第09讲 勾股定理（2考点3题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第09讲 勾股定理 课程标准 学习目标 1 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程； 2 掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决简单问题。 1. 理解勾股定理的内容及证明方法； 2. 熟练运用勾股定理解决实际问题。 知识点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 知识点二、勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 题型01 勾股定理 1．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠B+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．b+c＝a 2．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（　　） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 3．一直角三角形斜边长比一直角边大1，另一直角边为5，则斜边长为　　． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为三条边，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积 cm2． 题型02 勾股定理的应用 1．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝　　． 3．如图，如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为　　cm． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为AB边上的高． （1）求斜边AB的长； （2）求CD的长． 题型03 勾股定理的证明 1．如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 2．用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形． （1）用两种方法计算该梯形的面积，说明a2+b2＝c2． （2）是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由． 3．如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c． 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形． （1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为 　　，正方形IJKL的面积可表示为 　　（用含a，b的式子表示） （2）请结合图2，用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系． 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3、4、5所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现a2+b2＝c2 （3）请你从图3、4、5中选一个合适的图形用面积法证明a2+b2＝c2． 你的选择是图 　　， 你的证明： （4）根据（3）中的结论回答，当a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4时，c的值为 　　． 1．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 2．在锐角△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是（　　） A．66 B．126 C．120 D．68 3．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　） A．n2+2mn+m2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0 C．m2﹣2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn+n2＝0 4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（　　） A．S3+S4＝4（S1+S2） B．S1﹣S2＝S3﹣S4 C．S4﹣S1＝S3﹣S2 D．S4﹣3S1＝S3﹣3S2 5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14，c＝10，则Rt△ABC的面积是（　　） A．36 B．24 C．48 D．60 6．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（　　） A．166 B．186 C．196 D．256 7．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则CE的长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AC＝8，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．6 D．3 9．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为　 　． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　 　． 11．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1、2、3，水平放置的4个正方形的面积是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　． 12．请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2． 13．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DCE． （2）连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长． 14．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D． （1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数； （2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长． 15．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）若AD＝5，BD＝12，求DE的长； （3）求证：AD2+DB2＝2CD2． 16．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t． （1）AB＝　 　cm，AB边上的高为 　 　cm； （2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 勾股定理 课程标准 学习目标 1 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程； 2 掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决简单问题。 1. 理解勾股定理的内容及证明方法； 2. 熟练运用勾股定理解决实际问题。 知识点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 知识点二、勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 题型01 勾股定理 1．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠B+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．b+c＝a 【分析】根据三角形内角和定理知∠A＝90°，则a为斜边，即可得出答案． 【解答】解：∵∠B+∠C＝90°， ∴∠A＝90°， ∴b2+c2＝a2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（　　） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 【分析】分两种情况考虑：①当5为直角边时，②当5为斜边时，由勾股定理分别求出第三边的平方即可． 【解答】解：分两种情况： ①当5为直角边时，第三边的平方为：42+52＝41； ②当5为斜边时，第三边的平方为：52﹣42＝9； 综上所述，第三边的平方为9或41， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理，进行分类是解题的关键． 