专题2.5 有理数的乘方及混合运算（10考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版2024）

专题2.5 有理数的乘方及混合运算 目录 【典型例题】 1 【考点一 有理数幂的概念理解】 1 【考点二 有理数的乘方运算】 3 【考点三 乘方运算的符号规律】 8 【考点四 乘方的应用】 10 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 12 【考点六 有理数四则混合运算】 14 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 19 【考点八 有理数混合运算中的错题复原问题】 21 【考点九 新定义型有理数混合运算】 26 【考点十 程序流程图与有理数计算】 29 【过关检测】 32 【典型例题】 【考点一 有理数幂的概念理解】 例1．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）下列对于式子的说法， 错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 【考点二 有理数的乘方运算】 例2.（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ， ， ． 【变式训练】 1．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ； (9)． 【考点三 乘方运算的符号规律】 例3. （23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 2．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 3．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【考点四 乘方的应用】 例4. （23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 【变式训练】 1．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例5. （2024·江苏扬州·三模）2023年中秋国庆假期，扬州泰州国际机场完成旅客吞吐量82300人次．数据“82300”用科学记数法表示为： ． 【变式训练】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）今年“五一”假期，西安市文博单位累计接待游客约人次，将用科学记数法表示为 ． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）年月日，湖北高考正式拉开序幕，根据湖北省教育考试院的公告，年高考全省报名总人数达万人．数据万用科学记数法表示为 ． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024年3月6日记者从中国国家铁路集团有限公司获悉，2024年春运全国铁路累计发送旅客亿人次．其中亿用科学记数法表示为 ． 【考点六 有理数四则混合运算】 例6．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【变式训练】 1．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）计算： (1) (2) (3)     (4) 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 例7. （23-24七年级上·江苏常州·期末）（1）计算：； （2）计算：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算 (1) (2)． 2．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1) (2) 3．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1)； (2)． 【考点八 有理数混合运算中的错题复原问题】 例8.（23-24七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 2．（23-24七年级上·吉林四平·期末）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式    （第一步）         （第二步）         （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是______． (2)把正确的解题过程写出来． 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并解答问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是______； (2)运算从第______步开始出现错误； (3)请正确计算本题： 4．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 【考点九 新定义型有理数混合运算】 例9. （23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）对于有理数，，都不为定义运算：．例如，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值． （2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【考点十 程序流程图与有理数计算】 例10.（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东潮州·期中）如图是一个程序计算器，现输入，那么输出的结果是 ． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是 ． 3．（23-24七年级上·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024年江苏省南通市中考数学试题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南周口·期末）在 ， ，，，0，，，中，属于负数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）求的值，可令，则，因此．仿照以上方法，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024七年级上·河北·专题练习）计算： ； ； ． 7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 8．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）下列各组数中，①和；②和；③和；④和．互为相反数的是 ． 9．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．    10．（23-24七年级上·浙江温州·期中）对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）计算： (1)； (2)． 12．（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）计算 (1) (2) 13．（23-24七年级上·云南曲靖·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）小云学习了有理数的运算后，在计算时，她的解法如下： 解：原式  ① ② ③ 请回答： (1)小云的解法有错误，错误处是______（填序号）错误原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 15．（23-24七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 16．（23-24七年级上·江西南昌·期中）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的“哈利数”． 如：2的“哈利数”是，的“哈利数”是． 问题：已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则解决下列问题： (1) ， ， ； (2)请根据（1）中的计算结果，直接写出 ； (3)计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 有理数的乘方及混合运算 目录 【典型例题】 1 【考点一 有理数幂的概念理解】 1 【考点二 有理数的乘方运算】 3 【考点三 乘方运算的符号规律】 8 【考点四 乘方的应用】 10 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 12 【考点六 有理数四则混合运算】 14 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 19 【考点八 有理数混合运算中的错题复原问题】 21 【考点九 新定义型有理数混合运算】 26 【考点十 程序流程图与有理数计算】 29 【过关检测】 32 【典型例题】 【考点一 有理数幂的概念理解】 例1．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）下列对于式子的说法， 错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【答案】C 【分析】本题考查有理数幂的概念，根据有理数幂的概念进行判断即可． 【详解】解：， 对于，底数是，指数是2，表示2个相乘，幂为16； 故错误的是C； 故选C． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键． 在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可． 【详解】解：的底数是，值为； 的底数是，值为； 故答案为：，；，． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 【答案】 4 4个相乘 4 4个2相乘的相反数 2 4 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的知识是解答本题的关键． （1 ）根据题意，可以将题目中的数据写成幂的形式，再写出相应的底数和指数即可； （2 ）根据题意，可以将题目中的数据表示的意义、底数及指数即可． 