垂直平分 最小 的面积是． 的最小值是 【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，垂线段最短等知识， 掌握这些性质是解题的关键． 13．如图，在中，，，，动点P 在射线 上，将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段，连接、．      (1)证明：； (2)面积的最小值为 ； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)4或8 【分析】（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，再利用“”证明即可； （2）根据，可得当的值最小时，最小，此时，根据等腰三角形的性质与判定可得，即可求解； （3）以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，设，则，，由（1）可得，，可求，，，再分三种情况：若，若，若，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴；    （2）解：将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 当的值最小时，最小，此时， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，    设，则，， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ①若，则， 解得， ∴， ②若，则， 方程无解，这种情况不存在， ③若，则， 解得（此时点P与点A重合，舍去）或， ∴， 综上所述，的长为4或8． 【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的性质、解一元一次方程和一元二次方程，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 14．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1），理由见解析 （2）（答案不唯一），证明见解析 （3）①；②的最小值是 【分析】（1）利用三角形内角和等于180度得，再根据平角定义得到，又由于，即可得出结论； （2）若添加条件：，利用可证明； （3）①方法一：在上截取，连接．证明．得到，从而得到，且，即可求解； 方法二：过点作，交于点，交于点．证明．同理可证明，得到，从而得到．即可得出．再根据又，则，从而得到，．然后根据，求得，即可求解； ②可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点，所以，当点、点、点三点共线且时，取最小值，即转化为求等边的高．因为的面积是，根据三角形面积公式可求得，即可求解． 【详解】解：（1）这组等角是： 理由如下：在中，． 点在边上， ． （2）若添加条件： 证明：（已证） 在和中， （3）①是等边三角形， ． 是等边三角形， 据（1）可知 方法一： 在上截取，连接． ， ． 又， ． 在和中，， ． ， ，且， 方法二： 过点作，交于点，交于点．则， ． 在和中， ． 同理可得 ， ． 又， ， 即． 又， ， ， ． 又， ， ． ②的最小值是．如图， 由可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点， 所以， 当点、点、点三点共线且时，取最小值， 即转化为求等边的高． 因为的面积是， 所以， 所以． 即的最小值是． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，垂线段最短，熟练掌握利用垂线段最短求最短路径问题是解题的关键． 15．如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点． (1)当时， ①若，则点到的距离为________； ②若，，求的周长； (2)若，且的面积为40，求周长的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质即等边三角形的判定，根据，是的中点，可以判定，A，M，D三点共线，即平分，根据角平分线的性质，可以求出点到的距离， 其次，可以判定，再根据后，可以判定是等边三角形，进而去求周长． （2）本题主要考查利用轴对称性求周长最小值，由于为定值，只要满足最小即可，利用垂直平分线，转化成求最小，即，最后求出周长最小值． 【详解】（1）①解：∵，是的中点； ∴处垂直平分； 连接； ∵； ∴，，三点共线； 即平分； ∵，； ∴到的距离为1． ②解：由题可知； ∵； ∴； ∴是等边三角形； ∵； ∴； ∴周长为18． （2）解：∵； ∴； ∵垂直平分； 连接； ∴； 即; ∵； ∴； 即只需求出长即可； ∵； ∴=10； ∴周长的最小值为． 16．等边中，于点，点为边上一动点，连接，点关于直线的对称点为点，连接． (1)如图1，点恰好落在的延长线上，则求______； (2)过点作交于点，连接交于点． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由： ②如图3，直线交于点，连接点运动的过程中．当取最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)15 (2)①，理由见解析；②； 【分析】（1）由折叠的性质、由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）①延长交于点N；证明为等边三角形；再证明，即可得线段、和之间的数量关系； ②连接，取中点P，连接，则当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，即可求得长度． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，，； 由折叠性质得：； ∴， ∴， ∴； 故答案为：15； （2）解：①； 理由如下： 如图，延长交于点N； 设， 由折叠性质得：，； ∴，； ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图，连接，取中点P，连接， ∵是等边三角形， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合， ∵P、H分别是的中点， ∴． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点． 17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．    (1)若，则的度数是________； (2)连接，若，的周长是14． ①求的周长； ②若是直线上一个动点，则的最小值是________． 【答案】(1) (2)①22；②8 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和求出，根据，求出； （2）①根据垂直平分线的性质得出，得出，根据，求出，根据求出结果即可； ②根据垂直平分线的性质得出，求出，根据当、A、C在同一直线上时，最小，且最小值为，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵的周长是， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；    ②∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当、A、C在同一直线上时，最小，且最小值为， ∴的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 18．如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点．    (1)若，，，且时，求的长： (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再利用三角形面积公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，结合垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解： 中，，是边上的中线， ， ， ， ； （2）解：如图，连接．    由（1）可得垂直平分线段， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 19．如图，在中，，，，点是上一动点（不与点，）重合，，． (1)求的度数； (2)在点运动过程中，的值是否为定值？说明理由； (3)当时，连接，三边上分别有动点、、，（点在上），当的周长取最小值时，求的长． 【答案】(1) (2)的值为定值，理由见解析． (3)． 