专题2.4 解题技巧专题：有理数的混合运算及新定义型问题专项训练（3大考点）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版2024）

专题2.4 解题技巧专题：有理数的混合运算及新定义型问题专项训练 目录 【考点一 有理数的混合运算】 1 【考点二 有理数的混合运算中的错解复原问题】 15 【考点三 有理数的混合运算中的新定义型问题】 25 【典型例题】 【考点一 有理数的混合运算】 例题：（23-24七年级上·四川南充·期末）计算： (1) (2)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算 (1) (2) (3) 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）简便计算： (1) (2) (3) (4) 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 4．（22-23七年级上·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 6．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）计算： (1) (2) (3)     (4) 8．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 9．（23-24六年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 10．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【考点二 有理数的混合运算中的错解复原问题】 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 2．（23-24七年级上·吉林四平·期末）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式    （第一步）         （第二步）         （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是______． (2)把正确的解题过程写出来． 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并解答问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是______； (2)运算从第______步开始出现错误； (3)请正确计算本题： 4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）阅读下面的解题过程： 计算： ． 解：原式．（第①步） ．（第②步） ．（第③步） 回答： (1)上面解题过程中，第 步开始就出现了错误，错误的原因是 ； (2)请把正确的解题过程写出来． 5．（23-24七年级上·江西上饶·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 6．（23-24七年级上·福建厦门·期中）请帮助小华同学找出下列运算过程中出现的错误． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)小华同学在第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 7．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ． (2)结合上述解法给你的启发，计算：． 8．（22-23七年级上·河南许昌·期末）在计算时，小明同学的解题过程如下： . 解：原式① ② ③ ④ (1)上述书写过程中，小明同学第_____步出现了错误，错误的原因是_____． (2)请你帮小明同学写出正确的解答过程． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 9．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【考点三 有理数的混合运算中的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则※． 例如：． (1)计算值为______． (2)计算※． 2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）对于有理数，，都不为定义运算：．例如，． (1)求的值； (2)求的值． 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值． （2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 5．（22-23六年级上·山东济宁·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)数对中是“共生有理数对”的是______． (2)若是“共生有理数对”，则______“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)若是“共生有理数对”，求的值． 6．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 7．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ， ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 解题技巧专题：有理数的混合运算及新定义型问题专项训练 目录 【考点一 有理数的混合运算】 1 【考点二 有理数的混合运算中的错解复原问题】 15 【考点三 有理数的混合运算中的新定义型问题】 25 【典型例题】 【考点一 有理数的混合运算】 例题：（23-24七年级上·四川南充·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先算乘除法，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法运算法则及交换律与结合律进行简便计算，即可得出结果； （2）根据有理数四则运算法则进行计算，即可得出结果； （3）根据有理数混合运算法则进行计算，即可得出结果； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化，掌握有理数的混合运算法则，乘法运算律是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（22-23七年级上·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）先算乘除，再进行减法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先算乘方，再算除法，最后进行加减运算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； ； ； ； （4）解：原式 ， ． 5．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)0 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟记“先乘方再乘除后加减，有括号优先去括号”是解题关键． （1）根据有理数的加减法则直接计算即可； （2）先将除法运算转化为乘法运算，再使用乘法分配律即可； （3）先将带分数化为再由乘法分配律计算即可； （4）根据先乘方再乘除后加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） ． 6．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）利用有理数的乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 7．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）计算： (1) (2) (3)     (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先化简，再计算加减法即可求解； （2）先算乘方，再算乘除，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （3）利用乘法分配律简便计算即可； （4）先算乘方，绝对值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 8．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键. （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先计算小括号内的运算，再利用分配律进行简便运算即可； （3）根据0与任何数相乘都得0，可得答案； （4）直接利用分配律进行简便运算即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 9．（23-24六年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可． （1）将小数化成分数，运用结合律即可求解； （2）利用乘法分配律即可求解； （3）将除法变成乘法即可求解； （4）利用有理数的混合运算法则即可求解； （5）利用有理数的混合运算法则即可求解； （6）利用有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 10．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）将除法变为乘法，再运用乘法的分配律计算； （2）按照有理数混合运算的顺序，先乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的； （3）按照有理数混合运算的顺序，先乘方，后乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的； （4）按照有理数混合运算的顺序，先乘方，后乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的； （5）按照有理数混合运算的顺序，先乘方，后乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的； （6）先计算乘方，绝对值，再算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【考点二 有理数的混合运算中的错解复原问题】 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 【答案】(1)二、运算顺序错误、三、符号错误 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减，乘除运算，运算法则为先乘除，后加减，进行计算，即可． 【详解】（1）解：在解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该从左往右依次算起；第二处是第三步，错误的原因是符号错误，因为同号得正； 故答案为：二、运算顺序错误、三、符号错误． （2）解： ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)（1） (2)过程见解析 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键； （1）由乘方计算错误与除法计算错误可得答案； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号计算括号内的运算即可； 【详解】（1）解：第（1）步就出现错误； （2） ； 2．