【详解】解：（1 ），底数是，指数是4， 故答案为：，，4； （2）表示的意义是4个相乘，底数是，指数是4； 表示的意义是4个2相乘的相反数，底数是2，指数是4， 故答案为：4个相乘，，4；4个2相乘的相反数，2，4． 【考点二 有理数的乘方运算】 例2.（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键． 【详解】解：；；； 故答案为：，4，． 【变式训练】 1．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． （1）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （2）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （3）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （4）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （5）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （6）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 【答案】(1)64 (2) (3) (4) (5)32 (6) (7) (8) (9) 【分析】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． （1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）根据乘方的意义计算即可； （6）根据乘方的意义计算即可； （7）根据乘方的意义计算即可； （8）根据乘方的意义计算即可； （9）根据乘方的意义计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ； (9)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式 ． 【考点三 乘方运算的符号规律】 例3. （23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 2．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 【答案】负数 【分析】根据一个数的15次幂是负数，得到这个数为负数，进而得到这个数的2021次幂也是负数． 【详解】解：因为正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数， 故一个数的15次幂是负数，可知这个数为负数， 所以这个数的2021次幂还是负数； 故答案为：负数． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数，是解题的关键． 3．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 【考点四 乘方的应用】 例4. （23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，列出正确的算式是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解析：解：根据题意得：， 则截第四次后，剩下的小木棒的长度为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 【答案】8 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据1小时中有3个，得到细菌分裂了3次，归纳总结即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（次， 则经过1小时后这种细菌由1个分裂成（个． 故答案为：8． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例5. （2024·江苏扬州·三模）2023年中秋国庆假期，扬州泰州国际机场完成旅客吞吐量82300人次．数据“82300”用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）今年“五一”假期，西安市文博单位累计接待游客约人次，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数的绝对值大于等于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将用科学记数法表示为， 故答案为：． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）年月日，湖北高考正式拉开序幕，根据湖北省教育考试院的公告，年高考全省报名总人数达万人．数据万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，先把转化为，再根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024年3月6日记者从中国国家铁路集团有限公司获悉，2024年春运全国铁路累计发送旅客亿人次．其中亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：亿． 故答案为：． 【考点六 有理数四则混合运算】 例6．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）利用有理数的乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）计算： (1) (2) (3)     (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先化简，再计算加减法即可求解； （2）先算乘方，再算乘除，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （3）利用乘法分配律简便计算即可； （4）先算乘方，绝对值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键. （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先计算小括号内的运算，再利用分配律进行简便运算即可； （3）根据0与任何数相乘都得0，可得答案； （4）直接利用分配律进行简便运算即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 例7. （23-24七年级上·江苏常州·期末）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）先计算乘方和乘法，再计算加减，即可求解； （2）先计算乘方，再计算除法，最后算加减法，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先算乘方和括号，再算加减即可； （2）先算乘方，再算括号，进而算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 2．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则进行计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （2）先根据有理数的乘方和有理数的乘法分配律计算，再计算乘法，然后计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 3．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点八 有理数混合运算中的错题复原问题】 例8.（23-24七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 【答案】(1)二、运算顺序错误、三、符号错误 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减，乘除运算，运算法则为先乘除，后加减，进行计算，即可． 【详解】（1）解：在解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该从左往右依次算起；第二处是第三步，错误的原因是符号错误，因为同号得正； 故答案为：二、运算顺序错误、三、符号错误． （2）解： ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)（1） (2)过程见解析 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键； （1）由乘方计算错误与除法计算错误可得答案； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号计算括号内的运算即可； 【详解】（1）解：第（1）步就出现错误； （2） ； 2．（23-24七年级上·吉林四平·期末）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式    （第一步）         （第二步）         （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是______． (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)运算顺序错误；符号错误 (2)见解析 【分析】此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． （1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误． （2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解：上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是符号错误， 故答案为：运算顺序错误；符号错误． （2）解： ． 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并解答问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是______； (2)运算从第______步开始出现错误； (3)请正确计算本题： 【答案】(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数 (2)二 (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算定律． （1）根据有理数除法法则解得即可； （2）根据有理数的乘法运算法则求解可得； （3）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算定律求解可得． 