【分析】（1）根据题干的条件得出为等腰直角三角形，求出，再结合，即可解题． （2）作交的延长线于点，交于点，构造三角形全等，将转化为，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，即可解题． （3）根据对称的性质和“两点之间线段最短”，将的周长转移到同一直线上，再利用等腰三角形顶角一定时，腰长越短，底边越短和垂线段最短，即可解题． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ． （2）解：的值为定值，理由如下： 作交的延长线于点，交于点，如图所示： ，， ，， ，即有为的角平分线， ， ， ，，有为等腰三角形，， ， ， ， ． （3）解：在上取一点，作关于对称，关于对称， 连接与交于点，与交于点，如图所示： 由对称性质可知：，，，，，所以为等腰三角形， ， ， ， 大小一定，当等腰三角形顶角一定时，腰长越短，底边越短， 当，最短时，最短， 即当最短时，的周长最小， 最短时为，即， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定、三角形的外角、平行线的性质、全等三角形的性质与判定和对称的性质，解题关键在于灵活运用性质定理构造辅助线，再结合图形和题干的条件解决问题． 20．已知为等边三角形．    (1)如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； (2)如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：； (3)如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，再利用即可证明； （）由为等腰直角三角形可得，，进而得到，又根据为的中点，可得，即可得，在上取一点，使，可得是等边三角形，得到，故得，再证明，得到，即可求证； （）把绕点逆时针旋转得到，由旋转可得为等边三角形，得到点的轨迹是射线，作点关于直线的对称点，连接，则有，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴平分， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接，则是等边三角形，    ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：把绕点逆时针旋转得到，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴三点共线， 又由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点的轨迹是射线， 作点关于直线的对称点，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，四边形的内角和，轴对称的性质，旋转的性质，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【类型3 动点存在性问题】 21．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由，可得，通过即可证明； （2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：存在， 如图2，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 22．已知：，平分，点A、B、C分别是射线上的动点（A、B、C不与点O重合）连接交射线于点D．设．    (1)如图1，若，则 ①的度数是______； ②当时，______；当时，________． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)①；②， (2)存在，、35、50、125 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，角平分线的相关计算，平行线性质，分类讨论的运用是解题的关键． （1）①根据角平分线的定义结合平行线的性质可求解；②可分两种情况：当时，当时，根据三角形点的内角和定理分别计算可求解； （2）可分两种情况：当点D在线段上时；当点D在线段延长线上时，再分别从当时，当时，当∠时，三个角度分别计算可求解． 【详解】（1）解：①平分， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：①；②，； （2）①当点D在线段上时， 是的角平分线， ， ， ， ， 若，则， 若，则， 若，则，则， ②当点D在射线上时，因为， 所以只有，此时． 综上可知，存在这样的x的值，且、35、50、125． 23．已知是等边三角形，于点D，点E是直线上的动点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接． (1)问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是______； (2)结论证明：如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：若点E在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论； （3）分点E在点A的下方和点A的上方两种，由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点B顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 故答案为： （2）解：结论：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点B顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①点E在点A的下方时，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点E在和点A的上方时，如图： 同理， 综上，或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 24．如图，是等边三角形，为上一动点（不与、重合），以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)是否存在点，使得？若存在，指出点的位置并证明你的结论，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)存在，此时点为的中点，证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定定理，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，由等边三角形证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出角相等、边相等，证出，得出对应角相等，证出，依据平行线的判定定理，从而证出结论． （2）先假设点存在，由得出，再由等边三角形的性质得出P为BC的中点． 【详解】（1）证明： 、是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）存在点使得，此时为的中点． ， ， 由（1）得：， ， ， ， 为的中点． 存在点，使得． 25．如图，在中，，，，点B在直线m上，点M是直线m上点B左边的一点，且，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C匀速运动；同时动点Q从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线沿向终点A匀速运动．分别过点P、点Q作于D，于E．设点P的运动时间为．    (1)用含t的代数式表示的长． (2)当点Q在边上时，求证：． (3)连接，在不添加辅助下和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求t的值． (4)当与全等时，直接写出t的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)见解析 (3)2或 (4)1或或8 【分析】（1）分两种情况讨论，即可求解； （2）根据同角的余角相等，即可求证； （3）分两种情况讨论，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 当点P在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 当点Q在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为2或； （4）解：当点P在边上，点Q在边上时，此时， 则有， ∴， ∴， 解得：； 点P，Q都在边上时，点P，Q重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当点P在边上，点Q在边上时，此时， ∴， ∴， 解得：（舍去）， 若点Q到达点A，点P在边上，当时，， 此时， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为1或或8． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解题的关键． 26．已知等边中，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为一边在的上方作等边． (1)如图1，在点运动的过程中，若，则______度；若，则______度： (2)如图2，取边的中点，连接． ①试判断与的位置关系，并予以证明； ②若连接，是否存在这样的点，使是等腰直角三角形，如果存在，请确定点的位置并加以证明：如果不存在，也请说明理由． 【答案】(1)6，40或20 (2)①，理由见解析；②存在，点为的角平分线与的交点，理由见解析 【分析】（1）根据题意得，，可求得，即可求得； ①当点F位于线段右侧，可求得，即可求得；②当点F位于线段左侧，利用平角可直接求得； （2）①连接，根据题意可求得为等边三角形，则有，，可证得，则有，即可判断； ②首先得到，则点O是的中点，有，假设平分，则，求得，可得到，即证得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，点是边的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ 则； ①当点F位于线段右侧， ∵， ∴， 则； ②当点F位于线段左侧， ∵， ∴； 故答案为：6；40或20； （2）①，理由如下： 连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②存在，当平分，即点为的角平分线与的交点， 由①得， ∵， ∴， ∴点O是的中点， ∴垂直平分， ∴， 假设平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线性质以及等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定． 27．已知：，平分，点分别是射线、、上的动点（不与点重合），连接交射线于点.设．    (1)如图1，若，则： ①的度数是________； ②如图2，当时，试求的值（要说明理由）； (2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．（自己画图） 【答案】(1)①；②的值为60 (2)存在这样的的值，使得中有两个相等的角，且或或 【分析】（1）①利用角平分线的性质求出的度数即可；②利用角平分线的性质和平行线的性质求得； （2）分类讨论：当点在线段上和点在射线上两种情况，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，平分， ， ， ， 故答案为：； ②如图所示，   ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ，即， 的值为60； （2）解：如图，当点在线段上时，   ， ， ， 若，则，即； 若，则，，即； 若，则，，即； 如图，点在射线上时，   ， ， ， 三角形的内角和为， 只有， 此时， 即，则不在射线上，舍去； 综上所述，存在这样的的值，使得中有两个相等的角，且或或． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质的应用，熟练掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，是解题的关键． 28．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒． (1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，1 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，据此列出方程求解即可； （2）分情况讨论：当时，≌，，时，≌． 【详解】（1）由题意得，， 点位于线段的垂直平分线上， ， ， 解得； （2）， ， 又， 当时，≌， ，为的中点， ， ， 解得； 当，时，≌， ，此方程组无解， 不存在≌这种情况， 综上所述，当时，≌． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 29．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．    (1)线段的长度等于___________． (2)求证：． (3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等 【分析】（1）由，，进行计算即可得到答案； （2）由，可得，通过即可证明； （3）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， ，即， ， 故答案为：3； （2）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：存在， 如图2，当时，    是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时，    是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 30．已知：，平分，点A在射线上，B、C分别是射线、上的动点（B、C不与点O重合），连接AC交射线于点D．设． (1)如图1，若，则： ① ； ②当时， °． (2)如图2，若，垂足为A，则是否存在这样的x的值，使得中存在两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，，，， 【分析】（1）①由角平分线的定义得，由平行线的性质可得； ②求出，即可解决问题． （2）分两种情形讨论求解即可．①如图2中，当点D在线段上时，②如图中，当点D在的延长线上时． 【详解】（1）解：（1）①∵，平分， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：①；②48． （2）①如图2中，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，． 当时，，． 当时，，． ②如图中，当点D在的延长线上时， ∵， ∴只有，此时． 综上所述，满足条件的x的值为，，，． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【类型4 动点问题探究数量关系】 31．【问题情境】 （1）如图1，在与中，，，，连接，，且点E在线段上． 【问题解决】 ①求证：； ②连接，若，的面积为，求的长度； 【问题迁移】 （2）如图2，在中，，．D是内一动点，作射线，连接，作交射线于点E（点E在D右侧），在射线上截，连接．当时，用等式表示，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；理由见解析 【分析】（1）①根据证明，得出即可； ②根据等腰三角形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，，证明，根据三角形面积公式得出，求出，即可得出答案； （2）延长，过点B作于点G，证明，得出，，证明，得出，即可证明，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去， ∵， ∴； （2）；理由如下： 延长，过点B作于点G，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 32．如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)＝ (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）可证明≌，从而得出结果； （2）可证明≌从而得出，进而得出结论； （3）证明≌，从而得出，从而得出． 【详解】（1）∵，， ∴≌， ∴， 故答案为：＝； （2），理由如下： ∵，， ∴≌， ∴. ∵， ∴； （3），理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴≌， ∴， ∴． 33．如图所示，和都是等腰直角三角形，是斜边，点C是直线上的一动点，点C不与D、E重合，连接． (1)在图①中，当点C在D、E两点之间时，求证：； (2)在图②中，当点C在的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请你猜想此时的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当点C在的延长线上时，结论不成立，，理由见解析． