专题2.4 有理数的乘法与除法（10考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版2024）

专题2.4 有理数的乘法与除法 目录 【典型例题】 1 【考点一 两个有理数的乘法运算】 1 【考点二 多个有理数的乘法运算】 3 【考点三 有理数乘法运算律】 6 【考点四 有理数乘法的实际应用】 9 【考点五 倒数】 11 【考点六 有理数的除法运算】 12 【考点七 有理数的乘除混合运算】 15 【考点八 利用倒数法计算】 16 【考点九 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 19 【考点十 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 21 【过关检测】 24 【典型例题】 【考点一 两个有理数的乘法运算】 例1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点二 多个有理数的乘法运算】 例2.（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【考点三 有理数乘法运算律】 例3.（23-24七年级上·吉林·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) 2.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【考点四 有理数乘法的实际应用】 例4.（23-24七年级上·云南红河·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）某玩具加工厂每名工人计划每天生产300个儿童玩具，一周生产2100个儿童玩具．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/个 (1)根据记录的数据可知，小王星期五生产儿童玩具______个； (2)根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产儿童玩具的数量； (3)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个儿童玩具可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每周的计划量，则少生产一个扣0.3元，求小王这一周的工资总额是多少元？ 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【考点五 倒数】 例5. （23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）的倒数是（　　） A． B．2 C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【考点六 有理数的除法运算】 例6. （2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点七 有理数的乘除混合运算】 例7. （23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）（1）计算：       （2）计算： 2．（2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【考点八 利用倒数法计算】 例8.（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解法：原式的倒数是， 所以． 【解决问题】 根据上述阅读材料提供的方法，计算：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 【考点九 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例9.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ． 【变式训练】 1.（22-23七年级上·福建漳州·期中）对于有理数，定义一种新运算“※”如下：，则2※ . 2.（23-24七年级上·贵州毕节·期中）对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 【考点十 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例10. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级上·吉林延边·期末）6的倒数是（　　） A．6 B． C． D． 2．（2024·甘肃武威·三模）下列各组数中，互为倒数的是（    ） A．5和 B．0.25和 C．100和0.001 D．和 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算得（　　） A． B．8 C． D． 4．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 6．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 7．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“”“”“”或“”）． 9．（23-24七年级上·四川达州·期末）数轴上点D、E、F和原点如图所示，已知有理数a、b、c分别与其中的一个点对应(对应顺序暂不确定），若a、b、c满足，，，那么有理数b在数轴上对应的点是 ， 10．（23-24六年级下·全国·假期作业）定义一种新的运算：，如，则 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．（23-24七年级上·广西玉林·开学考试）能简算的要简算． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) (3)． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习） 阅读下面题目解题过程，并回答问题： 计算：     ①     ②     ③ (1)上面解题过程中，开始出错的步骤是________（填序号）； (2)请写出正确的步骤． 16．（23-24六年级下·全国·假期作业）若a，b，c为有理数，且，求的值． 17．（23-24七年级上·河南许昌·阶段练习）我们规定运算：．示例：．请计算： (1)． (2)． 18．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 有理数的乘法与除法 目录 【典型例题】 1 【考点一 两个有理数的乘法运算】 1 【考点二 多个有理数的乘法运算】 3 【考点三 有理数乘法运算律】 6 【考点四 有理数乘法的实际应用】 9 【考点五 倒数】 11 【考点六 有理数的除法运算】 12 【考点七 有理数的乘除混合运算】 15 【考点八 利用倒数法计算】 16 【考点九 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 19 【考点十 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 21 【过关检测】 24 【典型例题】 【考点一 两个有理数的乘法运算】 例1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （2）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （3）原式利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果； （4）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 【考点二 多个有理数的乘法运算】 例2.（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律等运算法则较为简便． （1）根据有理数的乘法的结合律进行简算即可； （2）根据有理数的乘法的交换律与结合律计算即可； （3）利用乘法分配律进行简便计算即可； （4）逆用乘法分配律计算较为简便． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） ． 【考点三 有理数乘法运算律】 例3.