（23-24七年级上·吉林四平·期末）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式    （第一步）         （第二步）         （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是______． (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)运算顺序错误；符号错误 (2)见解析 【分析】此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． （1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误． （2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解：上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是符号错误， 故答案为：运算顺序错误；符号错误． （2）解： ． 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并解答问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是______； (2)运算从第______步开始出现错误； (3)请正确计算本题： 【答案】(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数 (2)二 (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算定律． （1）根据有理数除法法则解得即可； （2）根据有理数的乘法运算法则求解可得； （3）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算定律求解可得． 【详解】（1）解：第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是：除以一个数不等于零的数等于乘以这个数的倒数， 故答案为：除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数； （2）解：运算从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是是异号两数相乘，积的符号确定错误，积应该是负数， 故答案为：二． （3）解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 正确的运算结果为． 4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）阅读下面的解题过程： 计算： ． 解：原式．（第①步） ．（第②步） ．（第③步） 回答： (1)上面解题过程中，第 步开始就出现了错误，错误的原因是 ； (2)请把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)②；运算顺序不对 (2)见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据乘除法的运算法则进行分析即可； （2）根据有理数混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴原解题过程中，第二步出错，没有按运算顺序进行运算，乘除是同级运算，应从左到右依次进行， 故答案为：②；运算顺序不对． （2）解：原式． ． ． 或解：原式． ． ． 5．（23-24七年级上·江西上饶·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)分配 (2)二 (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”． （1）根据乘法分配律可得答案； （2）除法没有分配律，据此可得答案； （3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：小丽在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：分配； （2）她在第二步出错了，因为除法没有分配律， 故答案为：二； （3） 原式 6．（23-24七年级上·福建厦门·期中）请帮助小华同学找出下列运算过程中出现的错误． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)小华同学在第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)17 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方、再计算乘除、最后计算加减，同级运算中，从左往右依次计算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： 小华同学在第二步开始出现错误，运算顺序弄错了， 故答案为：二； （2）解： ． 7．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ． (2)结合上述解法给你的启发，计算：． 【答案】(1)⑤， (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据乘法运算的结合律进行判定即可； （2）结合材料提示，运用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：第⑤的计算是， ∴在第⑤步出现错误，正确结果是， 故答案为：⑤，． （2）解： ． 8．（22-23七年级上·河南许昌·期末）在计算时，小明同学的解题过程如下： . 解：原式① ② ③ ④ (1)上述书写过程中，小明同学第_____步出现了错误，错误的原因是_____． (2)请你帮小明同学写出正确的解答过程． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)②，改变了运算的顺序 (2)25 (3)在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一） 【分析】（1）根据小明的解答过程分析即可； （2）按照有理数混合运算的顺序计算即可； （3）根据有理数的运算法则解答即可． 【详解】（1）由运算过程可知，小明同学第②步出现了错误，错误的原因是改变了运算的顺序． 故答案为：②，改变了运算的顺序； （2）原式 ； （3）在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 9．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 【答案】(1)一；四； (2)见解析 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断； （2）根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步 故答案为：一；四； （2）原式 ． 10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【答案】一；（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算的有关知识，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘除运算： 没有除法分配律，故解法一错误； （1）先计算乘方和括号里面的内容，再将除法化成乘法进行计算即可； （2）先计算括号里的内容，再将除法化成乘法进行计算即可． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （1）原式 ； （2）原式 ． 【考点三 有理数的混合运算中的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算； （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 理解新定义，正确进行运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则※． 例如：． (1)计算值为______． (2)计算※． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义将数值代入求解即可； （2）根据新定义将数值代入求解即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： ， ． 2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）对于有理数，，都不为定义运算：．例如，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义先计算，再根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ． 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值． （2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴的值为． （2）解：由题意知，， ∴的值为． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数四则混合运算等知识点，将新定义运算转化成有理数四则混合运算成为解题的关键； （1）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可； （2）先分别根据新运算法则计算两个代数式，然后比较即可； （3）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：． （3）解： ． 5．（22-23六年级上·山东济宁·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)数对中是“共生有理数对”的是______． (2)若是“共生有理数对”，则______“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)若是“共生有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解决本题的关键． （1）根据共生有理数对的定义判断即可； （2）根据共生有理数对的定义对变形即可判断； （3）根据共生有理数对的定义得出关于a的一元一次方程求加即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴数对不是“共生有理数对” ∵，， ∴， ∴数对是“共生有理数对” 故答案为：． （2）∵是共生有理数对， ∴， ∴， ∴是共生有理数对； （3）若是“共生有理数对”， ∴， 解得：． 6．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 7．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ， ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 【答案】（1）；2；（2）；；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可； （4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； ， 故答案为：，2； （2） ； 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． （4） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$