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的概念得到，证明，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当点C在的延长线上时，结论不成立，此时的数量关系为，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形 ∴， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 35．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②，图见解析 【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解； （2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解； ②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； ②如图：； 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． 36．已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 37．如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． (1)当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； (2)当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①20°；50°；②见解析 (2) 【分析】 本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）①根据平行线的性质与角平分线的定义求解，即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到即可解答； （2）先证明，，，．由角平分线的定义可得，结合三角形的外角的性质可得，可得结论． 【详解】（1）解：①， ∴在中，， ∵， ，， 平分，平分， ，， ，； ②∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； （2），理由如下：如图，点E在线段的延长线上．    ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 38．在中，平分，．    (1)如图1，若于点，，，则______； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是______； (3)如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，图形及理由见详解 【分析】（1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； 【详解】（1）解：如图1，、， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由是：如图2，过作于，    ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 证明：如图3，过作于，    ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． 39．已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接，    (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，理由见解析 (3)； 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）如图1中，证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）如图2，由（1）同理证明，再利用全等三角形的性质可得答案； （3）先补全图形如下：由（1）同理可得，，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，    ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，由（1）同理可得，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，结论：．理由如下： 补全图形如下：    由（1）同理可得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．在中，点D，E分别为，上的动点．    (1)如图1，连接，点F在上，若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，，求证：； (3)如图2，，，已知，则当的值最小时，与之间的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，，可得； （2）设，由，可得，如图1，过作，交的延长线于，则，，证明，则，由，可得； （3），如图2，作，使，则，证明，则，由，可知当三点共线时，的值最小，如图2，连接，交于，在上截取，使，连接，证明，则，由，进行作答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 如图1，过作，交的延长线于，    ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， 如图2，作，使，    ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图2，连接，交于，在上截取，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短．正确的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【类型5 已知动点速度的动点问题】 41．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 42．如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与全等，此时吗？请说明理由． (2)将图（）中的“，”为改“”后得到如图（），其他条件不变．设点的运动速度为，当点、运动到某处时，有与全等，求出相应的、的值． (3)在（）成立的条件下且、两点的运动速度相同时，______．（直接写出结果） 【答案】(1)垂直，理由见解析； (2)，或，； (3)． 【分析】（1）利用证得≌，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由≌，分两种情况：，，，，建立方程组求得答案即可； （3）根据题意得、两点的运动速度为，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，余角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【详解】（1）时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ； （2）存在的值，使得与全等， 若， 则，，可得：，， 解得：，； 若， 则，，可得：， 解得：，； （3）∵、两点的运动速度相同， ∴、两点的运动速度为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵ ∴，， ∴． 故答案为：． 43．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点A出发，以秒的速度向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 当时，； （3）解：情况一：当，，时，， ，， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当当，，时， ，， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 44．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)见解析 (2)当为或时，的面积为 (3)或 时，与全等 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得 ． 综上所述，或 时，与全等． 45．如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为．    (1)用含的式子表示线段、的长； (2)当为何值时，是以为底边的等腰三角形？ (3)当为何值时，？ 