3．一直角三角形斜边长比一直角边大1，另一直角边为5，则斜边长为　　． 【分析】设一条直角边为a，则斜边为a+1，再根据勾股定理求出a的值即可． 【解答】解：设一条直角边为a，则斜边为a+1， ∵另一直角边长为：5， ∴（a+1）2＝a2+52， 解得：a＝12， ∴a+1＝12+1＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意设出直角三角形的斜边及直角边的长是解答此题的关键． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为三条边，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积 cm2． 【分析】根据勾股定理得a2+b2＝c2，再根据已知条件由完全平方公式即可得出ab的值，即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： a2+b2＝c2， ∵a+b＝14cm，c＝10cm， ∴（a+b）2＝196， 即2ab＝196﹣（a2+b2）＝196﹣c2＝196﹣100＝96， ∴ab＝24， ∴Rt△ABC的面积是24cm2， 故答案为：24． 【点评】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理，完全平方公式是解题的关键． 题型02 勾股定理的应用 1．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 【分析】根据勾股定理求出AB2，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25， ∴CD2+BD2＝BC2＝25， ∴阴影部分的面积＝25+25＝50， 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝　　． 【分析】设CD＝x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可． 【解答】解：设CD＝x，则BC＝5+x， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2﹣CD2＝25﹣x2， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2＝64﹣（5+x）2， 所以，25﹣x2＝64﹣（5+x）2， 解得x＝1.4， 即CD＝1.4． 故答案为：1.4． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC2，然后列出方程是解题的关键． 3．如图，如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为　　cm． 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由图形折叠的性质可知，AE＝BE，故可得出结论． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm， ∴，； ∵△ADE由△BDE折叠而成， ∴AE＝BEAB10＝5cm． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为AB边上的高． （1）求斜边AB的长； （2）求CD的长． 【分析】（1）由勾股定理可求解； （2）由面积法可求解． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴，； （2）∵S△ABCAC×BCAB×CD， ∴6×8＝10×CD， ∴CD＝4.8． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解本题的关键． 题型03 勾股定理的证明 1．如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4， ∴20﹣2ab＝4， 解得：ab＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，要注意的是本题中求不出两直角边的值，注意完全平方公式的灵活运用，有一定难度． 2．用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形． （1）用两种方法计算该梯形的面积，说明a2+b2＝c2． （2）是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由． 【分析】（1）根据不同方法计算同一个图形的面积不变列等式变形证明即可； （2）可用反证法判断，并推理证明即可． 【解答】解：（1）∵整个图形的面积（a+b）（a+b），整个图形的面积ab×2c2， ∴（a+b）（a+b）ab×2c2，即（a+b）（a+b）＝2ab+c2， 整理，得a2+b2＝c2； （2）不存在． 理由如下：（反证法）假定存在，且它的斜边c与另一条直角边b都增加x（x≠0）， 则a2+（b+x）2＝（c+x）2， 即a2+b2+2bx+x2＝c2+2cx+x2， ∵a2+b2＝c2， ∴2bx＝2cx， ∵x≠0， ∴b＝c， 这与斜边大于直角边矛盾， ∴假设不成立， 故不存在． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答中涉及面积计算，反证法，完全平方公式，掌握面积法和反证法是解题的关键． 3．如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c． 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形． （1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为 　　，正方形IJKL的面积可表示为 　　（用含a，b的式子表示） （2）请结合图2，用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系． 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3、4、5所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现a2+b2＝c2 （3）请你从图3、4、5中选一个合适的图形用面积法证明a2+b2＝c2． 你的选择是图 　　， 你的证明： （4）根据（3）中的结论回答，当a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4时，c的值为 　　． 【分析】（1）分别表示出所求的正方形的边长，进而可得所求的正方形的面积； （2）由图2可以看出，正方形CDEF的面积﹣正方形IJKL的面积＝4个矩形的面积，把相关数值代入即可； （3）从整体和整体的组成分别得到各个图形中最大图形的面积，整理后可得勾股定理； （4）根据c2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，把相关数值代入后可得c2的值，进而可得c的值． 【解答】解：（1）∵正方形CDEF的边长为a+b， ∴正方形CDEF的面积为（a+b）2． ∵正方形IJKL的边长为a﹣b， ∴正方形IJKL的面积为（a﹣b）2． 故答案为：（a+b）2，（a﹣b）2； （2）由图2可以看出，正方形CDEF的面积﹣正方形IJKL的面积＝4个矩形的面积． ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （3）①选择图3． 由题意得：四边形CDEF为正方形，边长为a+b， ∴正方形CDEF的面积为：（a+b）2． ∵四边形CDEF由四个直角边长为a，b的直角三角形和一个边长为c的正方形组成， ∴正方形CDEF的面积为：4ab+c2． ∴（a+b）2＝4ab+c2． ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2． ∴a2+b2＝c2． ②选择图4． 由题意得：四边形ABED是正方形，边长为c． ∴正方形ABED的面积为：c2． ∵四边形ABED是由4个直角边长为a和b的直角三角形和一个边长为a﹣b的正方形组成的， ∴正方形ABED的面积为：4ab+（a﹣b）2． ∴4ab+（a﹣b）2＝c2． ∴a2+b2＝c2． ③选择图5． ∵S五边形BCFGA＝S正方形BCED+S正方形HEFG+S△BID+S△IHG＝S正方形ABIG+S△ABC+S△AGF， ∴a2+b2abab＝c2abab． ∴a2+b2＝c2． （4）∵a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4， ∴a﹣b＝2m+1，ab＝4﹣2m2﹣2m． ∵a2+b2＝c2． ∴c2＝（a﹣b）2+2ab＝（2m+1）2+2（4﹣2m2﹣2m）＝4m2+4m+1+8﹣4m2﹣4m＝9． ∵c＞0， ∴c＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查勾股定理的应用．根据所给图形的面积的不同表示方法得到勾股定理是解决本题的关键；难点是灵活应用勾股定理，得到c2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab． 