（23-24七年级上·吉林·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算律，根据题意直接计算即可． （1）利用乘法运算律求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有有理数的乘法运算： （1）利用有理数乘法运算律进行求解即可； （2）逆用有理数的乘法运算律即可求解； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点四 有理数乘法的实际应用】 例4.（23-24七年级上·云南红河·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）根据最大数减去最小数即可得出答案； （3）根据工资的计算方法列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据记录可知前三天共生产（辆）； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：， （元）， 该厂工人这一周的工资总额是元． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）某玩具加工厂每名工人计划每天生产300个儿童玩具，一周生产2100个儿童玩具．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/个 (1)根据记录的数据可知，小王星期五生产儿童玩具______个； (2)根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产儿童玩具的数量； (3)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个儿童玩具可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每周的计划量，则少生产一个扣0.3元，求小王这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)291个 (2)小王本周实际生产儿童玩具的数量为2110个 (3)小王这一周的工资总额是1268元 【分析】本题考查有理数运算解决实际应用题，涉及正负数的实际意义等知识，根据题意，准确列出式子计算即可得到答案，灵活运用有理数混合运算法则求解是解决问题的关键． （1）由生产情况表直接计算即可得到星期五生产玩具个数； （2）由生产情况表直接计算即可得到本周实际生产的数量； （3）结合题目要求，结合（2）中得到的数据代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由生产情况表得到星期五生产玩具个数为（个）， 故答案为：291； （2）解：（个）， 本周实际生产的数量为（个）， 答：小王本周实际生产儿童玩具的数量为2110个； （3）解：（元）， 答：小王这一周的工资总额是1268元． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【分析】（）根据表格求出月日的库存即可； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； 此题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，月日晚库存千克， 故答案为：； （2）解：根据题意得，元， ∴当天是赔钱， 规定赚钱为正，当天赚元， 故答案为：； （3）解：根据题意得，元， 答：月日到月日该个体户共赚元钱． 【考点五 倒数】 例5. （23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）的倒数是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数，乘积是1的两个数互为倒数，据此即可解答． 【详解】解：的倒数是． 故选：C 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义进行计算即可． 【详解】解： ，的倒数是3， 的倒数是3． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数，相反数及绝对值，掌握以上知识是解题的关键． 先化简绝对值，再计算倒数，即可求解． 【详解】解：，其倒数为， 故选：D． 【考点六 有理数的除法运算】 例6. （2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)400 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （2）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，即可解答； （3）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （4）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：进而得出即可； （5）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （6）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式=； （5）原式； （6）原式． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点七 有理数的乘除混合运算】 例7. （23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出绝对值，根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）（1）计算：       （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 【考点八 利用倒数法计算】 例8.（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解法：原式的倒数是， 所以． 【解决问题】 根据上述阅读材料提供的方法，计算：． 【答案】． 【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：原式的倒数为 ， 则． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】（1）根据有理数的的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）根据有理数的运算法则以及运算顺序观察，由于除法没有分配律，即可求解； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解：解法①是错误的，除法没有分配律； 故答案为：①． （2）原式的倒数为 ， ∴原式 【点睛】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． 【考点九 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例9.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，代入新定义运算即可求解，理解新运算的定义是解题关键． 【详解】解：根据新定义，， ∴； ． 故答案为：； 【变式训练】 1.（22-23七年级上·福建漳州·期中）对于有理数，定义一种新运算“※”如下：，则2※ . 【答案】 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【详解】：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 2.（23-24七年级上·贵州毕节·期中）对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键；本题先计算括号内的，再进行下一步的计算，从而可得答案． 【详解】解： ． 【考点十 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例10. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解． 【详解】解：∵单项式a是一个正数，且， ∴b、c都是负数， ∴，，，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键. 