【答案】(1)， (2)当时，是以为底边的等腰三角形 (3) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键． （1）由题意，可知，．，，． （2）若是以为底的等腰三角形，则有，即，求出即可． （3）先根据直角三角形的性质求出的度数，再由平行线的性质得出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）中，，， ． 又， ，，，； （2）是以为底的等腰三角形， ，即， 当时，是以为底边的等腰三角形； （3）当时，． ，， ， ， ，解得， 当时，． 46．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)______（用含的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)①秒；②不能 (3)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用t可表示出即可求得； （2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， （2）①当点Q在边上运动，为等腰三角形时， 即，解得， ∴出发秒后； ②当在上，，如图， 而，， ∴，， ∵把的周长平分， ∴， 解得：，不符合题意舍去， ∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分． （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，    则， ∵， ∴． ， ∴， ∴， ∴（cm）， ∴（cm）， ∴； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则（cm）， ∴， 综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 47．如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． (1)若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 【答案】(1)2s，理由见解答过程 (2)经过1s，点P的速度是9，则点Q的速度是12时，与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用； （1）根据等腰三角形的性质可得出，由点、同速同时出发可得出，结合全等三角形的判定定理可得出当时与全等，进而即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设点的速度为 ，则点的速度为，由、结合全等三角形的性质可得出、，进而即可得出关于、的方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点与点的速度都是， ， ，，， 要使与全等，则需， 即， ， 即经过的时间与全等； （2）解：设点的速度是 ，则点的速度是， ，， ， ，要使与全等，则需，， ， 解得：， 经过，点的速度是，则点的速度是时，与全等． 48．如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5； (2)，； (3)或时，与全等； 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，时； （3）分两种情形求解即可①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意得， ，， ①当点Q在线段上时，，如图， ∴； ②当点Q在射线上时，，如图， ∴； （3）解：存在，理由如下， ①如图2中，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ②如图3中，当时， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，或时，与全等． 49．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 【答案】(1)6 (2)或2 【分析】本题考查三角形中的动点问题，三角形的中线，通过点P运动到不同位置所满足的条件，确定点P的位置，然后计算出运动的时间t，其中，分析周长平分以及的面积为具体的数值时点P所处的位置特点是解题的关键． （1）点P运动的路程是三角形的周长的一半，点P运动的路程速度时间，由此列出方程，求得t； （2）分点为边的中点和点为边的中点，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴的周长， 当把的周长分成相等的两部分时， 点P运动的路程的周长， 即， 解得， ∴当秒时，把的周长分成相等的两部分； （2）∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当点为边的中点或点为边的中点时，的面积恰好等于面积的一半， 当点为边的中点时，即， 则， ∴点P的运动的路程， 即， 解得， 当点P是中点时，此时，； 综上所述，满足条件的t的值为或2． 50．如图，，E为的中点，，点M从点B 向点A 以1个单位长度/秒的速度向左移动，同时点 N 从点C 出发，在上以2个单位长度/秒的速度往返移动．当点 M到点A 处时，点 M，N 同时停止移动． (1)当的面积是的面积的2倍时，求的长． (2)若移动时间为，当t为何值时，？ 【答案】(1)2 (2)2 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质确定，利用面积关系即可求解； （2）根据题意得出当时，，然后分两种情况分析：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∵ E为的中点， ∴， ， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴点 M，N移动的时间为：秒， 此时， ∴； （2）∵， ∴当时，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述：当时，． 【类型6 动点求值问题】 51．已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点； (1)如图，若点在线段上，且，求证：； (2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了几何变换综合题，掌握全等的方法，掌握等腰三角形的性质，是解题关键． （1）由，得．由，得，．由，得．故． （2）由，，得．由，得．．由，得，，得．故． （3）①当时，由，得．，，．由，得，故．②当时，如图所示．同①，． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ． ， ， ， ． ，即， ． 在和中， ， ． （2）解：结论成立， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ． ， ． ． ， ， ∵， ， ． 在和中， ． （3）①当时，如图所示． ， ． ，， ． ， ， ， ． ②当时，如图所示． 同①，． 综上所述，或． 52．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，．若，，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由得出，由三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，由题意得，证明得出，即可得证； （3）连接，证明为等边三角形，设与交于点，得出为的垂直平分线，且，推出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，，设与交于，求出，作交于，证明，得出，证明，得出，求出，，得出，作于，则，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，推出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 设与交于点， ∵， ∴为的垂直平分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设与交于， ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 53．如图，在中，，，平分，，点是从点沿向点运动的一动点，过点作于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的度数； (2)如图2，当点位于点，之间时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意求出，再由角平分线的定义求出，即可得到答案； （2）由三角形的外角性质得，，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， . 