1．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 2．在锐角△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是（　　） A．66 B．126 C．120 D．68 【分析】利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：在锐角△ABC中， ∵∠B为锐角时，如图所示， 在Rt△ABD中， ， ， 在Rt△ADC中， ， ， ∴BC＝BD+CD＝21， ∴△ABC的面积为21×12＝126； 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键． 3．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　） A．n2+2mn+m2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0 C．m2﹣2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn+n2＝0 【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（n﹣m）2，整理即可求解 【解答】解：如图， m2+m2＝（n﹣m）2， 2m2＝n2﹣2mn+m2， m2+2mn﹣n2＝0． 故选：B． 【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系． 4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（　　） A．S3+S4＝4（S1+S2） B．S1﹣S2＝S3﹣S4 C．S4﹣S1＝S3﹣S2 D．S4﹣3S1＝S3﹣3S2 【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是AC2，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AC， 根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2，AC2＝AD2+CD2， ∴， ∴S1+S4＝S2+S3， ∴S1﹣S2＝S3﹣S4， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边． 5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14，c＝10，则Rt△ABC的面积是（　　） A．36 B．24 C．48 D．60 【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积，根据勾股定理，得a2+b2＝c2＝100．再根据完全平方公式求出ab的值，进而得到三角形的面积． 【解答】解：∵a+b＝14，c＝10， ∴a2+b2＝c2＝100，（a+b）2＝196． ∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96，ab＝48， ∴ab48＝24． 故选：B． 【点评】本题考查的是勾股定理及完全平方公式，根据题意求出ab的值是解答此题的关键． 6．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（　　） A．166 B．186 C．196 D．256 【分析】根据角平分线的定义、平角的定义得到∠ECF＝90°，根据平行线的性质、等腰三角形的判定分别求出EM、FM，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠BCE∠ACB，∠ACF＝∠DCF∠ACD， ∴∠ACE+∠ACF（∠ACB+∠ACD）＝90°，即∠ECF＝90°， ∵EF∥BC， ∴∠MEC＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠MEC， ∴EM＝CM＝7， 同理可得：FM＝CM＝7， ∴EF＝14， ∴CE2+CF2＝EF2＝142＝196， 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 7．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则CE的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，得AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB，又再折叠纸片，使点C与点D重合，得CE＝DE，∠C＝∠CDE，即可得∠ADE＝90°，AD2+DE2＝AE2，设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，可得22+（3﹣x）2＝x2，即可解得AE． 【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE＝DE，∠C＝∠CDE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠ADB+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∴AD2+DE2＝AE2， 设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x， ∴22+（3﹣x）2＝x2， 解得x， ∴CE＝3﹣x＝3， 故选：D． 【点评】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程． 8．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AC＝8，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．6 D．3 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝8，DA＝DC，从而可得∠DAC＝∠C，再结合已知易得BD＝AD，从而可得∠B＝∠BAD，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴， ， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为　8cm　． 【分析】根据折叠前后角相等可证AO＝CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可． 【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC＝∠EAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠EAC＝∠ACD， ∴AO＝CO＝5（cm）， 在直角三角形ADO中，， （cm）， ∴AB＝CD＝DO+CO＝3+5＝8（cm）． 故答案为：8cm． 【点评】本题考查图形的翻折变换，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　5　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥BC， ∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC＝BE＝6， 在Rt△ABC中，， ， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， 设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴AD＝8﹣x＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题． 11．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1、2、3，水平放置的4个正方形的面积是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝　4　． 【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD＝90°，AB＝DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB＝∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC＝BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2＝BD2，代换后有ED2+AC2＝BD2，根据正方形的面积公式得到S1＝AC2，S2＝DE2，BD2＝1，所以S1+S2＝1，利用同样方法可得到S3+S4＝3，通过计算可得到S1+S2+S3+S4＝1+3＝4． 