【详解】（1）解：第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是：除以一个数不等于零的数等于乘以这个数的倒数， 故答案为：除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数； （2）解：运算从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是是异号两数相乘，积的符号确定错误，积应该是负数， 故答案为：二． （3）解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 正确的运算结果为． 4．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 【答案】(1)一；四； (2)见解析 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断； （2）根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步 故答案为：一；四； （2）原式 ． 【考点九 新定义型有理数混合运算】 例9. （23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）对于有理数，，都不为定义运算：．例如，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义先计算，再根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值． （2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴的值为． （2）解：由题意知，， ∴的值为． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数四则混合运算等知识点，将新定义运算转化成有理数四则混合运算成为解题的关键； （1）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可； （2）先分别根据新运算法则计算两个代数式，然后比较即可； （3）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：． （3）解： ． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 【考点十 程序流程图与有理数计算】 例10.（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【详解】解：把代入可得：， 再把代入可得：， 所以y， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东潮州·期中）如图是一个程序计算器，现输入，那么输出的结果是 ． 【答案】25 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确计算程序．根据右面的程序，可以得到输入后，执行的命令，然后即可得到问题的答案． 【详解】解：根据计算程序可得， 时，． 故答案为：25． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数的混合运算，把5代入计算程序中，根据图中流程列出式子，计算，即可确定输出的数，解题关键是掌握有理数的混合运算法则． 【详解】解：把5代入计算程序中得： ， ， 输出的数是6， 故答案为：6． 3．（23-24七年级上·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 【答案】320 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：把20代入程序中得：， 把代入程序中得：， 把80代入程序中得：， 把代入程序中得：， 则最后输出的结果为320． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数和有理数的乘方，先求出，然后根据倒数的定义即可求解，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：． 2．（2024年江苏省南通市中考数学试题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南周口·期末）在 ， ，，，0，，，中，属于负数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，乘方运算，将每个数化简是正确判断的前提．根据正数和负数的意义，绝对值，有理数的乘方将每个数化简后可得答案． 【详解】解：∵，，，， ，，， ∴正数有： ，，，，共5个， 故选：C． 4．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一道关于有理数混合运算的题目，解答本题的关键是熟练掌握有理数的运算顺序． 按照有理数混合运算的运算顺序逐个运算对每个选项进行判断即可． 【详解】解：A.，故不正确； B.，故不正确； C.，故不正确； D.，故正确． 故选：D． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）求的值，可令，则，因此．仿照以上方法，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键．理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算． 【详解】解：设， 则， 所以，， ， 故选：C． 二、填空题 6．（2024七年级上·河北·专题练习）计算： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；；或． 7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4060万用科学记数法表示为． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）下列各组数中，①和；②和；③和；④和．互为相反数的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，有理数的乘方．先将各数化简，再根据有理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①∵，，∴和互为相反数，符合题意； ②∵，，∴和互为相反数，符合题意； ③∵，，∴和不互为相反数，不符合题意； ④∵，，∴和不互为相反数，不符合题意； 综上：互为相反数的有①②； 故答案为：①②． 9．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，将代入计算，将结果和比较大小，如果小于就输出，即可求解． 【详解】解：由题意得：第一次输入，列出算式为：， 应该直接输出，的值为：， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·浙江温州·期中）对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算．掌握相关定义是解题关键．根据定义列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据有理数的混合运算法则，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号，进行计算即可； （2）先乘方，再进行乘法运算，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24七年级上·云南曲靖·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)24 (2)41 (3)350 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）根据有理数加减运算法则进行计算； （2）先算乘除法，再算减法即可； （3）逆用乘法分配律进行简便计算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）小云学习了有理数的运算后，在计算时，她的解法如下： 解：原式  ① ② ③ 请回答： (1)小云的解法有错误，错误处是______（填序号）错误原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①，没有按照有理数乘除同级运算，从左到右顺序进行计算 (2)运算过程见详解 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，混合运算，根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号，即可求解，掌握运算顺序，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据运算顺序即可求解； （2）运用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，从左往右的方法可得， 小云的做法中错误的地方是①，原因是没有按照有理数混合运算的运算顺序进行计算， 故答案为：①，没有按照有理数混合运算的运算顺序进行计算． （2）解： ． 15．（23-24七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列式计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 16．（23-24七年级上·江西南昌·期中）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的“哈利数”． 如：2的“哈利数”是，的“哈利数”是． 问题：已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则解决下列问题： (1) ， ， ； (2)请根据（1）中的计算结果，直接写出 ； (3)计算： 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】此题主要考查学生对倒数和数字变化类知识点的理解和掌握，解答此题的关键是依次计算出、、、，找出数字变化的规律． （1）根据，可得，同理求得，的值各是多少即可； （2）根据（1）中的规律解答即可； （3）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：，，； （2）∵，，，，，，…， ∴每3个数为一个循环，分别是，，， ， 故答案为：； （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$