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据，得到a、b异号，不妨设，则； （2）根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可； （3）先由题意得到，再根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号， 不妨设， ∴； （2）解：∵， ∴a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数， 当a、b、c三个都是负数时，； 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴； 综上所述，的值为或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴a、b、c中有三个负数（由题意舍去）或两个正数一个负数， 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴ ， 综上所述，的值为． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，或，分析得出答案； （3）根据题意得出，，中有两个为正数，一个为负数，设，，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则 故答案为：； （2）解：当时，则，同号 ①当，时， ②当，时， （3）解：由，得，， 且 ，，中有两个为正数，一个为负数 不妨设，， 则原式 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级上·吉林延边·期末）6的倒数是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：6的倒数是， 故选：D． 2．（2024·甘肃武威·三模）下列各组数中，互为倒数的是（    ） A．5和 B．0.25和 C．100和0.001 D．和 【答案】D 【分析】本题考查的是倒数．根据倒数的定义“乘积是1的两数互为倒数”解答即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算得（　　） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零． 根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案． 【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意． B、有三个负因数，积为负，故B符合题意． C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意． D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意． 故选：B． 5．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，掌握“相反数与倒数的定义”是解本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，仅仅只有符号不同的两个数互为倒数，根据定义作答即可． 【详解】解：一个数的相反数是，则这个数是，即， ， 的倒数是2， 故答案为：2． 7．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“”“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，实数的比较大小，有理数的加法，减法，除法． 根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的加法，除法法则判断即可； 【详解】观察数轴可知，，， ，， ∴． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·四川达州·期末）数轴上点D、E、F和原点如图所示，已知有理数a、b、c分别与其中的一个点对应(对应顺序暂不确定），若a、b、c满足，，，那么有理数b在数轴上对应的点是 ， 【答案】E 【分析】本题考查数轴、有理数的乘法和加法，根据有理数的乘法和加法运算法则，结合数轴可得，，，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴a、c异号， ∴由数轴得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D对应的有理数为c，点E对应的有理数为b，点F对应的有理数为a， 即有理数b在数轴上对应的点是E， 故答案为：E． 10．（23-24六年级下·全国·假期作业）定义一种新的运算：，如，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据新定义运算列式子计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：2． 三、解答题 11．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的减法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减计算法则求解即可； （4）先计算乘除法，再计算加减法即可； （5）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律求解即可； （6）根据有理数乘除混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 12．（23-24七年级上·广西玉林·开学考试）能简算的要简算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)18； (3)5； (4)14.4． 【分析】本题考查了分数的混合运算，乘法分配律，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先把除法转为乘法，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先算小括号内，再运算除法和减法，再运算括号外，即可作答． （4）先把百分数化为小数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1)5； (2)3； (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）（2）（3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习） 阅读下面题目解题过程，并回答问题： 计算：     ①     ②     ③ (1)上面解题过程中，开始出错的步骤是________（填序号）； (2)请写出正确的步骤． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键． （1）根据有理数的乘除法则即可确定错误步骤的序号； （2）根据有理数加减和乘除运算法则求解即可． 【详解】（1）解：计算，应先进行除法运算，再进行乘法运算， 所以，解题过程中，开始出错的步骤是②． 故答案为：②； （2）正确的步骤如下： 原式 ． 16．（23-24六年级下·全国·假期作业）若a，b，c为有理数，且，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，绝对值的意义．会确定字母的正负是关键． 根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出、、中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：、、为三个不为0的有理数，且， 、、中负数有2个，正数有1个， ， ． 17．（23-24七年级上·河南许昌·阶段练习）我们规定运算：．示例：．请计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)39 【分析】（1）根据规定的新定义直接列式计算即可； （2）根据规定的新定义直接列式计算即可． 本题考查了新定义下的有理数运算，正确理解新定义，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得， ； （2）根据题意得， ． 18．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【分析】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$