【解答】解：如图， ∵四边形为正方形， ∴∠ABD＝90°，AB＝DB， ∴∠ABC+∠DBE＝90°， ∵∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠CAB＝∠DBE， 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴AC＝BE， ∵DE2+BE2＝BD2， ∴ED2+AC2＝BD2， ∵S1＝AC2，S2＝DE2，BD2＝1， ∴S1+S2＝1， 同理可得S3+S4＝3， ∴S1+S2+S3+S4＝1+3＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、也考查了勾股定理和正方形的性质，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 12．请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2． 【分析】连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解． 【解答】证明：如图，连接AC， ∵△ABE≌△BCD， ∴AB＝BC，AE＝BD，BE＝CD，∠BAE＝∠CBD， ∵∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDCBD•AEBD•CDAE•AEBD•BEAE2BD•BE， 又∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADCAB•BCCD•DEAB•ABBE•DEAB2BE•DE， ∴AE2BD•BEAB2BE•DE， ∴AB2＝AE2+BD•BE﹣BE•DE， ∴AB2＝AE2+（BD﹣DE）•BE，即AB2＝BE2+AE2． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 13．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DCE． （2）连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长． 【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE； （2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解． 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠D， 又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE， ∴△ABC≌△DCE（AAS）； （2）∵△ABC≌△DCE， ∴CE＝BC＝5， ∵∠ACE＝90°， ∴， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 14．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D． （1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数； （2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ACB，根据直角三角形的性质求出∠ACD，计算即可； （2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°， ∴∠ACB＝∠ABC（180°﹣42°）＝69°， 在Rt△ADC中，∠A＝42°， 则∠ACD＝90°﹣42°＝48°， ∴∠DCB＝69°﹣48°＝21°； （2）设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣1， 在Rt△ADC中，AC2＝CD2+AD2，即x2＝32+（x﹣1）2， 解得：x＝5，即AC＝5， 在Rt△ADC中，M为AC的中点， 则DMAC＝2.5， 答：DM的长为2.5． 【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 15．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）若AD＝5，BD＝12，求DE的长； （3）求证：AD2+DB2＝2CD2． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACE＝∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明； （2）由△ACE≌△BCD就可以得出AE＝B，∠CAE＝∠B，根据等腰三角形的性质就可以得出∠EAD＝90°，由勾股定理就可以得出结论； （3）由勾股定理直接推导出结论即可． 【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，EC＝DC． ∵∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA， ∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD． 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）解：∵△ACE≌△BCD， ∴BD＝AE＝12，∠B＝∠EAC＝45°． ∴∠CAB＝∠B＝∠EAC＝45° ∴∠EAD＝45°+45°＝90°． 即△EAD是直角三角形， ∴ ； （3）证明：∵△ACE≌△BCD， ∴∠EAC＝∠DBC，AE＝BD， ∵∠DBC+∠DAC＝90°， ∴∠EAC+∠DAC＝∠EAD＝90°， ∴AD2+AE2＝DE2， ∵∠DCE＝90°，CD＝CE， ∴CD2+CE2＝DE2， ∴2CE2＝DE2， ∴AD2+AE2＝2CD2， ∵AE＝BD， ∴AD2+BD2＝2CD2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 16．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可． （2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°， ∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°， 在Rt△ABC与Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）， ∴∠BAC＝∠EDC， ∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF， ∴∠AEF+∠BAC＝90°， ∴∠AFE＝90°， ∴DF⊥AB． （2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE， ∴a2b2•c•DF•c•EF•c•（DF﹣EF）•c•DEc2， ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t． （1）AB＝　50　cm，AB边上的高为 　24　cm； （2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值． 【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AB；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高； （2）分三种情况： ①当BD＝BC＝30cm时，得出2t＝30，即可得出结果； ②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，则BE＝DEBD＝t，由（1）得出CE＝24，由勾股定理求出BE，即可得出结果； ③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，证明DA＝DC，得出AD＝DBAB，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm， ∴， ； 作AB边上的高CE，如图1所示： ∵Rt△ABC的面积AB•CEAC•BC， ∴CE24（cm）； 故答案为：50，24； （2）分三种情况： ①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30， ∴t＝15（s）； ②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示： 则BE＝DEBD＝t， 由（1）得：CE＝24， 在Rt△BCE中，由勾股定理得： （cm）， ∴t＝18s； ③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B， ∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠A， ∴DA＝DC， ∴AD＝DBAB＝25（cm）， ∴2t＝25， ∴t＝12.5（s）； 综上所述：t的值为15s或18s或12.5s． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理和等腰三角形的性质才能得出结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$