平分， . ， . ， ， ； （2）解：由（1）知， 平分， . 由三角形的外角性质得，， ． 54．【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②直接写出与间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据证明即可． ②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】解：（1）①是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴． 故答案为： （2）成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3）在和中 ，， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 55．如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数； (3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为2 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及外角性质，利用数形结合探究角的运算关系是解答的关键． （1）由平行线的性质得，则；再由角平分线的定义得，结合已知，即可求解； （2）设交于点H；先求得，由角平分线定义得，则，利用互补关系即可求解； （3）由角平分线与三角形外角的性质得：，，则可得到结论． 【详解】（1）解：， ，， 即； 平分， ； ， ， ， 即， 即； （2）解：如图，设交于点H； 由（1）知，且， ； 平分，平分， ， ， ；    （3）解：不变； ，，， ； 同理：； 平分，平分， ， ， ， ； 即的值不变，且为2． 56．【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 【答案】（1），（2）不成立，见解析；（3）8 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定， （1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得 ，证得，可得，即可得证； （2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明； （3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）不成立，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）在上取一点P，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为8． 57．如图1，在中，，，于点D，点E在边上，连结交于点O，于点F，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，若点E是边的中点，连结，求证：； (3)如图3，若点E是边上的动点，连结．当点E在边上（不含端点）运动时，的大小是否改变，如果不变，请直接写出的度数；如果要变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不发生变化，， 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质三线合一和三角形外角的性质可得，，即可证明； （2）过点C作交延长线于点M，根据第（1）问的结论证明，进而证明，即可求解； （3）过点D作，交的延长线于点N，则，根据条件证明即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中，， ∴； （2）证明：如图，过点C作交延长线于点M， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）的大小不会改变， 如图，过点D作，交的延长线于点N，则， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 58．贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 或 或 【分析】（），求出，根据折叠得出，求出，最后由平角的定义即可求解； （）根据折叠得出， ，，求出，根据得出即可； （）分情况讨论：当点在线段上，当点在线段延长线上时，当点在线段延长线上，分别画出图形求出结果即可； 本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【详解】（1）∵将沿着进行翻折后得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ，理由如下： ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， 即； （3）将沿进行翻折后得到连接，根据折叠可知，，， ∴，，     若中存在的内角时，分以下几种情况讨论： 当点在线段上，时，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在线段上，时，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在线段延长线上时，如图所示： ∵， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴此时中的角不存在的角； 当点在线段延长线上，时，如图所示： 根据折叠可知，， ∴ ∴， 当点在线段延长线上，时，如图所示， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或 或 或 ． 故答案为：或 或 或 ． 59．如图，在中，于点，，，过点作于点，交于点． (1)求线段的长度； (2)连接，求证：； (3)如图，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)的值不发生改变，等于．见解析 【分析】 （1）证，即可得出； （2）过分别作于点，作于点，证，得出得出平分，即可得出结论； （3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出，证≌，得，进而得出答案． 【详解】（1） 解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：过分别作于点，作于点，如图所示： 在四边形中，， ． 在与中， ， ， ． ，， 平分， ； （3） 解：的值不发生改变，等于理由如下： 连接，如图所示： ，，为的中点， ，， ，， ． ， 即， ． 在和中， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 60．已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧，且．    (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H， ①找出始终与相等的角　　，与相等的线段　　； ②直接写出，，的关系　　； (2)如图2，连接，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在射线上时，连接交直线于M，若，则的值． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①由，，，得，所以，即可证明，则， ②根据全等三角形的性质解答即可； （2）作交的延长线于点，先证明，得，再证明，得； （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，于是得，，所以；二是点在线段上，设，则，则，于是得，，所以． 【详解】（1）解：①如图1，，，，   ， ， 在和中， ， ， ，． 故答案为：；； ②由①可知，， ，， ， ， 即， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点，   ，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图3，点在的延长线上，作交的延长线于点，则，   ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，点在线段上，设，则，   ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、有关三角形的面积问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$